1、直线的点斜式方程高中数学知识点讲解含答案直线的点斜式方程（北京习题集）（教师版）一选择题（共 6 小题）1（2019 春昌平区期末）经过点 (1,1) 且斜率为 1 的直线方程为 ( )A x y 0 B x y 0 C x y 2 0 D x y 2 02（2018 春昌平区期末）经过点 ( 1, 2) 且斜率为 2 的直线方程为 ( )A 2x y 4 0 B 2x y 5 0 C 2x y 4 0 D 2x y 5 03（2015 秋昌平区期末）过点 (2, 1) 且倾斜角为 60 的直线方程为 ( )A 3x y 2 3 1 0 B 3x 3y 2 3 3 0 C 3x y 2 3 1
2、 0D 3x 3y 2 3 3 04（2012 秋海淀区校级期末）下列命题中正确的是 ( )A经过点 ， 0 ) 的直线都可以用方程 y y0 k(x x0 ) 表示P x0 ( 0 yB经过定点 A(0,b) 的直线都可以用方程 y kx b 表示C经过任意两个不同点 ， y1) ， ， 的直线都可用方程 表示P x y (x x )(y y ) (y y )(x x )1 ( 1 P2 (x2 2 )2 1 1 2 1 1 x yD不经过原点的直线都可以用方程 1表示 a b5（2010东城区学业考试）过点 (0, 4) 且平行于直线 2x y 3 0 的直线方程是 ( )A 2x y 4
3、 0 B 2x y 4 0 C x 2y 4 0 D x 2y 4 06（2002 秋北京校级期中）下列四个命题中，正确的是 ( )A通过点 (0, 2) 且倾斜角是15 的直线方程是 y ( 3 2)x 2k kB设直线 和l 的斜率分别为 k 和 k ，则l 和l 的夹角是 arctg 2 1l1 2 1 2 1 g21 k k1 2C直线 2 1 0 的倾斜角是 arctg x y ( 2 )2D已知三点 A(a b,c) ， B(b c,a) ，C(c a,b) ，则 A ， B ，C 三点共线二填空题（共 6 小题） 7（2016 春海淀区校级月考）若直线l 经过点 P( 1, 2)
4、 ，且倾斜角为 ，则直线 的方程为l48（2015 秋北京校级期中） ABC 的三顶点分别是 A( 8,5)， B(4, 2) ，C( 6, 3) ，则 BC 边上的高所在的直线的一第 1 页（共 8 页）般式方程是 9（2010 春丰台区期末）分别经过 A( 1,1) 、 B(2, 4) 两点的两条平行直线的距离最大时，过点 A 的直线方程是 10（2009 秋丰台区期末）分别经过 A( 1,1) 、 B(2, 4) 两点的两条平行直线的距离最大时，过点 A 的直线方程是 11（2009 春西城区期末）若直线l 通过点 (1, 0) ，且斜率是 3，则直线l 的方程是 12（2007 秋海淀
5、区期中）将直线 y 0 绕点 ( 1, 0) 顺时针旋转 60 得到直线l ，则直线l 的方程是 ；直线l 在 y轴上的截距是 三解答题（共 1 小题）113（2008丰台区一模）已知函数 f x x x ax a R x R 在曲线 y f (x) 的所有切线中，有且仅有一条切( ) 2 ( , ) 33 2线 与直线 垂直l y x（）求 a 的值和切线l 的方程；（）设曲线 y f (x) 上任一点处的切线的倾斜角为 ，求 的取值范围第 2 页（共 8 页）直线的点斜式方程（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一选择题（共 6 小题）1（2019 春昌平区期末）经过点 (1,1) 且
6、斜率为 1 的直线方程为 ( )A x y 0 B x y 0 C x y 2 0 D x y 2 0【分析】根据题意，由直线的点斜式方程可得直线方程为 ，变形可得答案y 1 x 1【解答】解：根据题意，过点 (1,1) 且斜率为 1 的直线方程为 y 1 x 1，变形可得： ，x y 0故选： A【点评】本题考查直线的点斜式方程，关键是掌握直线的点斜式方程的形式，属于基础题2（2018 春昌平区期末）经过点 ( 1, 2) 且斜率为 2 的直线方程为 ( )A 2x y 4 0 B 2x y 5 0 C 2x y 4 0 D 2x y 5 0【分析】利用直线的点斜式方程直接求解【解答】解：经
7、过点 ( 1, 2) 且斜率为 2 的直线方程为：y 2 2(x 1) ，即 2x y 4 0故选： A 【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线的点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（2015 秋昌平区期末）过点 (2, 1) 且倾斜角为 60 的直线方程为 ( )A 3x y 2 3 1 0 B 3x 3y 2 3 3 0 C 3x y 2 3 1 0D 3x 3y 2 3 3 0【分析】由直线的倾斜角求出直线的斜率，代入直线方程的点斜式，整理为一般式得答案【解答】解： 直线的倾斜角为 ，Q 60 k tan 60 3斜率 ，又直线过点 ，(2, 1)第
