1、08立体图形上的最短路径问题第 8 讲 立体图形上的最短路径问题一、方法技巧解决立体图形上最短路径问题：1.基本思路： 立体图形平面化 ，即化“曲”为“直”2.“平面化”的基本方法：（ 1）经过 平移 来转变比如：求 A、B 两点的最短距离，可经过平移，将楼梯“拉直”即可（ 2）经过 旋转 来转变比如：求 A、 C 两点的最短距离，可将长方体表面睁开，利用勾股定理即可求比如：求小蚂蚁在圆锥底面上点 A 处绕圆锥一周回到 A 点的最短距离可将圆锥侧面睁开，依据“两点之间，线段最短”即可得解（ 3）经过 轴对称 来转变比如：求圆柱形杯子外侧点作点 A 对于杯口的对称点B A到内侧点 A 的最短距离
2、， 可将杯子（圆柱）侧面睁开，依据“两点之间，线段最短”可知 A B 即为最短距离3. 贮备知识点：（ 1）两点之间，线段最短 （2）勾股定理4.解题重点：正确画出立体图形的平面睁开图二、应用举例种类一 经过平移来转变【例题 1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm， 3cm 和 1cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点， A 点上有一只蚂蚁， 想要到 B 点去吃爽口的食品， 请你想想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短线路是多少？【答案】 13cm【分析】试题剖析：只要将其睁开即可直观得出解题思路， 将台阶睁开获得的是一个矩形， 蚂蚁要从 B
3、点到 A 点的最短距离，即是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案 .试题分析：解：睁开图以下图， AB 52 122 13cm因此，蚂蚁爬行的最短路线是 13cm种类二 经过旋转来转变【例题 2】以以下图，正四棱柱的底面边长为 5cm，侧棱长为 8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的 A 点沿棱柱侧面到点 C处吃食品，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？【答案】 2 41cm【分析】试题剖析：解这种题应将立体图形睁开， 转变为平面图形， 把空间两点的距离转变为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连结这两点的线段”进行计算 .试题分析：解：如图 1，设蚂蚁爬行的路径是 AEC（
4、在面 ADDA上爬行是同样的） .将四棱柱剪开摊平使矩形 AABB与 BBCC相连，连结 AC，使 E 点在 AC上（如图 2）AC ( AB BC ) 2 CC 2 102 82 2 41(cm)因此这只蚂蚁爬行的最短路径长为 2 41cm【难度】一般【例题 3】以以下图所示，圆柱形玻璃容器高 18cm，底面周长为点 S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距张口处试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度 .60cm，在外侧距下底 1cm 的1cm 的点 F 处有一苍蝇，【答案】 34cm【分析】试题剖析：睁开后连结 SF ，求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S 作SECD于
5、 E，求出SE、EF，依据勾股定理求出SF 即可.试题分析：解：以以下图所示，把圆柱的半侧面睁开成矩形，点上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边S， F 各自所在的母线为矩形的一组对边.该矩形上的线段 SF 即为所求的最短路线.过点S 作点F 所在母线的垂线，获得RtSEF .SF302(18 1 1)234cm【难度】较易【例题 4】（ 2015红河期末）以以下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为 6m 的正三角形ABC，粮堆母线 AC 的中点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食， 此时小猫正在 B 处，它要沿圆锥侧面抵达 P 处捕获老鼠，则小猫所经过的最短行程是 _m（结果不取近似值）【答案】 3
6、5【分析】试题剖析：求小猫经过的最短距离，第一应将其侧面睁开，将问题转变为平面上两点间的距离的问题，依据睁开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求睁开图的扇形圆心角度数， 故可得出睁开图中 BAP 90 ，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离 BP 长 .试题分析：解：作出圆锥侧面睁开后的扇形图以以下图，设该扇形的圆心角度数为 n ，由睁开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得nACBC ，再由 ACBC 6m，可得 n180 ，180故在睁开的平面图形中， BAC 1 180 902点 B 到 P 的最短距离为 BP AB2 AP2 62 32 3 5( m)【难度】一般种类三 经过轴对称来转变【例题
