1、构建概率的知识体系构建概率的知识体系平山县外国语中学 王丽涛一、 教材分析1、本单元在教材中的地位和作用本章是初中数学统计与概率学习的最后一章，至此，学生已经较为系统的学习了简单事件发生的可能性（概率），具备了一定的随机观念，并能对一些随机现象作出合理的解释，对一些游戏活动的公平性做出判断。本单元复习旨在突出研究理论概率与试验频率之间的关系，并通过几个现实生活模型介绍了随机事件的概率的试验估算方法和涉及两步及两步以上试验的随机事件理论概率计算的两种方法：树状图和列表法.为进一步学习利用频率与概率的知识解决实际问题奠定基础。2、重点、难点重点：（1）理解事件发生的频率与概率之间的辩证关系，加深对
2、概率的理解，进一步体会概率在描述随机现象中的作用.（2）利用列表法或树状图法计算简单事件发生的概率，能用试验或模拟试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.难点：用试验或模拟试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.成因及策略：有些随机事件的概率只能通过试验模拟获得其估计值，有些随机事件虽存在理论概率，但其理论计算超出了本学段学生的认知水平也只能通过模拟试验获得估计值。缺少试验研究工具和统计过程的复杂性自然形成学生认识上的难点。所以在复习课上先巩固试验频率与理论概率关系，再通过z+z设计相应的试验，通过大量重复试验用试验频率得到概率的估计值。使学生在能方便试验、统计数据的前提条件下，利用概
3、率理论求一些随机事件概率的估计值。3、学情分析学生已经学习了树状图和列表法求概率的方法，但对于通过模拟试验获得概率估计值的研究方法不够熟悉。二、 复习目标1、结合具体模拟试验，进一步体会概率与统计之间的关系.2、能运用树状图和列表法计算涉及两步或两步以上试验的随机事件发生的概率.3、能用试验或模拟试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.三、 复习思路结合复习的内容和学生的具体学情，按理论方法应用的认识方式设计复习内容与过程。借助z+z智能教育平台，从三个小环节来设计的：首先是试验回顾，通过几个传统概率模型的试验模拟，带领学生进一步深刻理解试验频率与理论概率之间的辩证关系；第二个环节是概率计
4、算，选择几个有代表性的试题，让学生由浅入深、由简单到复杂地复习概率的计算方法；第三环节是简单应用，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程，加强对数学应用意识、实践能力的培养。四、 复习过程1、知识梳理及要点归纳知识梳理：要点归纳： 在知识结构图中，可以明显看出复习的主体思路：理论方法应用，即在实验基础上探究出试验频率与理论概率的关系；由此得到理论概率的计算方法，再根据随机事件本身的特点分为理论计算和试验估算两种概率计算方法；利用概率计算解决实际问题。其中计算的重点在理论计算，难点在实验估算。2、活动单元设计活动单元一：试验回顾内容：利用Z+Z平台设计的抛币实验、掷骰子实验、摸牌实验抛币实
5、验：抛出一枚硬币，它在空中随机翻转后，落在地上。会出现正面朝上或反面朝上两种事件。我们以30次实验为一个统计组，统计两个随机事件的试验频率。掷骰子实验：掷出一枚均匀的骰子，统计各点数出现的次数并计算出试验频率。摸牌实验：每组两张牌，两张牌的牌面数字分别是1和2。而从每组牌中各摸出一张，成为一次实验。点击“实验1”按钮开始30次实验。操作：由学生操作在课件中可以统计随机试验的总次数和相应事件发生的次数和频率；启发学生结合试验数据回忆试验所体现的频率与概率的关系。点拨：（1）试验结论：试验次数较大时，某一随机事件发生的试验频率趋近于这一事件发生的理论概率。（2）引导学生分析以上三个试验中，每一种事
6、件发生的可能性是否相同（等可能性），各占总事件发生数的几分之几。意图：这一设计，旨在让学生用Z+Z快速的经历、再现频率与概率关系理论的发现过程，并结合问题理解以上试验中各事件发生的等可能性，为下面复习计算作好铺垫。活动单元二：试验反馈1、讨论题： 请你说说对下面两种说法的看法：（1）一个口袋里装有大小、形状完全相同的红豆和绿豆，那么随手从袋里摸出一颗红豆的机会是，随手摸出一颗绿豆的机会也是。（2）有一位同学把一枚质量分布均匀的硬币连续抛了100次，其中有80次都得到正面，而只有20次得到反面，所以他认为正面朝上的机会根本无法确定，全凭运气。点拨：通过以上两个讨论题，可以让学生体会一次试验中，某