8、3 页（共 8 页）由直线方程的点斜式得： ，y 1 3(x 2)化为一般式： 3x y 2 3 1 0故选： A【点评】本题考查直线的点斜式方程，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题4（2012 秋海淀区校级期末）下列命题中正确的是 ( )A经过点 ， 的直线都可以用方程 0 ( 0 ) 表示P x0 ( 0 y0 )y y k x xB经过定点 A(0,b) 的直线都可以用方程 y kx b 表示C经过任意两个不同点 ， ， ， 2 ) 的直线都可用方程 (x x )(y y ) (y y )(x x ) 表示P1 (x1 y1) P x2 ( 2 y2 1 1 2 1 1 x yD不
9、经过原点的直线都可以用方程 1表示 a b【分析】 A 、 B 、 D 选项中都是有条件限制才能写出直线方程的，条件是斜率存在或与坐标轴的截距存在，C 选项中的方程不受限制只需两点坐标即可，得到正确答案【解答】解： A 选项中过 P 的方程为直线的点斜式方程，当直线与 y 轴平行即斜率不存在时例如 x 5 ，就不能写成0此形式，此选项错；B 选项中过 A 点的直线方程为直线的斜截式方程，当直线与 y 轴平行时即斜率不存在时例如 x 8，就不能写成此形式，此选项错；C 选项中过两点的方程为直线的两点式方程，不存在条件的限制，所以此选项正确；D y 2 x选项中当直线与坐标轴平行时例如 ，与 轴没
10、有交点且不过原点，但是不能直线的截距式，此选项错故选：C 【点评】此题考查学生掌握直线的点斜式、斜截式及截距式方程所满足的条件，会利用两点坐标过两点直线的两点式方程，是一道中档题5（2010东城区学业考试）过点 (0, 4) 且平行于直线 2x y 3 0 的直线方程是 ( )A 2x y 4 0 B 2x y 4 0 C x 2y 4 0 D x 2y 4 0【分析】由于所求直线与直线 平行，故可以设其方程为 ，又由所求直线过点 ，将点2x y 3 0 2x y C 0 (0, 4)(0, 4) 的坐标代入构造关于C 的方程，解方程求出C 值，即可得到答案【解答】解：设过点 且平行于直线 的
11、直线的方程为(0, 4) 2x y 3 0 2x y C 0将 (0, 4) 点代入得 4 C 0第 4 页（共 8 页）解得C 4故过点 且平行于直线 的直线方程是(0, 4) 2x y 3 0 2x y 4 0故选： B【点评】本题考查的知识点是直线的方程，其中与直线 平行的直线系方程为 1 0 （其中CAx By C 0 Ax By C 1为待定系数）6（2002 秋北京校级期中）下列四个命题中，正确的是 ( )A通过点 (0, 2) 且倾斜角是15 的直线方程是 y ( 3 2)x 2k kB设直线l 和 的斜率分别为 和 ，则 和l 的夹角是 arctg 2 1l k k l1 g2
12、 1 2 1 2 1 21 k kC直线 2 1 0 的倾斜角是 arctg x y ( 2 )2D已知三点 A(a b,c) ， B(b c,a) ，C(c a,b) ，则 A ， B ，C 三点共线【分析】可逐一考查， A ，C 用到直线的倾斜角与斜率之间的关系， B 用到直线的夹角公式， D 用到了直线斜率公式【解答】解；通过点 且倾斜角是 的直线方程是 ， 错误(0, 2) 15 y (2 3)x 2 Ak k k k直线l 和l 的夹角 的正切为 tan | 2 1 |， arctg | 2 1 |， B 错误1 g21 k k 1 k k2 1 1 2x y 22 1 0 ( )2
13、直线 的斜率为 ，又Q倾斜角 (0, ) 倾斜角是 arctg ， C 错误2 2a c a b 对于三点 ， ， ， 斜率为 ， 斜率为 ， A，A(a b,c) B(b c,a) C(c a,b) AB 1 BC 1 b c (a b) b c (c a)B C D， 三点共线， 正确故选： D 【点评】本题考查了直线方程中的一些概念，做题时要认真辨析二填空题（共 6 小题） 7（2016 春海淀区校级月考）若直线l 经过点 P( 1, 2) ，且倾斜角为 ，则直线l 的方程为 x y 3 04 【分析】先求出直线l 的斜率 k tan 1，由此能求出直线l 的方程4 【解答】解： 直线
14、经过点 ，且倾斜角为 ，Q l P( 1, 2)4 直线l 的斜率 k tan 1，4 l y 2 x 1 x y 3 0直线 的方程为 ，即 故答案为： x y 3 0第 5 页（共 8 页）【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线的点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（2015 秋北京校级期中） ABC 的三顶点分别是 ， ， ，则 边上的高所在的直线的一 A( 8, 5) B(4, 2) C( 6, 3) BC般式方程是 2x y 21 0【分析】先求出 BC 所在直线的斜率，根据垂直得出 BC 边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式【解答】解： ABC
