1、小学 数学四年级下 第三单元 角与三角形的认识青岛版实验教材四年级下册教材培训纲要第三单元：繁忙的工地 角与三角形的认识 素材解读1、素材的选取。本单元我们以两个小学生参观建筑工地的所闻所见为素材,引起学生对角与三角形的认识的学习。以此为素材主要是考虑到以下几点：（1）三角形在建筑领域中应用的广泛性。三角形在建筑业中应用的非常广泛，比如说房梁，大桥上的拉索，体育馆、飞机场的顶棚支架，铲车上的铲斗臂，塔吊上的脚手架，升降机上的变形架等等，到处都是三角形。因此，我们选择了建筑工地为素材，应该说是比较有代表性的。（2）启迪学生用数学的眼睛观察事物，培养数学意识。教材设计了两个参观的孩子，将整个单元串
2、在了一起。通过2个孩子的对话，不仅引出对角与三角形认识的学习。而且还能向学生传递这样一个信息：要像情景图中的小学生一样，树立用数学的眼睛观察世界的意识。2、本单元的情景串。本单元有2个信息窗。依次是：二、单元知识分析后续学习的知识平面图形的认识和面积计算本单元新学知识1、角的认识（认识平角、周角）2、量角器的认识及使用（角的度量）3、角的分类4、角的画法5、三角形的认识及其特性6、三角形的分类7三角形的内角和8、三角形3边长度之间的关系已学的知识1、三角形的初步认识（一下3）农妇与牧童2、角的初步认识（二上3）小制作3、角的分类（二上3）锐角、直角、钝角直观感知没有量化。4、直线、射线和线段（
3、三上8）5、垂线（三上8）我跟爸爸学设计单元重点与难点重点：角的度量三角形的分类三角形内角和的推导【之所以确定这三点作为教学重点，一是因为学生是第一次认识和学习使用量角器的；二是三角形的分类是以后学习等边三角形、等边三角形的性质及学习三角函数的基础。三是三角形内角和的推导过程是“数学方法”这一教学目标的载体。这三个重点处理好了，其他的概念就很容易解决】难点：角的度量三角形内角和推导三角形三边之间的关系单元教材解读信息窗1的解读一、情景图的解读。此信息窗的题目为“挖掘机施工现场”。情景图上呈现的是两个小朋友参观挖掘机施工现场的场景。二、情景图中的信息。情景图承载的信息：只有一条：铲斗臂上各种类型
4、的角。三、例题的设置与功能。本信息窗一共有3个例题，包含的知识点分别是:（1） 进一步认识角（平角、周角的初步认识及角的意义的概括）;（2）角的度量（认识和使用量角器）和角的分类;（3）角的画法。四、教学的策略及注意事项1、注意区别平角、周角与直线、射线的关系2、测量不同方向的角的度数是难点，教学时要浓墨重彩。量角器上有两圈刻度线，在度量角的大小时，什么时候读内圈刻度，什么时候读外圈刻度，学生很不容易掌握，这就要求教师不要急于求成，让学生多观察、多讨论，多实验，多练习，切实突破难点。3、角的画法不能忽视我们经常说教材是一种平面媒体，那么，它就一定有它的局限性，虽然教材在学习角的画法这一内容时，
5、试图用几个箭头体现出画角的流程，但是还是不够清楚，所以教学时，教师要示范演示或者是充分运用多媒体课件动态展示画角的全过程。让学生明白画角的步骤有哪些，先画再然后再画4、亲历活动、丰富感知、建立表象。几何教学需要直观，动手操作又是将抽象的东西直观化的有效途径。所以，教学时，应给学生充分的时间和空间，通过观察操作，有条理的思考和推理、交流，经历从现实空间中抽象出几何图形，探索图形性质及其变化规律的过程，获得对图形的认识，发展空间观念。这里老师要注意的是，为学生提供操作材料，比如说认识平角和周角时，要给学生准备一些活动的角或者做活动角需要的材料。5、注重教具、学具和现代教学手段的运用，加强教学的直观
