1、,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,不知你们是否注意到街头的一种赌博活动?用一个钉板作赌具。,街头,请看,也许很多人不相信，玩这种赌博游戏十有八九是要输掉的，不少人总想碰碰运气，然而中大奖的概率实在是太低了。,下面我们在计算机上模拟这个游戏：,街头赌博,高尔顿钉板试验,平时，我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性，人们可能不相信它是有规律的。一旦试验次数增多并且注意观察的话，你就会发现，最后得出的竟是一条优美的曲线。,高尔顿钉板试验,这条曲
2、线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。,正态分布的定义是什么呢？,对于连续型随机变量，一般是给出它的概率密度函数。,一、正态分布的定义,若r.v X的概率密度为,记作,f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.,其中 和 都是常数，任意，0，则称X服从参数为 和 的正态分布.,正态分布有些什么性质呢？,由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点。,正态分布,请看演示,二、正态分布 的图形特点,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.,特点是“两头小，中间大，左右对称”.,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,能不能根
3、据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？,容易看到，f(x)0,即整个概率密度曲线都在x轴的上方;,故f(x)以为对称轴，并在x=处达到最大值:,令x=+c,x=-c(c0),分别代入f(x),可得,f(+c)=f(-c),且 f(+c)f(),f(-c)f(),这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。,当x 时，f(x)0,用求导的方法可以证明，,为f(x)的两个拐点的横坐标。,x=,这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。,根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图。,回忆我们在本章第三讲中遇到过的年降雨量问题，我们用上海9
4、9年年降雨量的数据画出了频率直方图。,从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。,下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。,人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。,请同学们想一想，实际生活中具有这种特点的随机变量还有那些呢？,除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信
5、号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.,服从正态分布 的随机变量X的概率密度是,X的分布函数P(Xx)是怎样的呢？,正态分布由它的两个参数和唯一确定，当和不同时，是不同的正态分布。,标准正态分布,下面我们介绍一种最重要的正态分布,三、标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,它的依据是下面的定理：,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,定理1,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.
6、,四、正态分布表,表中给的是x0时,(x)的值.,当-x0时,若,N(0,1),若 XN(0,1),由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X|1)=2(1)-1=0.6826,P(|X|2)=2(2)-1=0.9544,P(|X|3)=2(3)-1=0.9974,五、3 准则,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,这在统计学上称作“3 准则”（三倍标准差原则）.,上一讲我们已经看到，当n很大，p接近0或1时，二项分布近似泊松分布;如果n很大，而p不接近于0或1，那么可以证明，二项分布
7、近似于正态分布.,下面我们不加证明地介绍有关二项分布近似于正态分布的一个定理，称为棣莫佛拉普拉斯定理.它是第五章要介绍的中心极限定理的一个最重要的特殊情况.,六、二项分布的正态近似,定理(棣莫佛拉普拉斯定理）,设随机变量 服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意x，有,定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p).,二项分布的正态近似,实用中，n 30，np 10时正态近似的效果较好.,见教学软件中的计算机演示,例1 将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，认为这枚硬币不均匀是否合理?试说明理由.
8、,解:设X为10000次试验中出现正面的次数，,采用正态近似,np=5000,np(1-p)=2500,=1-(16),0,此概率接近于0，故认为这枚硬币不均匀是合理的.,近似正态分布N(0,1).,例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,解:设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h)0.01,或 P(X h)0.99，,下面我们来求满足上式的最小的 h.,再看一个应用正态分布的例子:,因为XN(170,62),查表得(2.33)=0.99010.99,所以=2.33,即 h=170+13.98 184,设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.,这一讲，我们介绍了正态分布，它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道.,后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布.,
