1、排列组合公式,排列组合公式非降路径问题组合恒等式,排列与组合,从五个候选人中选出两个代表把5本不同的书安排在书架上从五个候选人中选出两个代表时，有10种可能的结果。把5本不同的书安排在书架上有120种方法选出-组合；安排-排列,一、排列组合公式,排列问题：从某个集合中有序地选取若干个元素的问题组合问题：从某个集合中无序地选取若干个元素的问题注意：可以重复 不能重复,排列,无重排列可重排列从1,2,9中选取数字构成四位数，使得每位数字都不同，有多少个？从1,2,9中选取数字构成四位数，使得不同数位上的数字可以相同，有多少个？,1、无重排列,n个元素的r-无重排列数：排列的长度r计算（一般情形）：
2、乘法原理r=n时,n个元素的全排列r=0时rn时,2、可重排列,n个元素的r-可重排列数计算（乘法原理）,例题,在1和10,000,000,000之间的一百亿个数中，有多少个数含有数码1？又有多少个数不含数码1？不含1:910含1:1010-910+1,例题,一个二元序列是由一些0和1所组成的序列。n码二元序列指该序列中数码的个数为n。试问，含有偶数个0的n码二元序列的个数是多少？2n-1考虑n码四元序列，即以0,1,2和3为其数码的序列。则含0和1的总个数为偶数的序列有多少个？4n/2,例题,求n码四元序列中含有偶数个0的个数？,放球问题,设nr，把r个不同的球放入n个不同的盒子，这里每一盒
3、最多只能装一物，允许空盒。放球的方法数为多少？第一个球有n种选法，第二个球有n-1种，等等，乘法原理P(n,r),放球问题,把r个不同的球放入n个不同的盒子，一个盒中可以放多个球，也允许空盒。放球的方法数为多少？第一个球有n种选法，第二个球有n种，等等，乘法原理nr这里n和r的大小没有限制,例子,将3封信向2个信箱投寄，有多少种投寄方法？23=8无序占位模型：不考虑盒子中的排列次序,放球问题,把r个不同的球放入n个不同的盒子，一个盒中可以放多个球，也允许空盒。考虑每个盒子中球的次序。放球的方法数为多少？有序占位模型有n种方法放第一个球，第一个球放入一个盒后，可以把这个球当成是一个添加的隔板，它
4、把该盒分成两个盒，因此放第二个球有n+1种方法。等等n(n+1)(n+2)(n+r-1)=nrF(n,r)r!,例子,某车站有6个进站口，今有9人进站，有多少种不同的进站方法？69=6714七部汽车通过五间收费亭的方式数？今欲在五根旗杆上悬挂七面不同的旗子，全部旗都得展示出来，但并非所有的旗杆都得使用，问有多少种安排的方法？,放球问题,另解：把这样一个方法设想为r个不同的球和n-1个相同的盒间板的一个有序安排。,组合,无重组合可重组合从a,b,c中选取2个不同元素，选法数是多少？从a,b,c中选取5个元素，元素可以相同，选法数是多少？,3、无重组合（Combination）,n个元素的r-无重
5、组合数无重组合数与无重排列数的关系计算r=0时r=n时rn时,组合数的推广,几个记号,下阶乘函数,上阶乘函数,计算,例题,如果一个凸十边形无三条对角线在这个十边形的内部交于一点，问这些对角线被它们的交点分成多少条线段？,多边形,例题,对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能交点为多边形的顶点，可能无交点（交点在多边形外）任选四个顶点，对应一个交点，每个对角线分成两段每个对角线是一段35+C(10,4)2=455,例题,C(5,2)-5+C(5,4)2=15,C(10,2)-10+C(10,4)2=455,C(4,2)-4+C(4,4)2=4
6、,4、可重组合,n个元素的r-可重组合例子计算一一对应的思想,推论,方程x1+x2+xn=r 的非负整数解的个数。nr时，此方程的正整数解的个数n元集合的r-可重组合数，要求每个元素至少出现一次。正整数r的n-长有序分拆的个数求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目，其中x1 3,x2 1,x3 0,x4 5。,例题,从为数众多的一分币、二分币、一角币和二角币中，可以有多少种方法选出六枚来？F(4,6)=C(4+6-1,6)=C(9,6)=84,例题,某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕点，求市场上能买到多少种该厂出品的盒装糕点？某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕点，且要求每种糕点至