7、 5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖） ，高为 12 厘米，底面周长 18 厘米，在杯口内壁离杯口 3 厘米的 A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面 3 厘米的 B 处时，忽然发现了蜜糖，问小虫起码爬多少厘米才能抵达蜜糖所在地点？【答案】 15 厘米【分析】试题剖析：把圆柱睁开， 获得矩形形状， A、 B 的最短距离就是线段 BA 的长，依据勾股定理解答即可试题分析：解：以下图，作 A 点对于杯口的对称点 A则 BA92 12215 厘米【难度】较易三、实战操练种类一经过平移来转变1如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、 3dm、 2d
8、m A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃爽口的食品，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短行程为 dm【答案】 25dm【分析】试题剖析：先将图形平面睁开，再依据勾股定理进行解答试题分析：解：如图，三级台阶平面睁开图为长方形，长为 20dm，宽为（ 2+3） 3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短行程是此长方形的对角线长设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短行程为 xdm，由勾股定理可得x2 =202+ （2+3 ） 32，解得 x=25即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短行程为 25dm【难度】较易种类二 经过旋转来转变2. （ 2015陕西）有一个圆柱形油罐
9、，已知油罐周长是 12m，高 AB 是 5m，要从点始绕油罐一周造梯子，正好抵达 A 点的正上方 B 处，问梯子最短有多长？A 处开【答案】 13m【分析】试题剖析：把圆柱沿 AB 侧面睁开，连结 AB ，再依据勾股定理得出结论试题分析：解：睁开图以下图， AC 12m， BC 5mAB AC 2 BC 2 122 52 13m【难度】较易3. 有一个圆柱体，如图，高 4cm，底面半径 5cm，A 处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 C 处蚂蚁爬行的最短距离 .【答案】 16 25 2 cm【分析】试题剖析：圆柱睁开就是一个长方形，依据两点之间线段最短可求试题分析：解： AB4 ， BC 为底面周长
10、的一半，即BC5 ACAB2BC24221625 2 cm5【难度】较易4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了抢夺雨露阳光，经常绕着树干回旋而上，它还有一手绝招， 就是它绕树盘升的路线老是沿最短路线 - 螺旋行进的，莫非植物也懂得数学？阅读以上信息，解决以下问题：（1）假如树干的周长 （即图中圆柱体的底面周长） 为 30cm，绕一圈高升 （即圆柱的高） 40cm,则它爬行一周的行程是多少？（2）假如树干的周长是 80cm, 绕一圈爬行 100cm，它爬行 10 圈抵达树顶，则树干高多少？【答案】（ 1） 50cm；（ 2） 6m【分析】试题剖析：（1）以以下图，将圆柱睁开，可知底面圆周长
11、，即为 AC出 AB 的长即为葛藤树的最短行程（2）先依据勾股定理求出绕行 1 圈的高度，再求出绕行试题分析：的长，圆柱的高即为 BC10 圈的高度，即为树干高的长，求解：（ 1）如图， e O 的周长为 30cm，即 AC=30cm高是 40cm，则 BC=40cm，由勾股定理得 AB AC 2 BC 2 50cm故爬行一周的行程是 50cm（2） e O 的周长为 80cm，即 AC=80cm绕一圈爬行 100cm，则 AB= 100cm，高 BC=60cm树干高 =6010=600cm=6m故树干高 6m【难度】一般5（ 2015江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为 2， BC 的
12、中点为从盒外的 B 点沿正方形的表面爬到盒内的 M 点，蚂蚁爬行的最短距离是 （M，一只蚂蚁）A 13 B 17 C 1 D 2 5【答案】 B【分析】试题剖析：依据已知得出蚂蚁从盒外的 B 点沿正方形的表面爬到盒内的 M 点，蚂蚁爬行的最短距离是如图 BM 的长度，从而利用勾股定理求出试题分析：解：蚂蚁从盒外的 B 点沿正方体的表面爬到盒内的 M 点 蚂蚁爬行的最短距离是如图 BM 的长度无盖的正方体盒子的棱长为 2， BC 的中点为 MA1B 2 2 4 A1M 1BM 42 12 17应选： B【难度】较易6. 已知 O 为圆锥极点， OA、OB 为圆锥的母线， C 为 OB 中点，一只
