1、小学奥数技巧02解概念题技巧（二）解概念题技巧1.数的大小概念【比较分数大小】用常规方法比较分数大小，有时候速度很慢。采用下述办法，往往可大大提高解题的速度。（1）交叉相乘。把要比较大小的两个分数的分子分母交叉相乘，然后2510， 33=9， 38=24， 55=25，之所以能这样比较，是由于它们通分时，公分母是分母的乘积。这时，分数的大小就只取决于分子的大小了。（2）用“1”比较。当两个分数都接近1，又不容易确定它们的大小（4）化相同分子。把分子不同的分数化成同分子分数比较大小。有时序排列起来：（5）两分数相除。用两个分数相除，看它们的商是大于1还是小于1，往往能快速地找出它们的大小关系。由
2、于这样做，省略了通分的过程，所以显然，将它们反过来相除，也是可以的：【巧比两数大小】若甲、乙两数间的关系未直接给出，比较它们的大小，有一定难度。这时，可按下面的办法去做：（1）先看分子是1的情况。例如下题：第一种方法是直观比较。先画线段图（图4.4）：由对线段图的直观比较可知，乙数大于甲数。数。可知（2）再看分子不是1的情况。例如下题：它同样也可以用四种方法比较大小。比方用直观比较方法，可画线段图如下（图4.5）：由图可知，甲数大于乙数。用统一分子的方法，也可比较它们的大小。因为用图表示就是图4.6：这就是说，把甲数分为9份，乙数分为8份，它们的6份相等。所以，它们每一份也相等。而甲数有9份，
3、乙数只有8份，故甲数大于乙数。去，即可知道甲数大于乙数。如果用转化关系式比较。由题意可知根据一个因数等于积除以另一个因数，可得2.判断题的解答【用筛去（消倍）法判断】一个数能否被3整除，本来是不太难的问题。但当一个数比较大时，用各数位上的数相加，速度很慢，而且容易出现口算错误。若用“筛去（消倍）法”来判断，情况就大不一样了。例如（1）判断76935能否被3整除。先直接筛去能被3整除的6、9、3，剩下的7与5，和为3的倍数，所以3|76935（3能整除76935，或76935能被3整除）。（2）判断3165493能否被3整除。先直接筛去3的倍数3、6、9、能整除3165493，或3165493不
4、能被3整除。）【能否被7整除】一个数能否被7整除，只要把这个数的末位数字截去，再从余下的数中，减去这个末位数字的2 倍，如果这时能看出所得的差能被7整除，则原来的数就能被7整除，否则就不能被7整除；若是仍看不出来，就要继续上述过程，直到能清楚作出判断为止。例如，判断133能否被7整除：因为差数7能被7整除，所以7|133。这是什么原因呢？请看下面的算式：1332（13103）2132032=13（21-1）+32=13211332=1373-（13-32）显然，1373中有约数7，它能被7整除，故只要检验后面的（13-32）能否被7整除就可以了。（原理可见第一部分的整除性定理）如果要判断的数的
5、位数很多，那么，将这种做法一直进行下去就是。例如，判断62433能否被7整除：7|42，7|62433这样的判定方法可称作“割尾法”。一个数能否被11、13、17和19整除，也可用割尾法去判断。【能否被11整除】判断一个数能否被11整除，可以采用割尾法、奇偶位差法及分节求和法。（1）割尾法。一个数能否被11整除，只要把它的末尾数字截去，从余下的数里减去这个末位数，看所得的差能否被11整除。差能整除的，原来的数就能整除；差不能整除的，原来的数就不能整除。如一次所得的差还看不出能否被11整除，就继续上述过程，直到能作出判断为止。例如，判断2629能否被11整除：因为1122，所以112629。之所
6、以能这么判断，原因在于2629=2620+9=26210+9=262（11-1）+9=26211-262+9=26211-（262-9）在26211中有因数11，所以只要看（262-9）的差能否被11整除，就可判断原来的2629能否被11整除。而（262-9）的差是253，253=250+3=2510+3=25（11-1）+3=2511-25+3=2511-（25-3）同样，只要看（25-3）能否被11整除，就会知道253能否被11整除。进而便可知2629能否被11整除了。（2）奇偶位差法。判断一个数能否被11整除，可先分别求出此数的奇位数字之和及偶位数字之和，再求这两个和的差数，若这个差能被
7、11整除，则原来的那个数就能被11整除；否则，原来的数就不能被11整除。例如，判断823724能否被11整除：它的奇位数字之和为4+7+2=13（数位数，从右边个位开始往左数），它的偶位数字的和为2+3+8=13两个和的差数是13-13=0（两数不等时用大数减小数）而 11011823724之所以能这样判断，是因为823，724=8100，000+210，000+31，000+7100+210+4=8（100，001-1）+2（9，999+1）+3（1，001-1）+7（99+1）+2（11-1）+4=8100，001+29，999+31，001+799+211+（2+7+4）-（8+3+2）
