1、简单的幂函数 学案 学年高中数学 北师大版 必修一5简单的幂函数1了解幂函数的概念2结合函数yx，yx2，yx3，yx1，yx的图像，了解它们的变化情况(难点、易混点)3结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(重点)基础初探教材整理 1幂函数阅读教材P49“例1”结束之间的内容，完成下列问题1幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数2简单的幂函数的图像和性质图251函数yx，yx2，yx3，yx，yx1在同一平面直角坐标系中的图像如图251所示：从图中可以观察得到：yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)(，0)(0
2、，)单调性增函数在(，0 上是减函数；在0，) 上是增函数增函数增函数在(，0)和(0，)上均为减函数定点函数图像均过点(1,1)下列函数中是幂函数的是()y；yaxm(a，m为非零常数，且a1)；yxx4；yxn；y(x6)3；y8x2；yx2x；y1.A BC D【解析】由幂函数的定义：形如yxa(aR)的函数才是幂函数，则yx3，yxn是幂函数【答案】B教材整理 2函数的奇偶性阅读教材P49从“可以看出”P50“练习”以上的有关内容，完成下列问题1(1)图像奇函数的图像偶函数(2)解析式奇函数f(x)f(x)偶函数f(x)f(x)2奇偶性当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性判
3、断(正确的打“”，错误的打“”)(1)奇函数的图像一定过原点()(2)定义在R上的函数f(x)，若存在x0，使f(x0)f(x0)，则函数f(x)为偶函数()(3)函数yx2，x(1,1是偶函数()【答案】(1)(2)(3)小组合作型幂函数的概念函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增加的，求f(x)的解析式【精彩点拨】先由m2m11求出m的值，再代入到m2m3中，找到满足x(0，)时，f(x)是增加的m的值【尝试解答】根据幂函数定义得，m2m11，解得m2或m1.当m2时，f(x)x3在(0，)是增加的，符合要求；当m1时，f(x)x3在(0，)上是减少的，
4、不符合要求因此，f(x)x3.1形如yxa的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x.2求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值再练一题1已知函数f(x)(m2m1)xm22m1是幂函数，且是偶函数，求f(x)的解析式. 【导学号：04100033】【解】由题意知m2m11，解得m2或m1.当m2时，m22m11，函数f(x)x1，不是偶函数；当m1时，m22m12，函数f(x)x2，是偶函数因此，f(x)x2.幂函数的图像和性质点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图像上，当x为何值时，有f(x)g(x)；f(x)g(x)；f(
5、x)g(x)?【精彩点拨】用待定系数法求出两个函数的解析式，画出两个幂函数的图像，根据数形结合法写出不等式的解集【尝试解答】设f(x)x，g(x)x，则()2，(2)，2，1.f(x)x2，g(x)x1.分别作出它们的图像如图，由图像可知，当x(，0)(1，)时，f(x)g(x)；当x1时，f(x)g(x)；当x(0,1)时，f(x)g(x)研究幂函数的性质常借助于幂函数的图像，利用图像可以较直观地分析出相应函数的性质，进而利用性质来解决相关的问题.再练一题2.已知函数yxa，yxb，yxc的图像如图252所示，则a，b，c的大小关系为()图252AcbaBabcCbcaDcab【解析】由幂函
6、数的图像特征知，c0，a0，b0.由幂函数的性质知，当x1时，指数大的幂函数的函数值就大，则ab.综上所述，可知cba.【答案】A函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)【精彩点拨】首先要看定义域是否关于原点对称，然后通过f(x)与f(x)的关系得出结论对于(4)，要分别在x0和x0的情况下考察f(x)与f(x)的关系【尝试解答】(1)函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又f(x)f(x)，函数f(x)是奇函数(2)函数的定义域为(，)，关于原点对称又f(x)f(x)，f(x)是偶函数(3)易知定义域为2,2，关于原点对称f
7、(x)0，所以满足f(x)f(x)且f(x)f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数(4)当x0时，x0，f(x)(x)22(x)3x22x3f(x)；当x0时，x0，f(x)(x)22(x)3x22x3(x22x3)f(x)综上可知，f(x)为奇函数利用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称.(2)若定义域不关于原点对称，函数非奇非偶；若定义域关于原点对称，看f(x)与f(x)的关系. (3)若f(x)f(x)，则函数是奇函数；若f(x)f(x)，则函数是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数.再练一题3判断下列函数的
8、奇偶性：(1)f(x)x；(2)f(x)x42x2；(3)f(x)0，x2,2)【解】(1)函数f(x)的定义域为(，0)(0，)又f(x)xxf(x)，f(x)为奇函数(2)函数f(x)的定义域为R.又f(x)(x)42(x)2x42x2f(x)，f(x)为偶函数(3)f(x)的定义域为2,2)，不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数探究共研型函数奇偶性的应用探究 1如图253，给出了奇函数yf(x)的局部图像，求f(4)的值图253【提示】f(4)f(4)2.探究 2定义在R上的偶函数f(x)，当x0时，f(x)x，求x0时，f(x)的值【提示】x0，即x0，f(x)x.又f(x)为R上的偶函数，f(x)f(x)x.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)x22x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)在如图254所示的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图像图254【精彩点拨】根据题中条件，当x0时的解析式已知，需求x0时的解析式，故需借助奇函数的性质求解，根据对称性即可画出图像【尝试解答】(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0.当x0时，x0，f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)(x)22(x)x22x，综上，f(x)(2)图像如图：
