1、 1第四章 有限元法及应用第四章 有限元法及应用FEM(The Finite Element Method)and Application2 主要内容 有限元法的基本概念有限元法的基本概念 有限元法的分类有限元法的分类 有限元法的求解步骤（重点）有限元法的求解步骤（重点）常用有限元软件简介常用有限元软件简介 3第一节 概述第一节 概述4 第一节 概 述第一节 概 述一、为什么需要有限元？一、为什么需要有限元？随着生产的发展，不断要求设计高质量、高水平的大随着生产的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械和工程结构。在实践中人们也型、复杂和精密的机械和工程结构。在实践中人们也逐渐
2、认识到要达到正确的、高水平的设计，就必须逐渐认识到要达到正确的、高水平的设计，就必须预预先通过有效的计算手段先通过有效的计算手段确切的了解即将诞生的机械和确切的了解即将诞生的机械和工程结构在工程结构在未来工作未来工作时的应力、应变及位移等情况，时的应力、应变及位移等情况，从多种可能的方案中去选择合乎要求的方案。从多种可能的方案中去选择合乎要求的方案。5 但是，传统的一些方法往往难于完成对工程实但是，传统的一些方法往往难于完成对工程实际问题的有效分析。弹性力学的经典理论对于际问题的有效分析。弹性力学的经典理论对于几何上复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变几何上复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变以及
3、几何非线性、材料非线性等以及几何非线性、材料非线性等问题往往解决问题往往解决很困难；优化设计、可靠性设计等也难或根本很困难；优化设计、可靠性设计等也难或根本无法解决。无法解决。6 蓄水后大坝的蓄水后大坝的位移与应变情位移与应变情况、地震时大况、地震时大坝的位移与应坝的位移与应变情况等变情况等三峡大坝的受力情况三峡大坝的受力情况 7 航天飞机飞行航天飞机飞行中的受热分析中的受热分析温度场分布温度场分布 8 导弹、飞机飞导弹、飞机飞行的流体动力行的流体动力学分析学分析流场分布流场分布 9 磁场分布磁场分布 分析分析卫星、飞船在轨运行时磁场的影响 10 传统方法在处理这类问题时，往往要对一个传统方法
4、在处理这类问题时，往往要对一个实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、连实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、连续性假设、物体的各项同性假设，然后通过经典理续性假设、物体的各项同性假设，然后通过经典理论方法得出问题的解析解，这种解析解从形式上看论方法得出问题的解析解，这种解析解从形式上看，可以得出关于实际问题的连续解，比如用方程描，可以得出关于实际问题的连续解，比如用方程描述三峡大坝某一点的位移和应变，但这样的解析解述三峡大坝某一点的位移和应变，但这样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。往往和实际情况有比较大的偏差。这对于精度要求不高的领域是可以的，但对于有些领域，就不能满足实际的需要
5、了。11 同时，实际中常常要遇到一些几何上复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变以及几何非线性、材料非线性的物理系统，对这些系统经典理论解决起来相当困难，有时甚至无法解决，也就是无法求得解析解。因此，寻求离散数值分析法就成了必由之路。常用的数值分析法有两种：差分法和有限元法。12 差分法差分法是在传统方法的基础上，将传统方法建立的微分方程中的微分 dxdx、dydy、dzdz 变成差分xx，yy，zz，从而把微分方程变成代数方程，用一步步迭代的方法，逐步求出物理系统中各个离散点的物理量，用差分离散解代替连续解。这种方法要求能建立微分方程，并能给出边界条件的数学表达式，因此，对于一些不规则的几何 形
6、状和不规则的特殊边界条件难以应用。13 一、有限元法的基本概念一、有限元法的基本概念1.1.什么是有限元法什么是有限元法 我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出在连续体上任一点上未知量的值。因为点是无限多的，存在无限自由度的问题，很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问题，因此需要采用近似方法来处理。14 其中最主要的是离散化方法，把问题归结为其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求有限个离散点的数值，把无限自由度问题变成只求有限个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个自由度。有限个自由度。把一个
