1、电磁波对金属屏蔽体的孔缝耦合研究电磁波对金属屏蔽体的孔缝耦合研究xxxx硕士生课程论文 高等电磁场理论电磁波对金属屏蔽体的孔缝耦合研究（ 20142015学年上学期） 姓 名： xxx 学号： xxx 所在单位： xxx 专 业： 检测技术与自动化装置 摘 要在当今日益复杂的电磁环境下，为了电磁兼容性的需要以及防护电子设备可能受到的微波毁伤，屏蔽技术广泛应用。电磁脉冲主要通过传导耦合、辐射耦合作用于屏蔽机箱。其耦合途径主要包括“前门耦合”与“后门耦合”。“前门耦合”是指电磁脉冲通过目标上的天线及传输线等耦合进系统内，以干扰或毁伤其前端电子设备；“后门耦合”是指电磁脉冲通过目标上的缝隙或孔洞耦合
2、进系统，干扰或毁伤电子设备中的微电子器件和集成电路。通过“前门”耦合的能量有可能被系统的保护器件阻隔，而不会对系统产生干扰或毁伤。而屏蔽机箱上各种功用的孔缝是必不可少的，电磁脉冲通过“后门”耦合进入屏蔽机箱，并对其内的电子元器件进行干扰或毁伤则是不可避免的，也是电磁脉冲进入屏蔽机箱的重要途径之一。本文研究了在电磁兼容设计中，电磁干扰的产生以及电磁屏蔽的基本原理，讨论了应用时域有限差分法对孔缝耦合电磁场数值的计算方法，并研究了金属屏蔽中孔缝微波耦合的特性。关键字：电磁兼容、孔缝耦合、屏蔽效能、时域差分法一 绪 论一.1 背景与意义随着用电设备的增加，空间电磁能量逐年增加，人类生存环境具有浓厚的电
3、磁环境内涵。在这种复杂的电磁环境中，如何减少相互间的电磁干扰，使各种设备正常运转，是一个亟待解决的问题；另外，恶略的电磁环境还会对人类及生态产生不良影响。电磁兼容正是为解决这类问题而迅速发展起来的学科。可以说电磁兼容是人类社会文明发展产生的无法避免的“副产品”。研究金属屏蔽腔体的孔缝微波耦合问题，一方面是由于电子设备要满足电磁兼容性的要求，一般都要加装金属外壳以防护外界可能的电磁干扰，另一方面由于电子战技术的发展，各种微波武器的研制开发，使得电子设备在战争环境下极易受到高能电磁波的攻击，而由于通风、散热、各种输入输出接口的需要，金属外壳上不可避免地要开有各种孔缝，因此研究微波对孔缝的耦合规律能
4、够在一定程度上对如何进行电磁防护起到指导作用，具有一定的研究价值。 而在军事装备方面，由于现代战争呈现出了许多与传统战争不同的特点。信息在战争中的作用被无线放大，由此得来的信息战以及电子战就在现代战争中被大量的使用，此外核武器和各种电子炸弹在战争中的使用，使电磁环境更加复杂，使电子设备受到更加严重的威胁。核爆炸在空间产生的瞬变电磁场就是核电磁脉冲。核电磁脉冲比雷电的电磁场强度要大几百倍。频率宽，几乎包括所有长短波，危害范围广，覆盖半径可达数百到上千公里，对无线通信等有着巨大的威胁。电磁干扰以及电磁攻击对设备产生影响主要有两种耦合方式：“前门耦合”，是指能量通过目标上的天线、传输线等媒质线性耦合
5、到其接受和发射系统内，以破坏其前端电子设备；“后门耦合”，是指通过目标上的缝隙或孔洞耦合进入系统，干扰其电子设备，使其不能正常工作或烧毁电子设备中的微电子器件和电路。对于电子设备而言，电磁脉冲对半导体器件的伤害非常大，因此我们需要采取必要的措施来减小甚至消除电磁脉冲对电子信息设备的干扰。二 金属屏蔽腔体对电磁干扰的屏蔽理论电磁干扰是能够对电子设备造成损害的电磁效应，轻微的电磁干扰可以使设备或系统运行时出现错误或故障，而严重时则能使设备内部的器件毁伤，使系统失效。电磁干扰按照产生的来源，可以分为两类，一类是来自自然界的干扰，比如太空中的各种宇宙射线、太阳黑子活动产生的电磁噪声、大气中的雷电脉冲等
