1、1,11.4 对面积的曲面积分,第十章 曲线积分与曲面积分,概念的引入,对面积的曲面积分的定义,对面积的曲面积分的计算法,2,实例,解,第一步:,将分为许多极其微小的子域,以dS为代表,dS的质量为:,第二步:,求和取极限,则,取,光滑的,它的面密度为连续函数,求它的质量.,一、概念的引入,3,1.定义,函数 f(x,y,z)在上,任意取定的点,并作和,如果当各小块曲面的直径,这和式的极限存在,则,的最大值,二、对面积的曲面积分的定义,第i 小块曲面的面积),作乘积,设曲面是光滑的,同时也表示,有界.,把 任意分成n小块,4,或,记为,即,如曲面是,曲面元素,被积函数,则积分号写成,积分曲面,
2、称,极限为函数,对面积的曲面积分,第一类曲面积分.,闭曲面,5,2.存在条件,在光滑曲面上,今后,假定,的曲面积分存在.,对面积,连续,3.对面积的曲面积分的性质,6,设分片光滑的,x的奇函数,x的偶函数,其中,则,曲面关于yOz面对称,7,4.对面积的曲面积分的几何意义,空间曲面的面积:,5.对面积的曲面积分的物理意义,面密度为连续函数,的质量M为:,8,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,化为二重积分计算.,(1),三、对面积的曲面积分的计算法,9,则,则,(2),(3),10,确定投影域并写出,然后算出曲面面积元素;,最后将曲面方程代入被积函数,对面积的曲面积分时,首先应根据,化为二,
3、曲面选好投影面,曲面的方程,重积分进行计算.,11,例,解,投影域:,所截得的部分.,故,二重积分的对称性,对称性,12,解,依对称性知,例,抛物面,有,?,被积函数,为第一卦限部分曲面.,13,14,例,所围成的空间立体的表面.,15,解,投影域,例,所围成的空间立体的表面.,对称性,16,(左右两片投影相同),将投影域选在,分成左、右两片,对称性,17,计算曲面积分,其中是球面,解,的方程,方程是:,方程是:,记上半球面为,下半球面为,不是单值的.,的值.,练习,18,对上半球,得,对下半球,是球面,19,所以,20,计算,其中为球面,之位于平面,曲面的方程,在xOy面上的投影域,解,练习
4、,上方的部分.,21,因曲面,于是,x3是x的奇函数，,x2y是y的奇函数.,关于yOz面及xOz面对称;,22,例,解,积分曲面方程,轮换对称,提示,即三个变量轮换位置方程不变.,具有,轮换对称性,中的变量x、y、z,23,1995年研究生考题,计算,6分,解,积分曲面,在xOy面上的投影域,练习,24,积分曲面,25,对面积的曲面积分的计算,对面积的曲面积分的概念,四、小结,四步:分割、取近似、求和、取极限,思想:化为二重积分计算;,对面积的曲面积分的几何意义与物理意义,曲面方程三种形式的计算公式,26,思考题,定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为,是非题,是,因为若为直线上的区间a,b,则,故,27,思考题,定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为,是非题,是,若是平面区域G,则,故,28,思考题,定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为,是非题,是,若是空间区域,则,故,29,思考题,定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为,是非题,是,若为平面(空间)曲线L,则,部分和式的极限为曲线积分,