7、少放一块。求市场上能买到多少种该厂出品的盒装糕点？,例题,摇三个不同的骰子的时候，可能的结果的个数是多少？63=216。如果这三个骰子是没有区别的，则可能结果的个数是多少？从1,2,3,4,5,6这六个数中允许重复地选出三个数。F(6,3)=C(6+3-1,3)=56将r个骰子掷一次，总共可以掷出多少种不同结果？F(6,r)=C(6+r-1,r)=C(r+5,r)=C(r+5,5),有约束条件的排列：引例,用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆上，问可以组成多少种不同的标志？,5、有约束条件的排列,设有k个元素a1，a2，ak，由它们组成一个n-长的排列，其中对1ik，ai出现的次数为ni，n
8、1+n2+nk=n，求排列的总数。求解方法1求解方法2,例题,五条短划和八个点可以安排成多少种不同的方式？如果只用这十三个短划和点中的七个，则有多少种不同的方式？,例题,证明对任意正整数k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。提示：k!个物体，其中k个物体属于第一类，k个物体属于第二类，k个物体属于第(k-1)!类。,推论,多项式(x1+x2+xn)r的展开式中有 项，其中项 的系数为。,例题,数1400有多少个正因数？1400=23 52 7(3+1)(2+1)(1+1)=24,放球问题,设nr，把r个相同的球放入n个不同的盒子使得每盒至多装一个球，方法数？选盒子即可C(n,r),放球问
9、题,把r个相同的球放入n个不同的盒子，每盒可以装任意多个球，方法数？放这r个球，等价于从n个盒中选出r个来装这r个球而允许诸盒重复选取。F(n,r)=C(n+r-1,r),放球问题,把r个相同的球放入n个不同的盒子，每盒可以装任意多个球，方法数？另解：把分配这r个球入n个盒子设想为这r个球和n-1个隔板的一个排列。球是相同的，隔板也是相同的。C(n+r-1,r),放球问题,设r n，把r个相同的球放入n个不同的盒子中，盒子中可以放入任意多个球，但不允许空盒，方法数？现在每个盒中放入一个球，再放剩下的r-n个球C(r-n)+n-1,r-n)=C(r-1,r-n)=C(r-1,n-1),放球问题,
10、设r n，把r个相同的球放入n个不同的盒子中，要求每一盒至少包含q个球，方法数？现在每个盒中放入q个球，再放剩下的r-qn个球C(r-qn)+n-1,r-qn)=C(n-nq+r-1,r-nq)=C(n-nq+r-1,n-1),放球问题：例题,今有五封不同的信要经由一个讯道传送。又有总共15个空白要插在这些信之间而使得每两封信之间至少有三个空白。有多少种方法安排这些信和空白？信的安排5！对一种信的安排，有4个信件位置，安排15个空白，要求每个信件位置至少有三个空白。5！C(4-4 3+15-1,4-1)=5!C(6,3),放球问题,有n个球，其中第一种颜色n1个，第二种颜色n2个，第k种颜色n
11、k个。将这n个球放入n个不同的盒中，每一个盒装一个球。问分配方案数？等价于这n个球的排列数。另解：选盒子装每种颜色的球。,放球问题,有r个球，其中第一种颜色n1个，第二种颜色n2个，第k种颜色nk个。将这r个球放入n个不同的盒中，每一个盒装一个球（rn）。问分配方案数？方法一：先选盒子，再分配球。方法二：针对每种颜色的球选盒子。,多重集合,通常的“集合”具有无重性。在多重集中，同一个元素可以出现多次。1,2,3是一个集合，而1,1,1,2,2,3不是一个集合，而是一个多重集，简记为31,22,13。计算多重集的势时，出现多次的元素则需要按出现的次数计算。上面多重集的势为6。可重组合与可重排列可
12、以看作是多重集的组合与排列问题。,可重排列与可重组合,n个元素a1,a2,an的r-无重组合(排列)可以看做多重集1a1,1 a2,1 an的r-组合(排列)。n个元素a1,a2,an的r-可重组合(排列)可以看做多重集a1,a2,an的r-组合(排列)。有限制的排列问题可以看做多重集n1a1,n2 a2,nk ak的全排列。,分组与分堆,区分：固定分组,将12本(不同的)书平均分给A,B,C,D四个学生，每人三本，有多少种分法？将12本书分给四个学生，使得A,B各得四本，C,D各得2本，有多少种分法？将12本书分给四个学生，A得5本，B得4本，C得2本，D得1本，有多少种分法？,区分：分堆,