7、连续体分割成有限个单元，即把一个把一个连续体分割成有限个单元，即把一个复杂的结构看成由有限个通过节点相连的单元组成复杂的结构看成由有限个通过节点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构，以得到复杂问题的近似数值起来代表原来的结构，以得到复杂问题的近似数值解。这种方法称为有限元法解。这种方法称为有限元法（The Finite ElemenThe Finite Element Method t Method）。15 有限元法是一种以计算机为手段，通过离散化将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模型，再经过一系列规范化
8、的步骤以求解应力、应变、位移等参数的数值计算方法。所谓离散化就就是将一个连续体分割成若干个通过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度的结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。该过程还包括对单元和节点进行编码以及局部坐标系 和整体坐标系的确定。16 载荷载荷载荷载荷物理系统举例物理系统举例17 18 2.2.几个基本概念几个基本概念1 1）单元）单元（element）将求解的工程结构看成是由许多小的、彼此用点联结的基本构件如杆、梁、板和壳组成的，这些基本构件称为单元。在有限元法中，单元用一组节点间相互作用的数值和矩阵（刚度系数矩阵）来描述。19 单元具有以下特征：每一个单元都有确定的方程来描
9、述在一定载荷下的响应；“”模型中所有单元响应的 和 给出了设计的总体响 应；“单元中未知量的个数是有限的，因此称为 有限”单元。20 2 2）节点）节点（node）单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。3 3）有限元模型）有限元模型（node）有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。接，并承受一定载荷。每个单元的特性是通过一些线性方程式来描每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作
10、为一个整体，所有单元的组合就形成了述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了整体结构的数学模型。整体结构的数学模型。21 节点节点:空间中的坐标位置，具空间中的坐标位置，具有一定相应，相互之间存在物理有一定相应，相互之间存在物理作用。作用。单元单元:节点间相互作用的媒介，节点间相互作用的媒介，用一组节点相互作用的数值矩阵用一组节点相互作用的数值矩阵描述（称为刚度或系数矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。载荷载荷载荷载荷有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。之间通过节点连接，并承受一定载荷。22 对于一个具体的工程结构，单元
11、的划分越小，对于一个具体的工程结构，单元的划分越小，求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越大。大。梯子的有限元模型不到梯子的有限元模型不到 100100 个方程；个方程；在在 ANSYSANSYS 分析中，一个小的有限元模型可能有分析中，一个小的有限元模型可能有几千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。几千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算结果精确性的要求。结果精确性的要求。23 4 4）有限元分析）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实物理系统
12、（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素（即单元），用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。有限元分析是一种模拟设计载荷条件，并且确定在载荷条件下的设计响应的方法。它是用被称“”之为 单元 的离散的块体来模拟设计的的。24 几何体几何体 载荷 载荷 物理系统物理系统力力电磁电磁热热25 二、有限元法的特点与作用二、有限元法的特点与作用1.1.有限元法的特点有限元法的特点1 1）把连续体划分成有限个单元，把单元间的连接）把连续体划分成有限个单元，把单元间的连接点（节点）作为离散点；点（节点）作为离散点；2 2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究）不考虑微分方程，而从单
13、元本身特点进行研究；(研究未知量在单元内部及在单元节点上值的研究未知量在单元内部及在单元节点上值的关系，从而导出单元节点响应和对应的载荷之间关系，从而导出单元节点响应和对应的载荷之间的关系，然后把它们组集起来的关系，然后把它们组集起来,以求解一个以各以求解一个以各节点响应为未知量的代数方程组节点响应为未知量的代数方程组)3 3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解；26 4 4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均匀材料、各向异性材料、