6、性。在认识周角、平角及量角、画角时，一定要让学生充分使用学具（活动的角、三角板、量角器等都是本节课必备的用品）；在量角器的认识教学环节中，有条件的老师要充分利用多媒体课件，动态的呈现出1度的角。让学生直观地认识“1度”的含义。另外，用量角器量角、画角都需要用实物投影仪向学生进行交流和反馈。6、注意操作的有效性：适时、适度、适量。数学活动的核心是思维活动。动手操作是一种定向的心智活动，其方向决定着教学目标。动手操作不能等同于探究，要看学生在操作活动中付出了多大的思维代价，否则就不能体现探究的真正价值。动手操作的目的在于让学生借助直观的活动来实现其思维的提升，操作是手段不是目的，操作只有适时、适度
7、、适量，才能充分体现其有效性。五、例题教学的具体阐释问题的引出与理解情境：一是清楚两个名词挖掘机和铲斗臂。二是为什么铲斗臂可以形成不同的角（启发：小朋友有没有发现，在挖掘机长长的手臂上，中间有一个固定不动的点，这个点将挖掘机的手臂分成了两部分，这样便于根据工作的需要，随时调整两部分的位置关系，这时候手臂上的两部分就形成大小不同的角。）教师可以自制简单的教具进行演示。三是问题的引出，教师应随时准备提出问题，不能仅仅地依靠学生将问题提出来（启发：小朋友有什么问题没有？大家有没有发现，铲斗臂上的角能大能小，那么铲斗臂在工作中可以形成什么样的角？小朋友有没有发现这样问题？用此种形式将问题引出，也是学生
8、提出问题的一种方法，虽然是从老师嘴里说出来的，但它可以看作不是直接地由教师提出来，而是在教师启发下，教师作为学生中的一员，作为学生提出来的问题。）例题一：铲斗臂在工作中可以形成什么样的角？ 学习平角、周角。（一）描述情境（中的角），可以结合情境图及自制教具（像铲斗臂一样的教具），让学生用手指或铅笔将图中的角描出来。这样便于接下来的学习活动，因为下面的学习是以上面的学习为基础的，我们可以设想一下，假如学生在不懂情境中的角的情况下来学习抽象数学中的角，学生可能就会纳闷：情境中的角在哪儿呀？不能在学生学习了什么是角的情况下再来明白情境。当然作为角的数学学习的需要，注意在引导学生描述角的时候，不要忘记
9、提示学生从那个固定不动的点出发，分别描出两条线。（二）学具探究，就像教材上一样，将两根木条钉住，既做成了一个活动的角，通过活动角的演示进一步理解。注意：一是问题，既让学生利用活动的角到底去干什么像老师这样，将两根木条的一端钉住，这样就做成了一个可以活动的角。试一试，用它可以得到哪些角？二是要将活动角及时地进行抽象，既将学生汇报得到的每一个活动角及时地用图进行抽象。当然作为仔细指导的需要，教师不要忘记演示，也即在教师画出角的同时，学生与教师同步画出来。这就相当于教材中所指示的那样，每一个活动角的下面抽象出一个画出的角，在这个过程中，同时也要将角的内部的那个小圆狐画出来，还要在内部标出数字1、2、
10、3、4、5（教材中只标出了数字1）。三是抽象平角与周角。四是优化平角与周角的画法，既结合平角与周角的描述性定义，再将平角与周角画出来。五是角的记法与读法。如果给出上述学习一个教学的模式的话，那就是：提出问题探究问题梳理认知优化认知。例题二：角一和角二哪个大呢？ 学习角的大小比较方法。策略为：提供案例，对比辨析。教学时可以用木条钉成上述形式：横向看角的两条边长短不同，纵向看角的两条边长短相同。然后将其抽象为数学图形，既将上述木条钉成的角画出来。结合实物与图形的观察与辨析，引导学生横向与纵向观察。横向观察：发现“变中的不变”，既发现虽然边长不同，但角的大小是相同的。纵向观察：发现“不变中的变”，既
11、发现虽然边长相同，但角的大小是不同的。教学模式：猜想验证反思升华。猜想既横向观察猜想出角的大小是相同的，纵向观察猜想出角的大小是不同的；验证既利用三角板量一量，验证上述的猜想；反思既引导学生想到“角的大小与边和长短没有关系，只与叉开的大小有关”，同时用数学语言进行梳理，也即“角的大小”；升华既引发学生的进一步反思：为什么角的大小与边和长短没有关系呢？因为角的两条边实际上是两条射线，是无限延长的，只不过我们在画角的时候，有时长一些，有时短一些。最后，将纵向的两个锐角作为巩固，既教材上的例题。练习时要将其从上述情境中取出来，使之脱离情境的提示。下面我们看怎样教学度量角的大小。理解1度的大小：策略：