13、将12本书平均分成四堆有多少种分法？将12本书分成四堆，有两堆各4本，另外两堆各2本，有多少种分法？将12本书分成四堆，其本数分别为5,4,2,1，有多少种分法？,区分：不固定分组,将12本书平均分给A,B,C,D四个学生，使得每人各得三本，有多少种分法？将12本书分给A,B,C,D四个学生，使得有两个学生各得4本，有两个学生各得2本，有多少种分法？将12本书分给A,B,C,D四个学生，使得有1人得5本，有一人得4本，有1人得两本，有1人得1本，有多少种分法？,分组与分堆,固定分组：无序分组：分堆不定分组固定分组与分堆的区别是讲不讲组间的次序，只在各组元素个数相等时有区别固定分组与不定分组的区
14、别是每个组的元素个数是不是确定，只在各组元素个数不等时才有区别。,区分（一）,将12本书分给四个学生，使得A,B各得四本，C,D各得2本，有多少种分法？将12本书分成四堆，有两堆各4本，另外两堆各2本，有多少种分法？将12本书分给A,B,C,D四个学生，使得有两个学生各得4本，有两个学生各得2本，有多少种分法？,区分（二）,将12本书分给四个学生，A得5本，B得4本，C得2本，D得1本，有多少种分法？将12本书分成四堆，其本数分别为5,4,2,1，有多少种分法？将12本书分给A,B,C,D四个学生，使得有1人得5本，有一人得4本，有1人得两本，有1人得1本，有多少种分法？,区分（三）,将12本
15、书平均分给A,B,C,D四个学生，每人三本，有多少种分法？将12本书平均分成四堆有多少种分法？将12本书平均分给A,B,C,D四个学生，使得每人各得三本，有多少种分法？,限距组合：引例,书架上有1-24共24卷百科全书，从其中选5卷使得任何两卷都不相继，这样的选法有多少种？,6、限距组合,设A=1,2,n，它的任一r-无重组合均可以依自然顺序排出a1,a2,ar，其中a1a2 ar。设k是非负整数，用f(k,n,r)表示A的一切满足条件ai+1-aik+1(1ir-1)的r-无重组合数，求f(k,n,r)。求解思想：一一对应k=0时,例题,书架上有1-24共24卷百科全书，从其中选5卷使得任何
16、两卷都不相继，这样的选法有多少种？,7、圆排列,n个元素的r-无重圆排列数圆排列与线排列的区别计算,例题,例1,把20个不同的钉子钉在鼓表面一周，订钉子的方式有 种。,例2,把20个不同的珍珠串成项链，串项链的方式有 种。,项链问题,例 从1到300间取出3个不同的数，使它们的和被3整除，有多少种取法？,提示：将1到300这300个整数按照除以3的余数分成3组，考虑选出的3个数属于哪些组。,例 下图中有多少个矩形？,映射的个数,n元集X到m元集A的映射的个数将X看作物件的集合，A看作盒子的集合。则一个映射表示把物件放入盒子的一种安排。要求(1)每个物体都要放入某个盒子；(2)一个物体不得放入两
17、个盒子；(3)允许多个物体放入同一盒子；(4)可以剩有空盒子。若将X看作有标号的位置的集合，A看作排在这些位置的字母的组合，则一个映射对应一个长为n的字。则(1)字长必须为n；(2)一个位置只能放一个字母；(3)多个位置可以重复出现同一字母；(4)有些字母有可能不出现。,例题,n元集合X到m元集合A的映射的个数？将n个物体放在m个的盒子中的不同放法？n元集合X到m元集合A的单射的个数？把n个物体放入m个盒子，每个盒子至多放一个物体的安排有多少种？3个物体分放到4个不同的盒子中，要求每个盒子至多放一个物体的放法数？,映射,设映射f：1,2,n 1,2,m(nm)(1)若f是严格递增的，则不同的f
18、有多少个？(2)若f是不减的，则不同的f有多少个？,例题,1、从A=a,b,c中任取两个不同的字母构成的字共有多少个？2、m元集合的n元子集的个数？3、平面上任三点都不共线的25个点，可形成多少条直线？可形成多少个三角形？,例题,用26个英文字母能构成多少个含有3个、4个或5个元音的长为8位的单词？（其中，一个字母出现在单词中的次数不限）,例题,从一副52张扑克牌中任取13张得一手牌，在每一手牌中不考虑这13张牌的次序，则总共有多少手不同的牌？把一副52张扑克牌分给4个人，每人得13张，则总共有多少种不同的牌局？,例题,用4个a，4个b，2个c和2个d这12个字母能组成多少个具有12个字母的字