14、非线性应力应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体力学及电磁场领域的许多问题）5 5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。27 2.2.有限元法的作用有限元法的作用1 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的试验）；）；2 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官移植、人造膝盖）；）；3 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本；4 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期；5 5）创造出高可靠性、高品质的产品。28 三、有限元法的发展三、有限元法的发展1.1.有限元法的产生有限元法的产生有限元法分析的
15、概念可以追溯到 2020 世纪 4040 年代。19431943 年，柯朗特（CourantCourant）第一次在他的论文中，取定义在三角形域上的分片连续函数，利用最小势能原理研究了圣维南（St.VenantSt.Venant）的扭转问题。然而，此方法发展很慢，几乎过了十年才再次有人用这些离散化的概念。29 19561956 年 Turner,Clough,MartinTurner,Clough,Martin 和 ToppTopp 等人，在他们的经典论文中第一次给出了用三角形单元求得的平面应力问题的真正解答，他们利用弹性理论的方程求出了三角形单元的特性，并第一次介绍了今天人们熟知的确定单元特
16、性的直接刚度法，其研究工作随同当时出现的数值计算机一起打 开了求解复杂平面弹性问题的新局面。30 19601960 年美国的克劳夫(W.Clough)(W.Clough)采用此方法进“行飞机结构分析时首次将这种方法起名为 有限单”“”元法，简称 有限元法。此后有限元法在工程界获得了广泛的应用。到 2020 世纪 7070 年代以后，随着计算机和软件技术的发展，有限元法也随之迅速的发展起来，发表的论文犹如雨后春笋，学术交流频繁，期刊、专著不断出现，可以说进入了有限元法的鼎盛时期，对有限元法进行了全面而 深入地研究。31 2.2.有限元法的应用有限元法的应用1 1）可求解由杆、梁、板、壳、块体等各
17、类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静力和动力问题）；2 2）可求解各类场分布问题的稳态和瞬态问题；3 3）可求解水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。目前，有限元法广泛应用于固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学等各个领域。当前，有限元法已经成为结构分析的有效方法和手段，它几乎被被用于所有连续介质和场的问题。32 结构分析结构分析用于确定变形、应变、应力及反作用力。静力分析用于静态荷载.可以考虑结构的线性及非线性行为，例如：大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等.超弹密封超弹密封33 提供标准的隐式动力学分析以外，还提供了显
18、式动力学分析模块。用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所有的非线性行为.它的显式方程求解冲击、碰撞、快速成型等问题，是目前求解这类问题最有效的方法.结构分析（续）34 可进行显示动力分析模拟以惯性力为主的大变形分析。用于模拟冲击、碰撞、快速成形等。35 热分析热分析用于确定物体中的温度分布。可模拟三种热传递方式：热传导、热对流、热辐射。稳态分析忽略时间效应瞬态分析确定以时间为函数的温度值等。可模拟相变（熔化及凝固）36 电磁分析电磁分析用于计算电磁装置中的磁场静态磁场及低频电磁场分析模拟由直流电源，低频交流电或低频瞬时信号引起的磁场。例如：螺线管制动器、电动机、变压器磁场分析中考虑的
19、物理量是：磁通量密度、磁场密度、磁力和磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄漏等。37 流体分析计算流体动力学(CFD)用于确定流体中的流动状态和温度。能模拟层流和湍流，可压缩和不可压缩流体，以及多组份流。应用：航空航天，电子元件封装，汽车设计。典型的物理量是：速度，压力，温度，对流换热系数。38第二节 有限元法的分类第二节 有限元法的分类39 一、结构有限元法的分类一、结构有限元法的分类 结构结构有限元法可以分为两类，即线弹性有限元法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研究步骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者的某些 结果。40 1.1.线弹性