12、语言描述与演示结合，帮助学生理解如何将一个圆平均分成360份。想到度量与度量单位：（启发）我们知道，度量线段的长短要用长度单位如米、分米、厘米等，那么如何度量角的大小呢？度量角的大小的单位是什么呢？如何将圆平均分成360份呢？画出圆，这其实就是一个周角；将圆平均分成2份后得到一个平角；将半圆（既平角）再平均分成2份，得到一个直角；将每一个直角再平均分成2份。上面其实就是将一个圆平均分成了8份。然后将这8份分别再平均分成5份，这其实就是将一个圆平均分成了40份。接下来把这40份中的每一份再平均分成3份，这其实就是将一个圆平均分成了360份。这样其中一份所对的角就是1度的角。回头再来梳理一遍：画出
13、圆，这其实就是一个周角，周角是360度；将圆平均分成2份后得到一个平角，平角是180度；将半圆（既平角）再平均分成2份，得到一个直角，直角是90度；将每一个直角再平均分成2份，得到的每一份是45度（可以用三角板上的45度角进行演示）；再将这个45度的角平均分成5份，每份是9度；把这个9度的角平均分成3份，每份所对的角就是3度；最后把它平均分成3份，每份所对的角就是1度。认识量角器：引导想到工具量角器。研究量角器通过交流与梳理要知道：一是数字，包括内圈数字与外圈数字；内圈数字从右至左分别为0、10、20170、180，外圈数字从左至右分别为0、10、20170、180。二是内圈数字与外圈数字之间
14、的关系，相对的两个数字的和为180，这其实是初中学习中补角的和是180度的渗透。三是有线、有格。四是中心点。最后还要对这些数字所表示的意义进行梳理，既教材中提示的“量角器是把半圆等分180份，其中每一份所对的角的大小就是1度”。用量角器度量角的大小由物到形，由简到繁，由单一到综合。由物到形：先量三角板上角的大小，再量画下来的角的大小。由简到繁：再量画下来的角的大小时，先量开口向右或右上方向的角的大小，再量开口向左或左上方向的角的大小。这两种情况角的一条边都是水平方向的，与学生日常生活习惯相同。每种情况分别阅读内圈刻度与外圈刻度。然后量开口为其它方向的角的大小。由单一到综合：把几种情况合在一起进
15、行练习。不论哪种情况，都要及时地进行梳理或辨析。梳理“三个重合”：量角器的中心与角的顶点重合，0度刻度线和角的一条边重合，看角的另一条边与哪一个刻度线重合，这个刻度线上的数字就是角的大小。辨析利用开口方向不同的角，辨析到底读内圈刻度还是读外圈刻度。如何教学角的分类？提供探究材料猜想验证反思升华。提供探究材料：既提供如教材所示的五种角的图形，从小到大排列。猜想：既猜想每一种角的大小或取值范围。验证：用三角板或量角器进行测量，验证上述的猜想是否正确。反思与升华：既给出直角、平角与周角的大小数值，给出锐角和钝角的取值范围。如何教学画角？我们不妨采取以下的教学策略从特殊到一般，由经验到抽象。从特殊到一
16、般：特殊的角为直角、平角与周角，不妨先画出这些角。当然由于它们特殊，使用的工具也是特殊的（三角板）。由经验到抽象：上述的画角就是借助于学生的经验进行学习。因为结合上面的学习，我们已经渗透了它们的角的大小，已经与相应的工具进行结合。不妨分解为两个步骤：一是画特殊的角，既45度、30度与60度的角，因为说它们特殊，是因为我们在上面的学习中已经测量过三角板上角的大小，知道了三角板上的每一个角的大小；二是画40度的角，既教材中的例题。信息窗2的解读一、情景图的解读。 情景图解读：此信息窗的题目为“塔吊施工现场”。情景图上呈现的是两个小朋友参观塔吊施工现场的场景。二、情景图中的信息。情景图承载的信息：只