19、？用字母a，b，c组成5个字母的字，每个字中a至多出现2次，b至多出现1次，c至多出现3次。这种字的个数是多少？,例题,单词mississippi中字母的排列数为？求多重集3a,2b,4c的8排列的个数？,例题,求26个英文字母的全排列中，任意两个元音字母都不相邻的方案数？,例题,Banach火柴盒问题：某数学家随身携带A,B两盒火柴，要用火柴时就随意从其中一盒中取出一根。假定开始两个火柴盒各放有n根火柴，问在某一次当数学家发现拿出的那一个火柴盒变空时，另一盒中尚剩p(pn)根火柴的概率是多少？,例题,10个人排成一排，其中有2个人不愿彼此挨着，求所有不同的排列的数目。10！-29！或 8！A
20、(9,2)=290304010个人围一圆桌入座，其中有2个人不愿彼此挨着就座，求所有不同的圆排列的数目。9!-28!或7！A(8,2)=282240,例题,安排10个男生和5个女生排成一排，使任意2个女生都不相邻的排法有多少种？A(10,10)A(11,5)安排10个男生和5个女生围成圆圈入座，使任意2个女生都不相邻的坐法有多少种？,例 从给定的6种不同的颜色中选不同的颜色将一个正方体的六个面染色，要求每个面染一种颜色，具有相同棱的面染成不同的颜色，则不同的染色方案有多少种？,分析：,一种颜色？,两种颜色？,三种颜色？,相对的面染成相同的颜色,只有一种方式,C(6,3),四种颜色：,五种颜色：
21、,六种颜色：,C(6,4),C(4,2),C(6,5),C(5,1)3！/2,C(6,6),C(5,1)3！,例 试求由1,3,5,7组成的数字不重复出现的整数的总和。,分析：,一位数,1，3，5，7,两位数,个(十)位数为1的两位数的个数,三位数,个(十、百)位数为1的三位数的个数,四位数,个(十、百、千)位数为1的四位数的个数,例 假定把全部的5码数印刷在纸条上，而一张纸条上印一个数。所谓5码数是由0,1,2,9这十个数字中的5个数字组成的数，开头的一个或者几个可以为0，例如00102,00000都是5码数，显然有100000个这样的5码数。然而由于数字0,1,6,8,9被倒过来就成了0,
22、1,9,8,6。而一张纸条可以从上下两个方向正看和倒看，所以有些5码数可以共用一张纸条，如89166与99168。于是我们的问题是要用多少个不同的纸条才能做出这些5码数？,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,0,1,0,1,倒过来,8,8,6,9,9,6,13578,13578,倒过来,89166,68189,89166,68189,不是5码数,仍是5码数,仍是5码数,但不是自己,而且是自己,5码数共105个,倒过来仍是5码数的有55个,倒过来不再是5码数的有10555个,一个数一张纸条,倒过来是自己的有3x52个,倒过来不是自己的有553x52个,一个数一张纸条,两个数共用一张纸条,所以
23、纸条的个数为,(10555)+,3x52+,(553x52)/2,105,(553x52)/2,=98475,例 甲、乙两方各有7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛。双方先由1号参加比赛，负者被淘汰，胜者再与对方2号队员比赛，直到有一方全部被淘汰，另一方获得胜利，形成一种比赛过程。那么所有可能出现的比赛过程的种数为多少？,甲,乙,箭头指向谁，表示谁负,甲方赢：,甲,乙,甲,乙,甲,乙,例 某车站有6个进站口，今有9人进站，有多少种不同的进站方法？,进站口,人,任务：,给每个人选择进站口，选择进站的次序？,安排：,6种方式,安排：,7种方式,安排：,8种方式,安排：,14种方式,进站方式
24、种数为,方法一：,取,的一个全排列，,和5个,对应的进站方式为：,方法二：,进站方式为：,对应的排列为：,进站方式种数为,或,14个位置取5个放方框(不讲顺序)，剩下的放人(将顺序),方法三：,先选车站，,再排人，,对应的进站方式为：,对比,例 某车站有6个进站口，今有9人进站，有多少种不同的进站方法？今欲在六根旗杆上悬挂九面不同的旗子，全部旗都得展示出来，但并非所有的旗杆都得使用，问有多少种安排的方法？,例 8个人 两两配对分成4组有多少种方式？,方法一 给每个人配对,方法二 一对一对地选，注意会重复,推广：2n个人两两配对分成n组有多少种方式？,非降路径问题,从点 到达点 的非降路径,非降
