1、反比例函数一次函数二次函数性质及图像反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于 以原点为对称中心的中心对称的双曲线函数解析式k0k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内， y随X的增大而减小；当k0时，函数在x0上同为减函数；k0时，函数在x0上同为增函数。定义域为X 0;值域为y 0o3.因为在y=kx（k 0）中，X不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与 X轴相交， 也不可能与y轴相交。4.在一个反比例函数图象上任取两点 P，Q,过点P，Q分别作X轴，y轴的平行线，与坐标轴围 成的矩形面积为S1，S2则S1= S2=K5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心
2、对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=nx交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于 原点对称。7. 设在平面内有反比例函数 y=kx和一次函数y=mx+n ,要使它们有公共交点，则 n2+4k m （不小于）0o8.反比例函数y=k/x的渐近线：X轴与y轴。9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向X、y分别做垂线，交于q、W ,则矩形mwqo （o为原点）的面积为Ikl11. k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交
3、。12.k越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一） 函数1、确定函数定义域的方法：（1） 关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2） 关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3） 关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4） 关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5） 实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。（二） 一次函数1、 一次函数的定义一般地，形如y=kx F（ k，b是常数，且k = 0 ）的函数，叫做一次函数，其中 X是自变量。当b=0时，一次函数y =kx ,又叫做正比例函数。一次函
4、数的解析式的形式是 y =k b,要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式.当b=0 , k=0时，y=kx仍是一次函数当b = , k =0时，它不是一次函数.正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数.2、 正比例函数及性质一般地，形如y=kx（k是常数，k0的函数叫做正比例函数，其中 k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx （k不为零）k不为零 X指数为1 b取零当k0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随 X的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限； k0, y随X的增大而增大；k0时，向上平移；当b0 ,图象经过第一、三象限； k0
5、,图象经过第一、二象限； b二直线经过第一、二、三象限IbAo丿ku直线经过第一、三、四象限k 0b0直线经过第、四象限0 , y随X的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移 b个单位；当b0时，向上 平移；当b0时，直线经过一、三象限； k0, b0,直线经过第一、二、三象限 k 0, b V 0直线经过第一、三、四象限 kv 0, b 0直线经过第一、二、四象限 kv 0, bV 0直线经过第二、三、四象限增减性k0 , y随X的增大而增大；（从左向右上升） k0时,将直线y=kx的图象向上平移 b个单位；bO或ax+b0a V 0图像X = T 2wam4:2a定义域-00 ,
6、 +0 )对称轴bX -2a顶点坐标b 4ac-b2 I 2a 4a 丿值域4ac_b2 丄 +I 4a 丿 4ac_b2 I 4a 丿单调区间-OO,-b |递减0向上(0 ,0)y轴XAO时，y随X的增大而增大；xv0时，y随 X的增大而减小；X = 0时，y有最小值0 .a c0向下(0,0)y轴xa0时，y随X的增大而减小；xv0时，y随 X的增大而增大；x=0时，y有最大值0 .2. y =ax2 C 的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上(0 , c)y轴xa0时，y随X的增大而增大；xv0时，y随 X的增大而减小；X = 0时，y有最小值C .a c0向下(
7、0 , c)y轴xa0时，y随X的增大而减小；xv0时，y随 X的增大而增大；x-0时，y有最大值C .23.y =a X -h的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上(h，0)X=hxh时，y随X的增大而增大；XCh时，y随 X的增大而减小；X - h时，y有最小值0 .a c向下(h，0)X=hXAh时，y随X的增大而减小；Xch时，y随 X的增大而增大；x = h时，y有最大值0 .24. y =a x -h k 的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上(h, k )X=hXAh时，y随X的增大而增大；XCh时，y随 X的增大而减小；X = h时，y有最
8、小值k .a c向下(h, k )X=hXAh时，y随X的增大而减小；Xch时，y随 X的增大而增大；X = h时，y有最大值k .三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 y=a(x-hj+k ,确定其顶点坐标(h , k )； 保持抛物线y a2的形状不变，将其顶点平移到 h , k处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上 h值正右移，负左移； k值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：y = ax2 bx C沿y轴平移：向上(下)平移 m个单位，y = ax2 bx C变成2 2y = ax bx C m (或 y = ax
9、 bx c - m)y = ax2 bx C沿轴平移：向左(右)平移m个单位，y = ax2 bx C变成y = a(x m)2 b(x m) c (或2y = a（xm） b（xm） C）四、二次函数y * x_h )+k 与 y =a2 +bx +c的比较y=a % 丄2 . 4ac -b22a 丿 4a,其中h =b_2a，2I 4ac-b k =4a从解析式上看，y =a(x h j +k与y =ax2 +bx +c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即五、二次函数y=ax2 bc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y =ax2 bx c化为顶点式y =a(x-h)
10、2 k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点 O ,c、以及O, c关于对称轴对称的点 2h，C、与X轴的交点Xi, 0， X，0 (若与X轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 X轴的交点，与y轴的交点六、二次函数y =a2 bx C的性质h I b 4ac b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为 -,顶点坐标为-2， b L2a V 2a 4a J2 当时，y随X的增大而减小；当X -b时，y随X的增大而增大；当X b时，y有最小值4ac 2a 2a 2a
11、4a2当acO时，抛物线开口向下，对称轴为 X= 丄，顶点坐标为,4acb 当 时，y随X的增2a V 2a 4a J 2a2 大而增大；当X 时，y随X的增大而减小；当X =时，y有最大值4ac 2a 2a 4a七、 二次函数解析式的表示方法1.一般式：y =ax2 bx c ( a , b , C 为常数，a =0 )；22.顶点式：y=a(x-h) k ( a , h , k 为常数，a=0)；3.两根式：y =a(x-x)(x-X2) ( a =0 , X , X2是抛物线与X轴两交点的横坐标)注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
12、有抛物线 与X轴有交点，即b2-4ac_0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以 互化.八、 二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y =ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然 a=0 当a ：:0时，抛物线开口向下， a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的 大小.2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a 0的前提下，当b 0时，-一 ：0 ,即抛物线的对称轴在 y轴左侧；2a当b =0时，- 0 ,即抛物线的对称轴就
13、是 y轴；2a当b 0时，b 0 ,即抛物线对称轴在 y轴的右侧.2a 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，b 0,即抛物线的对称轴在 y轴右侧；2a当b =0时，=0 ,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b ：0时，-一 -.0 ,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.2aKab的符号的判定：对称轴X 在y轴左边则ab 0 ,在y轴的右侧则ab ： O ,概括的说 2a3.常数项C当c，0时，抛物线与当C =O时，抛物线与当C 0抛物线与X轴有 两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负一兀二次方程有两个不相等实根A =0抛物线与X轴只有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相
14、等的实数根0抛物线与X轴无 交占八、二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系从函数观点来看，一元二次不等式ax2 bx c 0 a = 0的解集就是二次函数 f x-ax2 bx c a = 0的图像上，位于X轴上方的点的横坐标的集合;F方的点的横坐标的集合;元二次不等式ax2 bx O a = O的解集就是二次函数f x = ax2bx c a = O的图像上,位于X轴上方的点和与X轴的交点的横坐标的集合;F方的点和与X轴的交点的横坐标的集合.元二次方程a2 bx c = O a = O的解就是二次函数 f X = ax2 bx c O的图像上，与X轴的交点的横坐标.