20、有限元线弹性有限元 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；位移与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线 弹性动力学分析两方面。41 2.2.非线性有限元非线性有限元非线性问题与线弹性问题的区别：非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求 解；非线性问题不能采用叠加原理；非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预知 性。42 1 1）材
21、料非线性问题）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的应力与应变的函数关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。43 2 2）几何非线性问题）几何非线性问题 几何非线性问题是由于应变与位移之间存在非线性关系引起的。当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括
22、大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问 题。44 3 3）非线性边界）非线性边界 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非 线性问题。45 二、有限单元的类型 二、有限单元的类型 根据研究对象的不同，有限元法中采用的单元形式也不相同。通常，按照单元结构，可将单元划分为一维单 元（线单元）、二维单元（面单元）
23、和三维单元JIJKLI一维单元一维单元二维单元二维单元POMNKJIL三维单元三维单元46 按照单元结构特点和受力特点特点和受力特点，可将单元划分为：为：1 1）桁架杆单元：主要应用于受轴向力作用的杆和杆系，如桁架结构；2 2）刚架杆单元：用于梁及刚架结构分析；3 3）三角形平面单元：主要用于弹性力学中平面应力和平面应变问题的有限元分析；4 4）三棱圆环单元：用于轴对称问题的有限元分析；5 5）等参数单元：用于一些具有曲线轮廓的复杂结构。47第三节 有限元法的求解方法与步骤第三节 有限元法的求解方法与步骤48 一、有限元法求解的基本步骤 一、有限元法求解的基本步骤 1.1.结构离散化：对整个结
24、构进行离散化，将其分割 成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；2.2.求出各单元的刚度矩阵：是由单元节点位移 量 求单元节点力向量 的转移矩阵，其关系式 为；3 3.集成总体刚度矩阵 KK 并写出总体平衡方程：KK 是由整体节点位移向量 求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为，这就是总体平衡，这就是总体平衡方程；方程；)(eK)(eK)(e)(eF )()()(eeeKF F KF49 确定确定总体刚度矩阵 KK 的办法的办法1 1）直接利用总体刚度系数的定义 在求出整体结构中各节点力与节点位移关系的基础上获得总体刚度矩阵。此方法只只在简单情况下才能采用。2 2）集成法 将整体坐标下的单元刚度
25、矩阵进行迭加而得。这里所说的迭加不是简单的相加，而是将下角标相同的刚度系数相加，然后按总码的顺序对号入座。50 3 3）利用节点间的刚度系数直接写出总体刚度矩阵 总体刚度矩阵对角线上的刚度系数 等于在节点 i i 汇交的几个单元的刚度系数 之和；之和；非对角线上的刚 度系数 等于联结节点 i i 与节点 j j 间几个单元的刚度 系数 之和。ijK)(eijKijK)(eijK51 4.4.引入边界边界条件，求出各节点的位移 节点的边界边界条件有两种：一种是节点 n n 沿某个方向的位移为零，另一种是节点 n n 沿某个方向的位移为一给定值。5.5.求出各单元内的应力和应变求出各单元内的应力和
26、应变 52 二、有限元法分析过程有限元法分析过程 有限元法分析过程大体可分为：前处理、分有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后处理三大步骤。析、后处理三大步骤。1.1.前处理前处理 对实际的连续体离散化后就建立了有限元分析模型，这一过程是有限元法法的前处理过程。在这一阶段，要构造计算对象的几何模型，要划分有限元网格，要生成有限元分析的输入数据，这一步是有限元分析的关键。53 2.2.有限元分析有限元分析 有限元分析过程主要包括：单元分析、整体分析、载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体现在这一过程中。结构结构有限元法包括三类：有限元位移法