6、，另一类是人为制造的干扰，如工业、科学、医疗设备运行过程中产生的射线、信息通讯设备发射的无线电等，这些电磁干扰，有些是自然现象或是设备运行中无意中向外发射出去的，而有些则是蓄意发射的。屏蔽腔体作为保护和隔离电磁干扰的设备，为适应通风、散热的需要，往往需要在屏蔽腔体上开孔，使腔体的完整性受到破坏。因此，在设计阶段对含孔屏蔽腔体的屏蔽能力进行研究十分必要，具有实际的工程应用前景。二.1 电磁骚扰的传播机理骚扰源和敏感设备布置在一起时，就存在从一方到另一方的潜在干扰路径。设备要满足性能指标，减少骚扰耦合往往是消除干扰危害的重要手段，因此弄清楚骚扰耦合到敏感设备（受害者）上的机理十分必要。本节主要讨论
7、骚扰源对敏感设备的传播机理，即耦合机理。二.1.1 电磁骚扰耦合途径分类电磁兼容问题实际上是电磁装置或系统与其他或远方系统间的无意的相互作用。这种互相影响可以用“耦合”来描述，即一个系统对另一系统的“耦合”，从而实线能量从骚扰源传递到敏感设备。骚扰源通过各种耦合途径作用在敏感设备上。能量从骚扰源传递到干扰对象有两种方式：传导方式和辐射方式。从设备接受干扰的角度来看，电磁骚扰的传播途径可以简单地分为传导耦合和辐射耦合两类。传导耦合是指骚扰源的电磁能量一电压或电流的形式通过金属导线、电阻、电容及电感而耦合至敏感设备。传导耦合对敏感设备影响的机理视骚扰电流通过的阻抗特性而分为电感性耦合和阻抗性耦合。
8、与骚扰源有直接电气接触的耦合为共阻抗耦合。当频率很低，或此阻抗为纯电阻性时，可称之为电阻性耦合。传导耦合又可进一步分为电导性耦合、电感性耦合、电容性耦合。电导性耦合为骚扰的直接传到，容性和感性耦合主要指近场耦合。控制电路和电缆离骚扰源的距离，小于最高干扰频率的0.167倍波长（/2）时可以认为是近场。辐射耦合主要指位于骚扰源的远场电路，骚扰源的发射可以看成是电磁波传播。因此，骚扰耦合进入电路，或从电路传导出去，可以进一步分为电导性耦合（直接接触产生）、容性耦合（由电场耦合产生）、感性耦合（由磁场产生）、辐射耦合（由电磁场耦合产生）四种方式。实际上，以上耦合模式都不是单独出现的。但一般来说，至少
9、是在低频和中频区域内，其中的某一种模式起支配作用。二.1.2 传导耦合传导耦合按照耦合方式的不同可以分为电路性耦合、电容性耦合、电感性耦合三种基本方式，在电磁干扰实际传导过程中，这三种耦合方式可能以某种联系同时存在。 1）电路性传导耦合的模型 在传导耦合的三种方式中，电路性耦合出现得比较多，分析起来也不复杂。如图2-1显示了电路性耦合的一般形式。 图中 Z1、U1、及Z12组成电路1，Z2、Z12组成电路2，Z12为电路1与电路2的公共阻抗。电压U1作用于电路1时，产生的电流I1流经公共阻抗Z12，从而耦合到电路2中去，电路2中无负载，因此电路2对外显示出U2的电压，由戴维南定理，可以计算得到
10、 （2-1）如果公共阻抗Z12中只含电阻性元件，没有感抗和容抗成分，那么这种电路耦合方式，可以称为电阻性耦合。图2-1 电路性耦合的一般形式一个电路中的电流电压变化通过公共阻抗能够影响到另一个电路的电流电压，这种情况就叫做共阻抗耦合。图2-2为公共阻抗接地时的耦合。图中地线电流1和地线电流2流经地线阻抗，电路1的地电位被电路2流经公共地线阻抗的骚扰电流所调制。因此，一些骚扰信号将由电路2经公共地线阻抗耦合到电路1。图2-2 公共地线阻抗的电路性耦合2）电容性传导耦合的模型电容性耦合（the capacitive coupling）是通过电场将电磁干扰传导到敏感电路中去的，因此也被称作电耦合，它
11、图2.4（a）表示两个电路在相邻导线间存在分布电容时的耦合，2.4（b）是其等效电路。电路1中U1的变化，能够通过导线间的分布电容C耦合到电路2中去，从而对电路2进行骚扰，由图2.4（b）的等效电路，可以计算得到U1在电路2中产生的耦合电压为 （2-2）式中， （2-3）一般情况下电容C都比较小，此时有，式（2-2）可简化为 （2-4）式（2-4）表明了影响电容性耦合强弱的几个重要因素：干扰信号的波动频率、干扰源强弱、电路间耦合电容以及敏感电路的对地阻抗，其中干扰信号频率在射频段时，就能够产生明显的电容性耦合，并且随频率增大，耦合也会逐渐变强。（a）耦合模型 （b）等效电路图2-4 电容性耦合