7、一事件理论概率的形成条件。（1）突出等可能性的大小的依据；（2）突出试验次数足够大是理论概率计算的前提条件；2、填空题：涉及一步实验的概率计算（1）任写一个英文字母，此字母是元音字母的概率是 ，是辅音字母的概率 是 ，这两个概率的关系是 。（2）有一枚均匀的正四面体骰子，各面上的数字分别是1、2、3、4，当掷的次数很多时，朝下的一面上的数字是偶数的频率在 左右波动。3、设计题：如图，是一个可转动的转盘，平均分为8个相同区域，任意转动转盘后使指针指向红色区域的概率为，指向黄色区域和绿色区域的概率相同。请你用红、黄、蓝三种颜色来填充这个转盘，并说明理由。点拨：在理论上一次试验中各事件发生的可能性是
8、相等的。意图：以上设计是应用活动单元一试验结论解决实际问题，复习利用这一结论解决问题的一般方法，为两步试验概率计算的方法探究提供依据。活动单元三：树状图法和列表法求概率1 学生独立练习：（1）连掷两枚骰子，它们点数相同的概率是多少?要求用列表法和树状图法两种方法分析计算过程意图：本题让学生独立操作并讲解，目的是上学生回忆这两种涉及两步试验概率计算的基本方法。并从中发现学生存在的问题，并以此调节教学策略和复习的速度。（2）填空并讨论：填空：转动如图所示的转盘两次，两次所得颜色相同的概率是 。 某口袋里放有编号1 - 6的6个球，先从中摸索出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次摸到的球相同的概率
9、是 。利用计算器产生16的随机数(整数)，连续两次随机数相同的概率是 。 讨论：以上三个填空与第1题“连掷两枚骰子”问题在研究方法上有何相同之处。点拨：以上四个问题情境，可以化归成一个问题“利用计算器产生16的随机数(整数)，连续两次随机数相同的概率是多少？”。这个过程实质上是一个建模的过程，即将另外几个实际问题进行数字化、字母化。当然这其中也包含着数形结合的思想。2 解法辨析：用下图中的转盘进行“配紫色”游戏：小明制作了下面的树状图，并根据它求出游戏者获胜的概率为，请你分析他的作法是否正确。 操作方式：学生讨论、辨析并画出正确的树状图。意图：突出用列表法和树状图求概率时,应注意各种结果出现的
10、等可能性.3反馈练习：（1）设计一次摸球游戏，每摸一次，摸到摆球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，则完成这个游戏所需求的个数最少为（ ）A. 6 B. 12 C. 24 D. 36（2）小华作摸球试验：盒子中有10个大小、质地完全相同的小球，其中有4个黑球。1 小华摸出一个球，记录颜色后放回盒子中，并混合均匀，继续试验，那么他摸出黑球的概率是 。2 小华摸出一个球，记录颜色后不再放回盒子中，若他前两次摸到一个黑球和一个白球，则他下一次摸出黑球的概率为 。意图：以上反馈练习对列表法和树状图法的进一步落实。两题分别涉及了概率中的两种抽取模型，有放回抽取（两步试验前提条件相同）和无放回抽
11、取（第二步试验前提条件改变）。第一题注意强调逆向思维过程。活动单元四 复杂事件的概率计算用试验的方法估计复杂随机事件的发生概率投针试验再现：投针试验1777年，法国 数学家布丰设计的投针试验所得针与平行线相交的概率与圆周率有关，于是人们就将投针实验作为计算圆周率的概率模型。随着信息技术的发展，科学家逐步开始将要研究的问题与概率联系，通过计算机模拟抽样，以获得问题得近似解，这种方法被称为统计试验法，又称孟特卡罗方法 。1、随便说出3个正数，以这3个数为边长一定能围成一个三角形吗？一定能围成一个钝角三角形（其中最大边的平方大于另两边的平方和）吗？（1） 利用计算机演示试验，请同学们观察试验概率，并
12、估计理论概率。（2） 我们能否用建模的方法研究出现钝角三角形的理论概率？在利用实验方法估算“任意三条线段能组成钝角三角形的概率”时，带领学生依次分析任意三条线段组成三角形组成钝角三角形的条件，然后通过Z+Z的条件判断函数和随机函数设计了一个实验，学生可以在短时间内利用几台电脑分别作实验，并获得大量的实验数据，通过试验频率的统计，随着试验次数的不断增加，试验频率逐步趋于稳定，学生通过实验估计出任意三条线段能组成钝角三角形的概率，并在变化过程中深刻理解了频率与概率的关系。点拨：先分析三线段组成钝角三角形的条件，依次为：能组成三角形、最大边的平方大于另两边的平方和；再组织学生说出三个长度数值，判断能
