1、第十章 双线性函数,10.1 线性函数,10.2 对偶空间,10.3 双线性函数,10.4 对称双线性函数,10.3 双线性函数,一、双线性函数,二、度量矩阵,10.3 双线性函数,三、非退化双线性函数,10.3 双线性函数,一、双线性函数,设 是数域 上的 维线性空间，映射,定义,为 上的二元函数.,即对,根据 唯一地对应于 中一个数,如果,具有性质:,其中,则 称为 上的一个双线性函数.,10.3 双线性函数,对于线性空间V上的一个双线性函数当固定一个向量(或)不变时，可以得出一个双线性函数.,注,例1.线性空间 上的内积即为一个双线性函数.,10.3 双线性函数,例2.上两个线性函数,定
2、义,证明:f 是V上的一个双线性函数.,证：,10.3 双线性函数,例3.设 是数域 上的 维线性空间，,令,则 为 上的一个双线性函数.,若,则,10.3 双线性函数,事实上，或是数域 上任意上的 维线性空间 上双线性函数 的一般形式.,设 为数域 上线性空间V的一组基，,设,10.3 双线性函数,则,令,则,其中,10.3 双线性函数,设 是数域 上任意上的 n 维线性空间V上一个双线性函数，为V的一组基，则矩阵,称为 在 下的度量矩阵.,二、度量矩阵,定义,10.3 双线性函数,命题1在给定基下,上全体双线性函数与 上全体 级矩阵之间存在11对应.,证：取定 的一组基,双线性函数,令,则
3、 与 对应.,即 与 在 下的度量矩阵对应.,10.3 双线性函数,且不同双线性函数对应的在 下的度量矩阵不同.,事实上，若 在 下的度量矩阵分别为,且 时,即,则对任意,有,10.3 双线性函数,矛盾.,反之，任取,对V中任意向量,定义函数,则 f 为V上的一个双线性函数.,在 下的度量矩阵即为,10.3 双线性函数,命题1 线性空间V上双线性函数空间 与 同构.,证：取定V 的一组基,作映射,则 为 到 的11对应.,事实上，任取,则,为满射.,是V上的一个双线性函数.,10.3 双线性函数,若双线性函数 但,设,则,为单射.,10.3 双线性函数,令,易证 仍为V上双线性函数.,并且,1
4、0.3 双线性函数,命题2 维线性空间V上同一双线性函数，在V 的不同基下的矩阵是合同的.,证：设 在V 的基 与 下的度量矩阵分别为,10.3 双线性函数,即 A与B 合同.,注：若矩阵 A与B合同，则存在一个双线性函数 及V上两组基，使 在这两组基下的度量矩阵为,10.3 双线性函数,定义,设 是线性空间V上的一个双线性函数，如果从 可推出 则称 是非退化的.,命题3 双线性函数 是非退化的 的度量矩阵为非退化的.,三、非退化双线性函数,10.3 双线性函数,证：设双线性函数 在基 下度量矩阵为,10.3 双线性函数,若 对任意 均成立.,即对任意 均有,必有,而 只有零解,即 即 非退化.,推论：由 可推出,则 非退化.,10.3 双线性函数,例、设 定义 上的一个二元函数,(1)证明 f 是 上得双线性函数；,(2)求 在基,下的度量矩阵.,10.3 双线性函数,(1)证,10.3 双线性函数,所以度量矩阵为,（2）解：,