15、 的三顶点分别是 ， ， ，Q A( 8, 5) B(4, 2) C( 6, 3) 2 3 5 1 k BC4 ( 6) 10 2， BC 边上高 AD 所在直线斜率 k 2 ，又过 A( 8,5)点， BC AD AD : y 5 2(x 8)边上的高 所在的直线 ，即 2x y 21 0故答案为：2x y 21 0【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法，利用定义法是解决本题的关键9（2010 春丰台区期末）分别经过 A( 1,1) 、 B(2, 4) 两点的两条平行直线的距离最大时，过点 A 的直线方程是3x 5y 8 0【分析】由题意得当两条平行直线与 A
16、、 B 两点连线垂直时两条平行直线的距离最大所以两条平行直线的斜率为35，所以过点 的直线方程是 A 3x 5y 8 0【解答】解：当两条平行直线与 A 、 B 两点连线垂直时两条平行直线的距离最大因为 、 ，A( 1,1) B(2, 4)5 3所以 K ，所以两条平行直线的斜率为 AB3 53所以过 点的直线斜率为 A5所以过点 的直线方程是 A 3x 5y 8 0故答案为 3x 5y 8 0【点评】解决此类问题的关键是熟悉怎样求过定点的两条平行直线间距离，以及两条平行直线间的距离公式10（2009 秋丰台区期末）分别经过 A( 1,1) 、 B(2, 4) 两点的两条平行直线的距离最大时，
17、过点 A 的直线方程是3x 5y 8 0第 6 页（共 8 页）【分析】根据题意判断所求的直线和直线 垂直，求出 的斜率，可得所求的直线的斜率，用点斜式求的所求直AB KAB线方程【解答】解：分别经过 、 两点的两条平行直线的距离最大时，过点 的直线和直线 垂直，A( 1,1) B(2, 4) A ABKAB1 4 5 1 2 3 3 3，故所求的直线的斜率等于 ，故所求的直线的方程是 y 1 (x 1) ， 5 5即 ，3x 5y 8 0故答案为： 3x 5y 8 0【点评】本题考查两直线平行的性质，两直线垂直的性质，用点斜式求直线方程，判断所求的直线和直线 AB 垂直，是解题的关键11（2
18、009 春西城区期末）若直线l 通过点 (1, 0) ，且斜率是 3，则直线l 的方程是3x y 3 0 【分析】已知直线上的信息有点，斜率，故可采用点斜式 直接写出直线方程即可y y k x x0 ( 0 )【解答】解：Q直线l 通过点 (1, 0) ，且斜率是 3 l y 0 3(x 1) 3x y 3 0直线 的方程为： 即故答案为：3x y 3 0【点评】此题属基础题，只要记住点斜式方程 0 ( 0 ) 就可以了y y k x x12 （ 2007 秋 海 淀 区 期 中 ） 将 直 线 绕 点 顺 时 针 旋 转 得 到 直 线 ， 则 直 线 的 方 程 是 y 0 ( 1, 0)
19、 60 l l3x y 3 0 l y；直线 在 轴上的截距是 【分析】由题意可得直线 的倾斜角为 ，进而求得直线的斜率等于 ，用点斜式求直线方程，化为一般式，l 120 tan120 根据截距的定义，求出直线l 在 y 轴上的截距【解答】解：直线 绕点 顺时针旋转 得到直线 ，则直线 的倾斜角为 ，y 0 ( 1, 0) 60 l l 120 故直线的斜率等于 ，由点斜式求出直线的方程为 ，tan120 3 y 0 3(x 1)即 3x y 3 0令 x 0 ，可得 y 3 ，故直线在 y 轴上的截距等于 3 故答案为 ， 3x y 3 0 3【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，用
20、点斜式求直线方程，判断直线l 的倾斜角为120 ，是解题的关键，属于基础题第 7 页（共 8 页）三解答题（共 1 小题）113（2008丰台区一模）已知函数 ( ) 2 ( , ) 在曲线 的所有切线中，有且仅有一条切f x x x ax a R x R y f (x)3 23线 与直线 垂直l y x（）求 a 的值和切线l 的方程；（）设曲线 上任一点处的切线的倾斜角为 ，求 的取值范围y f (x) 【分析】（1）由已知可得函数的导函数，即切线斜率的函数，因为在曲线 y f (x) 的所有切线中，有且仅有一条切线 与直线 垂直，所以导函数只有一个实根，进而易得 的值与切线 1 的方程l
21、 y x a（2）因为在曲线 y f (x) 的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线 y x 垂直，显然切线斜率 1从而可以解出 的范围1【解答】解：（）Q f (x) x2 2x2 ax ，3 f (x) x 4x a2（2 分）Q y f (x) l y x在曲线 的所有切线中，有且仅有一条切线 与直线 垂直， x2 4x a 1有且只有一个实数根 16 4(a 1) 0 ， a 3 （4 分） (2) 2x 2， f 32 l : y (x 2) 3x 3y 8 0切线 ，即 （7 分）3（） f (x) x 4x 3 (x 2) 1 1（9 分）Q 2 2 tan 1，（10 分）Q ) 0 ， ， 3 0, ) , ) U 2 4（13 分）【点评】本题考查了直线的点斜式方程及直线的倾斜角，是一道综合题，应注意运用导函数求解第 8 页（共 8 页）