25、路径数,由(0,0)到(m,n)的非降路径数为。由(a,b)到(m,n)的非降路径数为。由(0,0)到(m,n),再到(a,b)的非降路径数。,例题,从点(0,0)到达点(m,n)，其中mn，要求中间所经过的路程上的点(a,b)都满足ab。问有多少种不同的路径？,分析,从(0,0)到(m,n)的非降路径,过对角线,必过对角线,一一对应：反射,(0,0)(0,1)(m,n),(0,0)(1,0)(m,n),不过对角线,反射：从上向下看，找路径与对角线交点的第一个点，关于对角线反射左下边路径，与右上的路径组合成一条路径。,例题,求从点(0,0)到达点(n,n)且不与直线y=x相交的非降路径数？分析
26、：上一例题的特殊情况,例题,一场音乐会的票价为50元/张，排队买票的顾客中有n位持有50元的钞票，m位持有100元的钞票，售票处没有准备50元的零钱。试问有多少种排队的方法，使购票能顺利进行，不出现找不开钱的状况，假定每位顾客限买一张，每位顾客仅买票一张，而且nm。,例题,用(m+n)维0,1-行向量(a1,a2,am+n)表示一种购票排队状态，其中ai=1表示第i位持50元的钞票，ai=0表示第i人持100元的钞票。这样的行向量有m个0，n个1，所以这样的行向量共有C(m+n,m)个，每个行向量可以对应从点(0,0)到点(m,n)的非降路径。当ai=1时，对应路径中的第i步沿y轴向上走一格，
27、当ai=0时，对应路径中的第i步沿x轴向右走一格。为了使购票顺利进行，每个路径中的点(a,b)应满足ab。也就是每个路径在直线y=x的上方且不穿过直线 y=x，可以有交点。,由于nm，也就是在直线y=x-1上方的所有路径。从(0,0)到(m,n)的在直线y=x-1上方的非降路径从(0,1)到(m,n+1)的在直线y=x上方的非降路径从(0,0)到(m,n+1)的在直线y=x上方的非降路径,第n个Catalan数,Catalan数,第n个Catalan数,Catalan数的组合学意义,例题,n个+1和n个-1所组成的序列中所有其前k项(k=1,2,2n)之和不小于0的序列的数目是多少？满足条件的
28、序列为好序列，不满足条件的为坏序列。好序列数=序列总数-坏序列数。n个+1和n个-1所组成的坏序列与n+1个+1和n-1个-1所组成的序列一一对应。,例题,对每个坏序列，总可以找到最小的正奇数，使得ak=-1且ak之前的+1和-1的个数相等。将这个坏序列中前k项的每一项取反号，其余部分保持不变。所得序列为n+1个+1和n-1个-1组成的序列。-1,-1,1,1,-1,1变为1,-1,1,1,-1,1反之，对任一由n+1个+1和n-1个-1组成的序列，从左到右扫描，当+1的个数第一次比-1的个数多1时就把这些扫描到的项全部取反号，其余项不变，结果得到满足要求的坏序列。1,-1,1,1,-1,1变
29、为-1,-1,1,1,-1,1,二项式定理,组合恒等式,组合数,组合恒等式：由组合数构成的恒等式,组合数的大小关系,n为奇数,n为偶数,1.,证明一：,计算,证明二：,组合分析法,2.,杨辉三角形,计算,Pascal三角形,证明一：,证明二：,组合分析法,3.,利用二项式代特殊值,证明一：,证明二：,一方面，按照子集的个数分类求和,n元集合的所有子集的个数,另一方面，按照元素与集合的属于、不属于关系,4.,二项式定理代特殊值,证明一：,证明二：,组合分析法,5.,朱世杰恒等式,6.,应用：,7.,证明一：倒写，然后两式相加,证明二：计算，提出n,证明三：求导数,证明四：组合分析法,证明五：数学归纳法,8.,证明一：积分,证明二：计算，分子分母同乘n+1,证明一：组合分析法,证明二：利用多项式的系数,证明三：非降路径法,证明三：,非降路径法,从 到 的非降路径过且仅过直线 上线段AB的一个格点,证明一：计算,证明二：组合分析法,证明一：计算,证明二：组合分析法,证明一：数学归纳法,证明二：一般项,证明三：加减项,证明四：组合分析法,例 设集合A=a1,a2,an，A 的m个子集A1,A2,Am 两两互不包含。试证：,(1),(2),例 给出 的个位数字和十位数字。,例 证明r个连续自然数的乘积可被r！整除。,例 如果p是素数，则,都能被p整除。,