8、显然，在前几项中，因数100，001、9，999、1，001、99、11都是11的倍数，故只需检验（2+7+4）-（8+3+2）能否被11整除，就可以作出判断了。（3）分节求和法。把一个自然数从右向左每两位截为一节，然后把这些节加起来。若所得的和能被11整除，那么这个数就能被11整除；否则，这个数就不能被11整除。在这一情况下，如果仍不能作出判断，那就继续上述过程，直到清楚地作出判断为止。例如，判断762421能否被11整除：这一判断方法的理由，可见下面的算式：762421=7610000+24100+21=76（9999+1）+24（99+1）+21=769999+76+2499+24+21
9、=769999+2499+（76+24+21）在前两项中，因数9999和9都能被11整除，所以只需要检验后面的（76+24+21）能否被11整除了。能整除的原数就能被11整除；不能整除的原数，就不能被11整除。【能否被13整除】一个数能否被13整除，可采用“割尾法”判断：截去末位数字，余下的数加上末位数的4倍。所得的和是13的倍数，则这个数就能被13整除，否则，就不能被13整除。要是割尾一次仍不能作出判断，那就继续割尾，直到能作出判断为止。例如，判断364能否被13整除：1352，13364。这一判断的理由，可由下式看出：3644=（3610+4）4=3640+44=36（39+1）+44=3
10、639+36+44=36133+（36+44）前面的36133中，有约数13，所以作出判断时，只需要检验（36+44）是否能被13整除了。【能否被17整除】一个数能否被17整除，同样可用“割尾法”作巧妙而快速地判断。不过，具体地做法有所不同。例如，判断731能否被17整除，判断方法如下：1768，17731。这样做的理由，可见下面的算式推导：7315=（7310+1）5=7350+15=73（51-1）+15=7351-73+15=73173-（73-15）由于前面的73173有约数17，故只需检验（73-15）能否被17整除，就知道“7315”能否被17整除。知道“7315”能否被17整除，
11、也就是知道731能否被17整除了（根据整除性定理）。若是“割尾”一次仍不能作出判断，那就依法继续割尾下去，直到能作出判断为止。例如，判断279191能否被17整除， 可以作如下割尾判断：1717，17279191【能否被19整除】一个数能否被19整除，也是可用“割尾法”作巧妙判断的，具体做法如判断475能否被19整除：1957，19475。其中的道理，可见下面的算式推导：4752=（4710+5）2=4720+52=47（19+1）+52=4719+（47+52）最后算式中的4719有约数19，故只需要检验（47+52）能否被19整除，就知道“4752”及“475”能否被19整除了。如果一次“
12、割尾”仍不能作出判断，那就继续“割尾”下去，直至能作出判断为止。例如，判断14785能否被19整除：3.其他【用对称关系找约数】找某一合数的约数，常有找不全的情况发生，而利用约数的对称关系去找，就能解决这一问题。方法是：（1）若某个合数为某一个自然数的平方，则它的所有约数的“中心数”就是这个自然数；再把比“中心数”小的几个约数找出来，其他的约数也就可以成对地和一个不漏地找出来。例如，找出36的全部约数：因为36=62，6是所有约数的“中心数”。比中心数6小的约数很容易找到，它们是1、2、3、4四个，于是比中心数大的约数，也就可依据对应关系，成对地找出来了，它们是36（与1对应）、18（与2对应
13、）、12（与3对应）和9（与4对应）。如下图（图4.7）：（2）若某个合数不是某一自然数的平方，则可先找出一个“近似中心数”。例如，找出102的全部约数：因为102102112，所以可选10或11为“近似中心数”。然后找出比这个近似中心数小的所有约数1、2、3、6；再找出比近似中心数大的所有约数102、51、34、17。如下图（图4.8）：（注意：“中心数”是其中的一个约数，但“近似中心数”却不是其中的一个约数。）【叉乘法求最小公倍数】用“叉乘法”求最小公倍数，是极为快速的。例如求24和36的最小公倍数。如图4.9：24和36的最小公倍数是243=72，或362=72。这样做的道理很简单。因为所以，用24乘以36独有的质因数3，或者用36乘以24独有的质因数2，都能得到24与36的最小公倍数72。今后，用短除法找出两个数单独有的质因数以后，顺手画一个“”，把它们分别与原来的两个数相乘，就都会得到它们的最小公倍数。又如，求20、12和18三个数的最小公倍数。如图4.10：20和12的最小公倍数是203=60，60和18的最小公倍数是603=180，20、12和18三个数的最小公倍数便是180。如果先求20和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数与12去求三个数的最小公倍数；或者先求12和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数与20去求三个数的最小公倍数，也是可以的。