17、有一条：各种类型的三角形。三、例题的设置与功能。本信息窗一共有3个例题，包含的知识点分别是：（1）三角形的认识和特性；（2）三角形的分类；（3）三角形的内角和；（4）三角形三边长度间的关系。四、教学的策略及注意事项1、灵活处理教材提供的活动形式本信息窗设计的一个重要特点是，通过一系列的操作活动完成对所有概念的学习。第一个活动是用拉一拉框架的方法来认识三角形的稳定性；第二个活动，用搭一搭木条的方法，进一步认识三角形；第三个活动是通过先剪一剪，再分一分，然后再量一量的活动，给三角形分类；第四个活动是用先量一量，再拼一拼的方法验证三角形的内角和；最后一个活动是用摆一摆、量一量的方法探索三角形三条边之
18、间的关系。这些活动的设计旨在通过动手操作，将抽象的东西直观化，特别用拉一拉的活动证明三角形的稳定性及用拼一拼的方法证明三角形的内角和是180度的活动非常有必要。拉一拉让加深了孩子们对三角形稳定性的体验），拼一拼，比用量角器量角的度数更有说服力，因为量角器的测量是有误差的，而用拼一拼的方法来证明既科学又直观。但是第二个操作活动，用木条搭三角形方法说明三角形有三条边，起点太低，因为学生在一年级和二年级已经接触到三角形，三角形有三条边已成为不争的真理，用不着再搭一搭，因此这个活动必要性不大。第三个活动，给三角形分类，先让学生动手剪，然后再分类，这个剪的必要性也不是太大因为通过剪来感受三个角的具体有多
19、大，也不是太合适。可以直接给孩子一些三角形去分，就可以了。2、让学生掌握实验验证的一般方法。实验验证是概念学习的主要方法之一，也是研究问题的重要方法。所以，在学习了三角形的特性和分类、三角形的内角和与三边之间的关系时，交流环节中，教师不但要让学生说说自己是如何想的，如何操作的，得出什么样的结论，更重要的是引导学生掌握实验验证的学习方法。3、难点处教师要给予必要的指导。三角形的内角和与三角形三条边的关系的探索并非是一件容易的是，因为一般的学生很难想到“把一个三角形的三个角撕下来，再拼在一起，就形成了一个平角，这种方法来研究三角形的内角和。研究三角形三条边的关系时，更是丈二和尚摸不着头脑，你即便告
20、诉他可以量一量三条边的长度，看看能发现什么？他也不知道把其中的两条边加起来在与第三条边相比较。（用孙晓天老师的话说，经过天上的星星参北斗和风风火火闯九州以后，学生还是研究不出来个钉卯来，教师就要该出手时就出手）作必要的提示和点拨，以避免无效劳动，提高课堂效率。4、三角形分类的教学要把握好分寸。 三角形的分类分两个不同的标准进行编排，第一个标准是按角分，认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；第二个标准按边分，认识特殊三角形：等腰三角形和等边三角形。 三角形按边分类，可以分为不等腰三角形和等腰三角形。等腰三角形又包含等边三角形。但按边分类难一些，为避免增加学生的负担，教材不强调分成了几类，着重引
21、导学生认识等腰三角形、等边三角形和内角的特征。5、适度把握本册关于“三角形认识”的教学目标。本册对三角形认识的教学目标与第一学段“获得对简单平面图形的直观经验”有所不同，这里对三角形的认识的落脚点应该放在：让学生在观察、操作、推理的过程中，进一步学习三角形的有关知识，能够用自己的语言抽象概括出三角形的有关概念和性质，由原来的直观的感性认识，提升到抽象的理性认识。如在落实“了解三角形任意两边的和大于第三边”、“三角形内角和是180度”等具体目标时，不仅要求学生积极参与各种形式的实践活动，而且要积极引导学生对活动过程和结果进行判断分析、推理思考和抽象概括，让学生对三角形的认识由感性认识升上到理性认