13、否组成钝角三角形；当学生有一定的感性认识和经验后，利用设计好的Z+Z课件作随机试验，统计来自各台计算机上的试验数据，与学生共同探讨、估计出得到钝角三角形的理论概率。因为在估计过程中，数据的结果往往不同，学生的看法不一，在整个过程中注意时时给予适当的评价，突出估计的方法与科学性，并指明试验本身由于条件所限而表现出来的局限性。意图：本题设计旨在带领学生经历用试验法估计理论概率的过程，丰富学生的学习感受。增强学生对于用多次试验的频率估计理论概率方法的认识，理解试验估算法的科学性。活动单元五 复杂事件的概率计算1、如图，小明和小红在玩一个游戏时，先掷骰子，骰子朝上的数字是几，就将棋子前进几步，并获得格
14、子中相应的物品，现在轮到小明掷骰子，棋子在标有“1”的那一格，小明能掷一次就得到汽车吗？他掷下一次得到汽车的概率是多少？123456172737475767点拨：通过分析只要两次所掷出的点数之和为7，便可得到小汽车，而每次掷出的点数可能情况都为16。可以引导学生用列表法求解，在列表过程中启发学生寻找规律，根据要求找到符合题意的“7”在表格中的分布规律得到下列简易表格。从中直观的读出所有可能情况的总次数和得到“7”的次数。意图：本题设计旨在启发学生在使用列表法求概率时要善于思考、总结规律，画出更为简易、更能突出特点的表格。2、桌上放着6张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有2张老“K”，两人作游戏，游
15、戏规则是：随机抽取两张牌，并把它们翻开，若两张中有老“K”，则红方胜，否则蓝方胜。请你用学过的概率知识分析游戏是否公平？点拨：学生在思考时，有的用列表法，有的用树状图法，发动学生资助探究。之后教师可以引导学生转变思考问题的角度，去考虑没有老“K”的情况有多少种？意图：本题设计旨在培养学生转化的思想方法，学会从多个角度看待和分析问题。3、某人写了3封信给3个不同的人，并在三个信封上写好了收信人的地址。但在装信的时候，他忽略了信与信封的对应，请你分析一下在这三封信中，至少有一封信装对信封的概率是多少？点拨：首先教师带领学生分析有多少种可能性，其间注意捕捉学生的思维亮点，发现学生在分类中把握较好的例
16、子，由学生进行探讨，教师予以适当评价。分别考虑装对3封、2封、1封、0封各有几种情况。意图：本题旨在训练学生分类的数学思想方法，学会把复杂的问题有一种分类标准进行整合、分析。4、一个人从A点走向C点。在每个路口，向东或向南的概率各为，但是走到DC边上就始终朝南走；走到BC边上就始终朝东走。请你分析此人行走的各种方式，求他经过点E到C点的概率是多少？点拨：本题看似比较复杂，但如果把问题中的图形旋转一定角度得到下图，就可以形象的列举出到达每个拐点的可能情况有多少种。从而得到，共有10种走法，其中有4种通过E点。意图：本题旨在启发学生的思维，学会用揭示图形中的规律，并能数形结合的分析问题。五、反思与
17、自评本节课通过四个递进的学习环节，既对基础知识进行了复习，又使学生掌握了基本技能，进一步研究了理论概率与试验频率之间的关系，通过几个现实生活模型感受到概率在生活中的应用.在丰富的实际问题中认识到试验次数很大时，用一个事件发生的频率来估计之一事件发生的概率，掌握了一些计算概率的方法，并能通过计算概率帮助自己做出合理的决策.基本达到教学目标中所叙述的内容.本章中，试验频率稳定于理论概率，必须借助于大量重复试验.而课堂教学时间是有限的，所以必须综合多个学生甚至全班学生的试验数据，务必注重学生的合作与交流，鼓励学生思维的多样性，注意评价方式的多样化，z+z课件的动态演示，给学生插上了理想的翅膀.由于部分学生已有的生活经验不足，知识掌握的灵活性也有欠缺，因此在学习过程中也暴露出一些局限性.如机械的套用模式，考虑问题不周全，等等.在平时的教学中应注意多动手，勤动脑的好习惯，多观察生活，感受生活，不断积累生活经验.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