27、、有限元力法、有限元混合法。54 有限元位移法以以节点位移作为基本未知量；有限元力法以以节点力作为未知量；有限元混合法的的一部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未知量为节点力。有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。因此，一般不做特别声明时时，有限元法指的是有限元位移法。55 3.3.有限元分析的后处理有限元分析的后处理 有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状态等，并且绘成直
28、观的图形，从而帮助设计人员迅速的评 价和校核设计方案。56 三、有限元求解实例分析有限元求解实例分析【例 1 1】一根由两段组成的阶梯轴，一端固定，另一端承受一个轴向载荷 F3。这两段的横截面积分别为 A(1)和 A(2)，长度分别为 L(1)和 L(2)，弹性模量分别为 E(1)和 E(2)，如图所示。求出这两段的应力和应变。已知数据分别为 F3=100N，24)1(102mA，24)2(101mAmLL1.0)2()1(，MPaEE5)2()1(1096.157 1 2 3A(1)E(1)A(2)E(2)L(1)L(2)21F2F323F1F358【解】【解】1.1.离散化 把这根阶梯轴看
29、成是由两个单元组成的，节点选在截面积突变处，两个单元的连接处是一个节点，该阶梯轴的两端视为另外两个节点，所以整个结构共有三个节点。这根轴是一维结构，并只受轴向载荷，因此各单元内只有轴向位移。三个节点位置的 位移量分别记为、。在整个结构中节点载荷及节点位移均用大写字母标记，其角标为节点在总体结构中的编码，简称总码。12359 2）求单元刚度矩阵）求单元刚度矩阵下面分析某等截面单元（e）。当两端分别承受两个轴向力 和 作用时的位移情况。根据材料力学的知识可知，在两端节点 i、j 处的位移量 和 与轴向力 和 的关系式为)(eiF)(ejF)(eiF)(ejF)(ei)(ej)()()()()()(
30、)(ejeieeeeiLAEF)()()()()()()(ejeieeeejLAEF60 注意在分析单元刚度矩阵时，载荷 F 和位移 等参数的上角标为该单元的编码，下角标为该单元内节点的局部编码。上两式可写成：或简写为：)()()()()()()(1111ejeieeeejeiLAEFF )()()(eeeKF61 式中 为单元刚度矩阵或单元特性矩阵，其阶数等于单元中所包含的节点数；为单元节点力向量（列阵）；1111)()()()(eeeeLAEK)()()(ejeieFFF62 为单元节点位移向量（列阵），也为单元自由度列阵；)()()(ejeie将单元刚度矩阵改写成矩阵的标准形式，则 )5
31、1()()()()()()(ejjejieijeiieeKKKKLEALEALEALEAK63 该矩阵中任意一个元素 都称为单元刚度系数，它表示：)(eijK 该单元内除节点 该单元内除节点 j 产生单位位移外，其产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时在节点 余各节点的位移均为零时在节点 i 处所引起的载处所引起的载荷。荷。)()()()()()(ejjejieijeiieeKKKKLEALEALEALEAK64 3.3.总体刚度矩阵的集成和总体平衡方程的写出 该阶梯轴上三个节点位移、和三个节点轴 向力分别组成该整体结构的节点位移向量 和节点轴向力向量 。向量 。两向量间的转换关系可表示为或
32、或 123321FFF、F T321，TFFFF321，KF321333231232221131211321KKKKKKKKKFFF65 上上式中的转移矩阵称为总体刚度矩阵或总体特性 矩阵，其阶数等于总体结构中的节点总数。K 中的元素 称为总体刚度系数，它表示在中的元素 称为总体刚度系数，它表示在整体结构中除了节点 整体结构中除了节点 j 产生单位位移外，其余各节产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时在节点 点的位移均为零时在节点 i 处所引起的载荷。处所引起的载荷。ijK321333231232221131211321KKKKKKKKKFFF66 求出总体刚度矩阵是进行总体分析的主要任务，
33、一旦获得总体刚度矩阵，可以很容易地写出总体平衡方程。求总体刚度矩阵 KK 的方法主要由两种：一是直接法，即根据总体刚度系数的定义求解；另一种方法是集成法，即由各单元刚度矩阵求总体刚度矩阵。67 根据刚度系数的定义，当本结构中的节点 2和节点 3 位移量均为零时，要使节点 1 产生单位位移，在节点 1 处所需施加的载荷为 ，此即为 K11；当节点 1、3 固定，节点 2 产生单位位移时，在节点 1 处所引起的载荷为 ，此即为 K12；（1）直接法求总体刚度矩阵直接法求总体刚度矩阵 K)1()1()1(LAE)1()1()1(LAE68 当节点 1、2 固定，节点 3 产生单位位移时，在节点 1 处不会引起载荷，因此 K13=0；当节点 1、3 固定，节点 2 产生单位位移时，要在节点 2 施加的载荷为 ，此即为 K22；还可以按此方法依次写出其余各总体刚度系数。)2()2()2()1()1(