22、识。使认识在原有的基础上加以提升。6、提供丰富的材料,供学生探索新知所用。A、研究三角形特性所需要的三角形、四边形、五边形模型框架。B、研究三角形分类和三角形内角和所需要的各种三角形纸片，研究三角形三边关系所需要的小棒。7、为学生提供数学交流的机会，促进学生的数学思维活动。本信息窗设置了一系列的操作活动，教师要引导学生明确操作目的。（也就是你这个操作活动要解决一个什么问题？）只有明确了研究的问题，才能在边操作的过程中观察、思考、归纳和提升，经过去粗取精、去伪存真，最后得出正确的结论。而要完成一系列的数学思维活动，单凭个体的活动是有一定的困难的，需要同伴的合作与交流，因此，教师要为学生提供交流的
23、机会，促进学生的数学思维活动开展。提高思维能力。五、例题教学的具体阐释：例题一：为什么设计成三角形？猜想：既教材上所说的“我猜三角形比较稳固”。验证：既教材所示的三幅探究图，利用课前准备的材料进行探究，然后交流探究的发现。反思：在回头解释问题的同时，给出数学上的描述性定义，既教材上所说的“三角形具有稳定性”。升华：给出三角形的描述性定义，同时抽象三角形中的各个要素。郑毓信-学校数学：必要的抽象很高兴读到仲海峰老师的文章。文中不仅对如何进行三角形相关知识的教学进行了深入探讨，而且还涉及了“生活数学”与“学校数学”的关系这一普遍的问题。 “生活数学”与“学校数学”的关系并不只是在“三角形的稳定性”
24、这一具体内容的教学中有着突出的表现。事实上，它是数学教学的一个基本问题。因为，尽管在程度上可能有所差异，但我们也可就其他一些教学内容提出类似的“困惑”，例如，生活中的“前后”、“正负”等概念往往具有明显的“方向性”，从而与数学中“前后”、“正负”关系的相对性构成直接的矛盾。 从这样的角度去分析，我们就能更好地理解仲文的基本立场，特别是，我们应对“数学对象”（及其性质）与生活中的相应事物或现象（及其性质）做出明确的区分。进而，这又不能不说是强调“数学教学的生活化”（乃至“数学向生活的回归”）所十分容易导致的一个严重后果，即“学生思维的卡通化、浅表化”，对数学概念产生误解。 当然，从理论的角度看，
25、也有一些问题值得我们更为深入地去思考：在“生活数学”与“学校数学”之间究竟存在什么样的本质区别？又存在什么样的联系？什么是造成“理解上的歧义”的主要原因？我们在教学中又应如何去防止所说的现象乃至“学生生活经验对于数学学习所可能产生的负面干扰”？ 造成“理解上的歧义”的一个重要原因是：由于数学中的不少词语（如“稳定性”）都是由日常语言中直接借用过来的，因此，如果对这一过程缺乏清楚认识的话，就很容易造成意义的混淆，包括日常意义对于数学学习的干扰。更为一般地说，这就涉及数学抽象的一个基本性质：模式化过程。从而，即使我们是由生活中的相关对象或现象直接去引出相应的数学概念，仍然有一个重新定义（建构）的过
26、程。例如，就当前的论题而言，这首先就是指我们在此所研究的既非学生手中的那个三角形木架，也不是教师在黑板上所画的那个具体的三角形，而是更为一般的三角形的概念；其次，这里所说的“三角形的稳定性”也有其特定的含义（“边长确定，大小、形状也就确定”），从而就不应与通常所谓的“牢固性”、“确定性”等相混淆。 容易看出，上述的模式化过程也就直接决定了在“生活数学”与“学校（形式）数学”之间存在如下重要区别：如果说“生活数学”明显地表现出了情境相关性进而产生应用的局限性，那么，普遍性就是“学校数学”的一个主要特征，而这也就直接决定了“学校数学”有着更为广泛的应用。当然，以上的分析也已表明：“学校数学”在现实
27、中的应用同样依赖于必要的抽象，特别是其中必定包含一定的简化、理想化和具体化显然，我们事实上也就可以从这样的角度对文中所提及的“有的三角形没有稳定性”这样的困惑作出具体解释。 综上可见，我们无疑不应片面地去提倡“数学教学的生活化”，但同时也不应唯一地强调“数学教学的形式化”，也就是说，正确处理“生活数学”与“学校数学”的关系应被看成搞好数学教学的关键所在。我们不仅应当帮助学生很好地去实现由“生活数学”向“学校数学”的必要过渡，包括充分利用学生已有的生活经验（和知识）以及切实防止其对于数学学习的负面干扰，而且还应当帮助学生很好地学会如何在实际生活（包括新的学习活动）中有效地应用学校中所学到的各种数