13、小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥侧面爬行到点 A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点 B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示，若沿 OA 剪开，则获得的圆锥侧面睁开图为（ ）【答案】 C【分析】试题剖析：要求小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面睁开，从而依据 “两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点 B，它们所爬行的最短路线 .试题分析：解： C 为 OB 中点，一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥侧面爬行到点 A侧面睁开图 BO 为扇形对称轴，连结 AC 即是最短路线另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点 B，作出 C 对于 OA 的对称点，再利用扇形对称性得出对于 B
14、O 的另一对称点，连结即可 .应选 C【难度】一般7（ 2014枣庄） 图所示的正方体木块棱长为 6cm，沿其相邻三个面的对角线 （图中虚线）剪掉一角， 获得如图的几何体， 一只蚂蚁沿着图的几何体表面从极点 A 爬行到极点 B 的最短距离为 cm【答案】 3 2 3 6 cm【分析】试题剖析：要求蚂蚁爬行的最短距离， 需将图的几何体表面睁开， 从而依据“两点之间线段最短”得出结果试题分析：解：如答图，易知 BCD 是等腰直角三角形， ACD 是等边三角形，在 Rt BCD 中， CD BC 2 BD2 6 2cm，1 BE CD 3 2cm ，2在 Rt ACE 中， AE2236cm ，AC
15、CE从极点 A 爬行到极点 B 的最短距离为323 6cm【难度】一般8. 一个圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r =2，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是_（结果保存根式）【答案】 8 2【分析】解：设圆锥的睁开图扇形 QAA的中心角 AQA 的度数为 n，则 2 2n 8，解得： n 90o180即 AQA 90o在 RtVAQA 中，依据勾股定理AA 8 2【难度】一般9. 如图， 圆锥的主视图是等边三角形， 圆锥的底面半径为 2cm，倘若点 B 有一只蚂蚁只好沿圆锥的表面爬行， 它要想吃到母线 AC 的中点 P 处的食品， 那么它
16、爬行的最短行程是多少？【答案】 25【分析】试题剖析：依据圆锥的主视图是等边三角形可知，睁开图是半径是4 的半圆，点 B 是半圆的一个端点，而点 P 是均分半圆的半径的中点，依据勾股定理即可求出两点B 和 P 在睁开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离试题分析：解：设圆锥的睁开图的圆心角为n，则 2 2n 4 ， 解得： n180180即 CAC 180在睁开图中，BACC， BA4， AP2由勾股定理得，BP422220 25评论： 此题主要考察了圆锥的侧面睁开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题化为平面的问题是解题的重点【难度】较难10（.1）如图 1，一个无盖的长方体盒子的棱
17、长分别为，AA5cm ，BC 3cm AB 4cm1盒子的内部极点 C1 处有一只昆虫甲，在盒子的内部极点 A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）假定昆虫甲在极点 C1 处静止不动，请计算 A 处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C1 处的最短行程，并画出其最短路径，简要说明画法（2）假如（ 1）问中的长方体的棱长分别为AB BC 6cm114cm ，如图，假， AA2设昆虫甲从盒内极点 C1 以 1 厘米 / 秒的速度在盒子的内部沿棱C1C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内极点 A 以 3 厘米 / 秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙起码需要多长时间才能捕获到昆虫甲？【答案】（1） A E C1
18、 就是最短路径 （ 2） 5 秒【分析】解：（1 ）如图二，将上表面睁开，使上表面与前表面在同一平面内，即 A、 A1、 D1 三点共线， AA1 A1D1 5 3 8 D1C1 4依据勾股定理得 AC1 80如图三，将右边面睁开，使右边面与下边在同一平面内，即 A、 B、 B1 三点共线AB BB1 4 5 9， B1C1 3依据勾股定理得 AC1 90如图四，将右边面睁开，使右边面与前表面在同一平面内，即A、 B、 C 三点共线 .ABBC437，CC1 5依据勾股定理得 AC17474 80 90最短行程是 74cm .在图四中， VABE VACC1BE ABCC1 AC BE4， B
