1、比的前概念研究“比”的前概念研究 一、比的认识 “比”是数学中的一个重要概念，其概念实质是对两个数量进行比较，表示两个数量间的倍数关系。这两个数可以是同类量，也可以是不同类量。“比”可以表示为两个同类量的比，表示的是它们之间的倍数关系，比如，一面红旗长15cm，宽10cm，我们可以说长和宽的比是15比10，即1510，也可以说宽和长的比是10比15，即1015。比还可以表示两个不同类量的比，表示的是第三种量，比如，90分钟绕地球42252km，也可以用“比”来表示路程与时间的关系，表示单位时间所行的路程（即速度）。 比和除法、分数有着密切的联系，但又不完全等同，“比”更强调的是量与量之间的倍比
2、关系的直接描述，有时并不关注具体比值是多少，而除法、分数更多的是强调两个量之间的一种运算关系，通常也会关注运算的结果。此外，我们用“比”可以同时表示两个、三个甚至更多的量之间的倍比关系，而除法、分数一般只能表示两个量之间的倍比关系。“比”不仅表示相除，更是一种关系！因此，现行新教材将“比”从分数除法单元脱离，独立成为一个单元，以突出量与量之间的关系。 比，也是对“平均分”方法的延伸和发展，例如，把12张画按21分给两位同学，实际上就是把总量平均分成（2+1）份，而如果按11分配，就是平均分。在解决的过程中，可以实际操作，列表解决，按每次2张1张分发；也可以画图后，按整数问题来解决，先求每份是多
3、少，再求各自的几份；当然按照分数问题来解决，把总数看成“整体”，先求各自占整体的几分之几，再求是多少也是可以的。 “比”是小学数学中的一个重要概念，让学生真正理解比的意义，具有一定难度。 1. 透过份数理解比 如“按14的比配制一瓶500 mL的稀释液”，指的就是“浓缩液体积有1份，水的体积有4份，稀释液的体积有5份”；“每个橡皮艇上有1名救生员和7名游客”，也就是说“救生员和游客的人数比是17”，将两个数量关系用比的形式加以抽象概括。由此可以明白，透过份数来学习“比”这一概念，为解决问题积淀了丰富的表象，为正确解答按比分配问题提供清晰的解题思路。 2. 分数转化理解“比” “女生人数是男生的
4、1倍”，即女生人数是男生人数的，发现男、女生人数的比是45。借助分数的意义，进一步认清两个量之间的关系，将分数灵活转化为比。 二、学生已有经验的分析 目前，教材把“比”的内容放在六年级，在对“比”进行系统学习前，学生已经有了除法、分数除法的学习基础。那么，六年级学生对“比”有哪些认识呢？ （一）生活中关于“比”经验的积累 谈起“比”学生并不觉得陌生，因为生活中常常遇到。比如在前测中学生提到的： A. 吹泡泡的液体中，水和洗洁精的比是23。 B. 社团的男、女生之间的人数比是2425。 C. 冲泡燕麦片时，燕麦和水之间量的最佳比是16。 D. 金龙鱼调和油中大豆油、玉米油、菜籽油的比是111。
5、E.足球赛中，甲、乙两队的进球分之比为23。 以上事例中，学生都提及了“比”，可见生活中学生有不断接触“比”的机会，至少学生清楚“比”的外在表征形式，事例A、B、C、D都是对“比”的正确感知。当然，生活语言时常还冲击着数学表达，学生头脑中生活中的篮球比分，如事例E，虽然形式上雷同，但是意义上却截然不同，学生无法从本质上区分，容易被生活语言“负迁移”。 （二）知识学习过程中积累的比经验 本单元内容是在学生学习分数乘除法的基础上安排的，从学习的具体内容来看，学生已经掌握了除法的意义、分数与除法的关系、分数乘除法的计算以及解答有关分数乘除法的实际问题等知识，这些是学习“比”不可缺少的知识基础。 1.