28、学知识。最后，还应强调的是，努力提高教材的编写质量是当前十分紧迫的一项任务。为了很好地实现这一目标，我们不仅要切实立足于实际的教学活动，不断实践、总结、改进，而且也应从理论层面对课程改革的各个基本理念进行更为深入和自觉的认识与反思。例题二：塔吊上有几种三角形呢？ 学习三角形的分类。提供材料，想到方法：在对塔吊上三角形到底有多少、到底有几种说不清楚的前提下，引导学生想到“剪一些三角形试一试”（可以布置学生前一天每人剪几个三角形纸片），同时引导学生想到“从边和角”两个方面进行研究。明确问题，小组探究：在明确“利用各个小组中的三角形纸片进行研究，按照角的大小，可以分成几类；按照边的长短，可以分成几类
29、”。注意：一是上述活动可以分成两个层次，既先按角的大小进行分类，再学习按照边的长短进行分类。二是仅仅有手中的三角形纸片还不行，教师还要在黑板上画出若干个三角形，以图的形式将这些纸片展示出来，这是有必要的，因为只有进行实物与抽象图相比照的操作活动才是最为有效的，有时仅仅依靠实物操作，因为脱离了对于图形本质认识的图形的支持反而使得活动陷入一种低效的状态。三是教师的指导，也即有效的启发是怎样的？当学生面对这个学习任务时，可能感觉无从下手，此时教师的有效启发就显得尤为重要。“请小朋友仔细观察三角形中的角，认真思考一下，你们觉得哪些三角形是特殊的？为什么你们觉得直角三角形特殊呢？那也就是说，我们可以把有
30、一个角是直角的三角形作为一类。”有了这样的启发后，接下来学生可以用这种思维的方式进行迁移，既按照某一个特殊的角作为研究问题的切入，相信学生应该有这种能力。如何教学等腰三角形与等边三角形？一是认识到等腰三角形的复杂性，相对于等边三角形来讲，等腰三角形是比较复杂的，因为不管如何将等边三角形放置，它的三条边相等学生是不会错的，另外等边三角形不受角的制约，不像等腰三角形那样，既要考虑边的影响，还要考虑角的影响。二是要将等腰三角形进行各种位置的放置，让学生辨析两条腰与底边、辨析顶角与两个底角。没有这样的训练，学生可以仅仅会辨认标准放置形式的图形。这也是空间学习的必然要求。如何教学三角形的高？一是从直角三
31、角形切入。利用三角板，通过实物的描述过渡到图形的探究，既在对三角板上两条直角边互为底与高的描述的基础上，将这种认识抽象到直角三角形图形上。二是关于锐角三角形中的底与高：材料四个锐角三角形；四个层次在前三个图形中分别作出三条高，找出有关联的三组底和高，在第四个三角形中将三条高都作出来，以此作为对锐角三角形中高与底的辨析。三是关于钝角三角形：难点在三类图形中它是作高的难点，因为其中有两条高不在图形内而在图形外，打破了学生认知的平衡。学生的潜意识中高是在图形内的。讲解必不可少不能否认教师讲解的重要作用。要注意的是：有指导的探究是我们一向提倡的教学方法。教师只有指导的细腻，学生获得的知识基础才会牢固！什么叫做指导的细腻？充分估计学生学习的困难，给予学生有价值的帮助，如在教师作图的同时学生也作图，这就是指导！例题三：三角形3个角的和是多少呢？引发猜想：面对若干个三角形，引导学生想到有关角的研究的问题，并对内角和是多少度提出猜想。指导探究（验证）：一是引导学生想到方法用量角器进行测量。二是有两种方式可供选择：分层次的探究与开放式的探究。分层次的探究既分别探究三类图形的内角和，然后进行梳理；开放式的探究既将学生自由探究某一类图形的内角和或三类图形的内角和。反思与升华：一是将学生的发现以表格的形式呈现（如教材所示），进行观察思考，得出结论。二是引导想到“拼摆与组合”，既然