19、E20577如图一，在 BB1 上取一点 E ，使 BE20，连结 AE ， EC1， AE C1 就是最短路径7（2）如图五，设 C1Fx ，则 AF3x ， CF 5 x在 RtVACF 中，依据勾股定理得AF 2AC 2CF 2即：2223x6 614 x解得： x1 5， x2172x0 x 5因此，昆虫起码需要 5 秒才能捉到昆虫甲 .评论： 在长方体中， 经过它的表面， 从一个极点到另一个与它相对的极点的最短距离是：在长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边即为最短路线长【难度】较难11如图， A 是高为 10cm 的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛
20、从面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（A 点出发，沿）30角绕圆柱侧A. 10cm B. 20cm C. 30cm D. 40cm【答案】 B【分析】试题剖析：将圆柱侧面睁开，连结AB , 依据三角函数求出AB 的长即可试题分析：解：依据题意得， BC10cm ，BAC 30 AB BC Sin30120cm102应选 B【难度】一般12如图，是一个长 4m，宽 3m，高 2m 的有盖库房，在其内壁的 A 处（长的四均分）有一只壁虎， B 处（宽的三均分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）A4.8 B 29 C 5 D 3 2 2【答案】 C【分析】有两种睁开方法：
21、长方体睁开成以下图，连结 A、B ，依据两点之间线段最短， AB 52 22 29；将长方体睁开成以下图，连结A、 B ，则 AB3242529；应选 C【难度】较易13（2015-2016 内蒙古包头）如图，长方体的长为 15 cm，宽为 10 cm，高为 20 cm，点 B距离 C 点 5 cm，一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是 cm【答案】 25【分析】试题剖析：要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将正方体睁开，而后利用两点之间线段最短解答 .试题分析：解：如图：（ 1） ABBD 2AD 215220225（2） AB AE2 BE
22、2 102 252 5 29 ；（3） AB AC2 BC2 302 52 5 37 因此需要爬行的最短距离是 25【难度】较难14已知：如图，一个玻璃材质的长方体，此中AB 8, BC 4, BF6，在极点 E 处有一块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面BCSF 的中心沿长方体表面爬行到点E 则此蚂蚁爬行的最短距离为【答案】 109【分析】试题剖析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需要将立体图形转变为平面图形，将E、 O（设面 BCSF 的中心为点 O）所在的两个面睁开，但睁开图并不是只有一种，而是两种，需要利用“两点之间，线段最短”，来一一求出线段EO 的长度，而后比较两种状况的结果，找出最短路径试题分析
23、：解：设面 BCSF 的中心为点 O，依据题意，最短路径有以下两种状况：1 如图 1，沿 SF 把长方体的侧面睁开，蚂蚁爬行的最短距离8624225252 如图 2，沿 BF 把长方体的侧面睁开，蚂蚁爬行的最短距离84222261095 5 109故此蚂蚁爬行的最短距离是 109【难度】较难15如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁 离容器底部0.3m 的点 B处有一蚊子，此时一只壁虎正幸亏容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对 的点 A 处，则壁虎捕获蚊子的最短距离为m（容器厚度忽视不计） .【答案】 1.3m【分析】试题剖析：将容器侧面睁开， 成立 A 对于 EF
24、 的对称点 A，依据两点之间线段最短可知 AB 的长度即为所求试题分析：解：要求壁虎捉蚊子的最短距离，其实是求在 EC 上找一点 P，使 PA+PB 最短，过点 A 作 EC 的对称点 A，连结 AB，则 AB 与 EF 的交点 P 就是所求的点 P由于两点之间，线段最短， AB的长即为壁虎捕获蚊子的最短距离底面周长为 1m AD0.5m，BD1.2mA BA D2BD 20.521.221.3m【难度】一般种类三 经过轴对称来转变16.一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的 A 点爬到桶内的 B 点处找寻食品， 已知点 A 到桶口的距离 AC 为 12cm,点 B 到桶口的距离 BD 为 8cm，CD 的长为 15cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？【答案】 25cm【分析】试题剖析：如图，作点 B 对于 CD是沿 AP、 PB即可试题分析：解：以以下图所示，作点的对称点 B，连结 AB， 交 CD 于点 P，连结 PB，则最短路线应当B 对于 CD 的对称点 B ，连结 AB ，交 CD 于点 P ，则蚂蚁的爬行路线A P B在 RtVAEB 中， AE由勾股定理知 AB 为最短，且 APCD 15， EB25PBEDAP PBDB = ACBD12 820因此，蚂蚁爬行的最短行程是25cm