6、 份数经验 通过低段对倍数的学习，让学生“按黄球是红球的3倍取球”，学生能够轻松罗列出各种方法，如取红球1份黄球3份，取红球2份黄球6份，取红球3份黄球9份从份数的角度来思考，发现不管怎么取，只要符合黄球、红球个数比为31，满足这样的倍数关系即可。又如，“班级女生人数是男生人数的倍”，从理解的简洁性上考虑，我们常常默认男生人数为4份，女生人数为3份，在这样转化理解的过程中，也开始隐约渗透“比”的意义。 2. 除法概念经验 比与除法、分数有着密切的联系，所以应当充分利用学生原有的知识基础，引导学生联系相关知识进行类比和推理。例如，“2本本子8元，3本本子12元，4本本子16元”我们可以利用“总价
7、数量=单价”中的商不变性质研究总价与数量之间的关系。在这样的变化中，什么没有变？是总价与数量的比，都是41，也可以说成数量与总价的比没有发生变化，都是14。当然“比”也可以与分数建立这样的联系。 比的前项、后项、比值与除法中的被除数、除数、商以及分数的分子、分母、分数值形成对应关系等，通过学生自己的思考、分析、解答，这不仅有利于加深对比的意义的理解，也能加深对除法与分数概念的理解，促进比与除法、分数的知识之间的融会贯通。 三、前测的意图及习题 从上述的分析来看，学生对于“比”的生活感触还是较为宽广的，但是就每个个体而言，对生活中的“比”是否人人都有这样的数学直觉，他们当中存在着怎样的差异呢？为
8、了更好地帮助学生学习并掌握“比”的概念及联系转化的方法，我们试图通过前测了解学生以下几方面的现实起点，从而为教学提供有利资源和借鉴。 第一，学生能否正确联想到生活中的比？ 第二，学生能否由倍数、除法、分数联想到比的意义？ 第三，学生是否理解比的意义中所包含的两个量的倍比对应关系？ 第四，面对生活情境，学生是否能真正区分相差关系与倍比关系？ 基于这样的意图，又为了便于操作，我们设计了如下三个习题及相应的问题。 测试题1： （1）生活中，你听说过或者看到过几比几吗？请举例说明。 （2）调制一杯糖水，里面有比吗？如果有，会是谁和谁的比呢？ （测试意图：检测学生对“比”的直觉，即了解学生对生活中的各个
9、“比”的认知度，主要看学生能否在生活中回忆寻找到“比”，在这些“比”之中，球场的比分，数学意义的比又占多大比例。） 测试题2： （1）这一杯饮料中糖与水的比是110。你知道它的意思吗？能不能用我们学过的知识来解释一下？ （2）如果我放3勺糖，应该放多少水？如果再加1勺糖呢？应该放多少水？ （3）上面的饮料中，糖与水的具体数量不断地在变，什么没有变？ 测试意图：（1）了解学生能否对“比”有正确的意义理解，能否尝试通过已经习得的知识来解决新问题。（2）能否解决具体数量不断地在变而引起另一个量变化的问题。（3）了解学生能否深入思考，发现在变化的过程中不变的量。 测试题3：下图中这两个110表示的意义
10、一样吗？有什么区别？ （测试意图：以赛场的比分冲击对“比”的认识，从学生真实的想法中，洞察学生能否区分相差关系与倍比关系，从数学“比”的本质出发，避免生活经验的负迁移。） 四、测试要求和数据统计 （一）测试的对象 六年级学生100人，在六年级第一学期，学生学习该内容前一周。（为了对比研究，也可以选五年级第二学期末的学生进行检测） （二）测试的方法 测试题均采用笔试，逐题测试，对于第3题部分学生采用面试方式进行，要求学生到场操作，并做好摘录。 （三）数据统计 每个测试题需要统计的数据： 测试题1：列举比赛比分的人数及比例；列举数学意义比的人数及比例；正确理解糖水中比的人数及比例。 测试题2：能正
11、确理解比的人数及比例；能正确解答实际问题的人数和比例；能正确理解倍比对应关系的人数及比例。 测试题3：正确区分比的本质的人数及比例。 五、测试结果分析和教学建议 （一）测试结果 我们选择了城区优秀学校，随机抽样100名学生进行笔试，结果如下。 第1题： （1）列举生活中的比。 （2）糖水中的比。 在正确表述的94名学生中，能正确理解糖和水的比的有53人，占53%，正确理解糖和糖水比的有6人，占6%，能正确理解两者关系的有35人，占35%。 第2题： （1）用学过的知识来解释糖水为110。 在知其然知其所以然的93名学生中，大多采取了份数理解策略，能表达清楚两者之间倍比对应关系。 （2）放3勺糖
