1、课题背景,2023/11/12,1,两轮自平衡小车的左右轮共轴、独立驱动、整个车身质心基本位于车轮轴正上方，通过车轮前后运动实现动态平衡，并且可以实现直立行走。作为人为驾驶的代步工具，将会使得人们小范围、短距离的上班出行变得更加方便、灵活、环保。,课题背景,2023/11/12,2,双轮机器人属于动态稳定而静态不稳定的系统，本身具有多变量、非线性、强耦合等特性，它能有效反映诸如稳定性、鲁棒性、随动性等控制理论中的关键问题，对于学生掌握控制系统设计的基本方法十分有帮助，因而具有较大的研究价值。,课题背景,2023/11/12,3,系统工作原理,课题背景,2023/11/12,4,系统工作原理,前
2、进（后仰）,前进（纠正前倾）,后退（前倾）,后退（纠正后仰）,由于车身是不断变化，检测、反馈就不断随之变化，动态地跟踪车身的倾角状态，使车身一直保持平衡状态，这就是动态自平衡原理。,控制对象分析与建模,2023/11/12,5,忽略空气阻力后，可以将两轮平衡车抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：,其中，M小车质量 m摆杆质量 b小车的摩擦系数 l 摆杆的转动轴心到质心的长度 I摆杆惯量 F施加给小车的力 x小车的位置 摆杆与垂直向下方向的夹角 摆杆与垂直向上方向的夹角,自平衡车系统简图,图2 小车及摆杆受力分析,控制对象分析与建模,2023/11/12,6,忽略空气阻力后，可以将两轮平衡
3、车抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：,其中，M小车质量 m摆杆质量 b小车的摩擦系数 l 摆杆的转动轴心到质心的长度 I摆杆惯量 F施加给小车的力 x小车的位置 摆杆与垂直向下方向的夹角 摆杆与垂直向上方向的夹角,图1 自平衡车系统简图,图2 小车及摆杆受力分析,控制对象分析与建模,2023/11/12,1.分析小车在水平方向所受合力可得：,2.分析摆杆在水平方向所受合力可得：,(1),(2),3.把（2）式带入（1）式可得系统的第一个运动方程：,(3),4.对摆杆垂直方向受力分析可得：,(4),5.把（4）式带入（3）式可得系统的第二个运动方程：,(5),控制对象分析与建模,2023
4、/11/12,6.被控对象的输入力F用u表示，线性化后得到运动方程：,(6),7.整理后得到系统状态空间方程：,(7),控制对象分析与建模,2023/11/12,6.各物理量取以下数值，得到状态空间矩阵为：,M=1.096kg m=0.109kg b=0.1N/(ms)I=0.034kgm2l=0.25m g=9.8m/s2,状态变量,控制变量,输出变量,状态方程,控制对象分析与建模,2023/11/12,7.能控性和能观性分析：,Matlab程序：,结论：Rank（M）=4系统完全能控Rank（N）=4系统完全能观,syms I m M l b g x fai;M=1.096;m=0.109
5、;b=0.1;I=0.034;l=0.25;g=9.8;t=I*(M+m)+M*m*l2;A=0,1,0,0;0,-(I+m*l2)*b/t,m2*g*l2/t,0;0,0,0,1;0,-m*l*b/t,m*g*l*(M+m)/t,0;B=0;(I+m*l2)/t;0;m*l/t;C=1,0,0,0;0,0,1,0;Uc=ctrb(A,B)Vo=obsv(A,C)rankc=rank(Uc)ranko=rank(Vo)namid=eig(A),计算结果：rankc=4ranko=4,稳定性分析,2023/11/12,运用Matlab解出矩阵A的特征值如下：namid=eig(A)namid=0
6、-0.0830-2.5782 2.5769,A的特征值中有一个零点和一个整根，故系统的状态是不稳定的。,传递函数：,阶跃输入的响应曲线,极点配置,2023/11/12,1.状态反馈矩阵K的计算,已知该系统不稳定，要使系统稳定，必须重新配置极点，因为状态矩阵完全能控，所以可以采用状态反馈来使系统稳定。通过设置不同的极点，可以得到不同的状态反馈矩阵，再通过比较不同输入下的响应曲线的响应速度和稳定性，可以得出一组较好的极点以及状态反馈矩阵。,pole=-1,-2,-3,-4;K=place(A,B,pole)A1=A-B*K;pole=-3,-4,-5,-6;K=place(A,B,pole)A2=
7、A-B*K;pole=-8,-9,-10,-11;K=place(A,B,pole)A3=A-B*K;,Matlab计算程序:,极点为-1,-2,-3,-4时：K1=-4.3530-9.1688 80.5406 31.3573极点为-3,-4,-5,-6时：K2=-65.2954-62.1306 321.1232 124.8984极点为-8,-9,-10,-11时：K3=-1436.5-613.5 3121.3 986.3,计算结果:,极点配置,2023/11/12,2.阶跃输入下的响应,Matlab计算程序:,sys1=ss(A1,B,C,D);curve1=step(sys1);sys2=
8、ss(A2,B,C,D);curve2=step(sys2);sys3=ss(A3,B,C,D);curve3=step(sys3);,figure;hold on;plot(curve1(:,1),color,blue);plot(curve2(:,1),color,red);plot(curve3(:,1),color,green);xlabel(时间（s）);ylabel(位移（m）);hold off,figure;hold on;plot(curve1(:,2),color,blue);plot(curve2(:,2),color,red);plot(curve3(:,2),colo
9、r,green);xlabel(时间（s）);ylabel(摆动角度（rad）);hold off,极点配置,2023/11/12,2.阶跃输入下不同状态反馈矩阵K的响应曲线,极点配置,2023/11/12,2.白噪声输入下不同状态反馈矩阵K的响应曲线。,Matlab计算程序:,figure y1=wgn(100,1,0);t=1:100;sys=ss(A,B,C,D);lsim(sys,y1,t);sys1=ss(A1,B,C,D);curve1=lsim(sys1,y1,t);sys2=ss(A2,B,C,D);curve2=lsim(sys2,y1,t);sys3=ss(A3,B,C,D
10、);curve3=lsim(sys3,y1,t);,figure;hold on;plot(curve1(:,1),color,blue);plot(curve2(:,1),color,red);plot(curve3(:,1),color,green);xlabel(时间（s）);ylabel(位移（m）);hold off,figure;hold on;plot(curve1(:,2),color,blue);plot(curve2(:,2),color,red);plot(curve3(:,2),color,green);xlabel(时间（s）);ylabel(摆动角度（rad）);h
11、old off,极点配置,2023/11/12,2.白噪声输入下不同状态反馈矩阵K的响应曲线,状态观测器设计,2023/11/12,系统能观，故可以设计状态观测器。设置极点设为-2,-3,-4,-5,1.全维状态观测器,Matlab计算程序:,全维观测器方程:,A=0 1 0 0;0-0.0843 0.1502 0;0 0 0 1.0000;0-0.0563 6.6437 0;C=1,0,0,0;0,0,1,0;op=-2,-3,-4,-5;G=(place(A,C,op);,G=3.998,-0.003487 603.4,-2207.0-0.8127,9.917-14.44,55.45,反馈矩阵G:,进一步的工作,2023/11/12,1.状态观测器设计2.极点配置3.Matlab仿真,参考文献,2023/11/12,1.赵勇.两轮不稳定机器人载体运动学及动力学变结构控制研究.西安电子科技大学硕士论文.20072.茹斐斐.双闭环控制方法在两轮自平衡车中的应用研究.河南大学.2013,