12、，对应放多少水？如果再加1勺糖呢？应该放多少水？ 在错误解答的同学中，对糖的数量改变引起水的数量变化之间关系理解错误的有28位，占28%；有15位同学表示解答具体问题有困难。 （3）糖与水的具体数量不断地在变，什么没有变？ 参与调查的同学中，有93人，占93%，提到了糖占糖水的比重未变。 第3题：糖与水的比110和赛场比分110，表示的意义一样吗？ （二）测试结果分析 根据检测结果可以得出如下几点结论。 第一，六年级的学生绝大多数有了“比”的潜意识，碰到生活中（ ）（ ）这样的表征形式，能首先联想到比。学生的争论焦点就是赛场比分是否符合数学研究的比，这也是本节课需要达成的目标，即学生能从数学的
13、角度，从比的意义出发重新定义比。（建议保留学生的困惑与争论） 第二，在研究糖与糖水“比”的过程中，学生会从字面上联想，比较自然地联想到“糖与水”“糖与糖水”的比，而“水与糖水”的比，对学生来说是比较难考虑到的，建议增加追问环节，还可以有不一样的比吗？突破这一思考的盲区。 第三，从对“比”的实际意义理解、解答实际问题来看，学生对于比表征的倍比对应关系还是有着相对清晰认识的。有85%的学生已经掌握了将糖看作1份，根据水是糖的10倍，糖扩大3倍，水应该扩大30倍的逻辑思维来分析具体问题，说明学生能联系倍数、商不变性质来解决实际问题。通过对错误解答学生的采访，发现不少学生审题不清“如果再加1勺糖呢”，
14、到底最终有多少勺糖？建议题目可以更加开放一些，如“如果（ ），需要加多少水？” 第四，面对数学意义的“比”和赛场上的“比分”，有96%的学生都能正确辨析数学意义中的比，其中85%的学生还能站在数学的角度解释判断依据，说明六年级学生已有一定的思辨能力。从学生的思辨过程看，学生会联想到倍数关系、对应关系、部分占整体的分数意义等方面，这样对比的正确区分有很大帮助。这也刚好修正测试题1中学生的想法，从疑问出发进行研究，解决疑问并产生新的疑问，在学习中逐步理解、建构概念，辨析本质含义。 （三）教学建议 根据前测数据分析，我们对“比”一课的教学提出如下几条建议。 1. 理解“比”的现实背景，逐步抽象“比”
15、 虽然学生对“比”并不陌生，但是对于“比”产生的必要性，学生体会不够深入。教学时，可以从学生的生活经验和学习经验入手，理解“比”的现实背景，通过具体情境来引发学生的思考讨论，并逐步抽象出“比”的概念，理解“比”的意义。安排情境时，建议由同类量的“比”逐步比较不同类量的“比”，结合各自情境理解实际意义。 2. 自主学习类比推理，抽象概括“比” 在教学时，应充分利用学生原有的学习基础，开展观察、实验、猜想、验证等活动，引导学生用“相当于”一词来说明比、除法、分数的联系，进行类比和推理，促使原有知识的重新建构，加强知识之间的联系。 3. 交流讨论数学思辨，深刻理解“比” 学生有丰富的“比”的生活经验
16、、知识基础，也具备一定的数学辨析能力，可以采用学生自主交流讨论的形式来突破教学难点，增加辨析赛场比分的机会，让学生联系生活实际用举例子的方法来证明自己的观点，透过现象看本质，为提炼“比”的意义做准备。还可以在迁移学习的过程中，组织学生对“比的各部分与除法、分数之间各部分间的关系”和“比的后项可以是0吗”展开讨论，帮助学生进一步明确比与分数、除法之间的关系，使学生对“比”的认识更加透彻，认识结构得以进一步完善。 4. 对比拓展，实现有意义迁移 在后继的学习中，可以补充更多现实意义的场景，比如电子表的显示时刻，同样无法表示两个数相除的关系，在不断对比中，加深对“比”的认识；练习中可以适当渗透用“比”来描述三个量之间关系的情况，拓宽对“比”意义的理解。 同时，“比”来源于生活，也应该应用于生活，生活中令人赏心悦目的“黄金比”，可以作为对“比”的意义深入理解的辅助，“黄金比”图片欣赏，也为学生积累了丰富的数学经验，拓展知识面，提高学生的数学思考能力。 （浙江省杭州市学军小学 310012）