12、模型3）电感性模型电感性耦合（inductive coupling）是通过磁场将电磁干扰传导到敏感电路中去的，因此也被称作磁耦合。当电流I在闭合电路中流动时，该电流就会产生与其大小成正比的磁通量，它们的关系是 （2-5）当一个原电路产生的磁通量进入另一个电路后，就会影响另一个电路的电流，互感便是用来表征这种影响的参量。因此在现实电路中，两个相互临近的电路由于其各自具有各自的不同工作特点，因此会对另一电路的工作产生影响，同时也会受到相邻电路由于电感耦合而产生的影响。二.1.3 辐射耦合通过辐射电磁波的形式将骚扰传播出去影响敏感设备的方式称为辐射耦合。辐射耦合由于电磁场的传播特性可以将骚扰能量传输
13、到非常远的距离，如太空射线在星际间的传输，也可以通过其衍射特性绕开阻碍传播给极小距离内的系统其他元件。4）辐射电磁场的特性由于电场和磁场的交互作用，干扰能以辐射的形式通过空间途径对能量进行传输。距离干扰源较近的区域，将表现出电磁感应或者静电感应，电磁能量被禁锢在辐射源附近，称为感应场；而距离干扰源较远的区域，电磁能量以电场和磁场交变的形式传播出去，称为辐射场。通常情况下，根据电磁能量表现的性质不同，辐射场可以分为近区场（感应场）和远区场（辐射场）。远区场和近区场的划分相对来说是比较复杂的，工作环境不同、测量目的不同，划分也不尽相同，通常的划分依据是两类基本辐射源电基本振子、磁基本振子的场源特性
14、。 电基本振子的电磁场分布为： 式（2-5）磁基本阵子的电磁场分布为 式（2-6） 式（2-7）由式（2-5）式（2-7）可以看出，随着离开辐射源的距离越大，电磁场强度数值越小，然而在不同的距离上，这种减弱程度并不相同，与r的幂次有关。当 kr1时，低幂次项对电磁场强度的影响比重较大，此时辐射场位于远区；当kr1时，高幂次项对电磁场强度的影响比重较大，此时辐射场位于近区；当 kr1时，辐射场的性质位于远区与近区中间，称为中间区。图2-5 不同场源的空气波阻抗在近场区和远场区，空气波阻抗与能量密度是有很大差异的，在近区场中，电偶极子与磁偶极子的空气波阻抗有着很大的差异，而能量分量中电场与磁场的比
15、重也随着场源类型的不同而发生较大的变化，因此可以将电偶极子称为高阻抗电场源，而将磁偶极子称为低阻抗磁场源，在近场区必须考虑场源类型，并将电场与磁场分开考虑；而在远区场中，电场与磁场能量相同，空气波阻抗一致，将结合起来形成平面电磁波。5）辐射电磁场的耦合远区场辐射而来的电磁能量进入电路系统内部通常有四种途径：天线耦合、导线感应耦合、闭合回路耦合和孔缝耦合。 天线是专门用于接收电磁波的装置，因此辐射电磁波能够轻易地通过天线进入电路系统内部，如果没有适当的滤波检测功能，将有可能使系统产生错误或损伤；然而这并不是系统能够对辐射电磁波进行耦合的唯一途径，许多暴露在屏蔽体外的金属导线都具有天线效应，也可以
16、感应到电磁干扰，无意中将干扰能量引入电子系统内部，比如用于传输控制信号的控制总线、用于传输数据的输入输出引线等；当骚扰源频率较低，使辐射电磁波波长的1/4超过闭合回路的最大感应长度时，辐射电磁波就能够与该回路发生电磁耦合；与前面可以归结为“前门耦合”的方式不同，辐射电磁波通过设备外壳上的散热孔、输入输出接口、电源插口、连接缝隙等孔缝可以耦合进入腔体内部，如发生共振将出现电场增强效应，对其内部的电路系统造成很大的威胁。二.2 屏蔽效能屏蔽是通过由金属制成的壳、盒、板等形式，将电磁波局限于某一区域内的一种方法。在电子设备及系统中，电磁干扰(Electromagnetic Interference)
17、能量的耦合途径有传导性耦合和辐射性耦合。为满足电磁兼容性要求，对传导性耦合需采用滤波技术，即采用 EMI 滤波器件加以抑制；对辐射性耦合则需采用屏蔽技术加以抑制。为了描述、定量分析和表示屏蔽体的屏蔽效果，通常采用屏蔽效能（shielding effectiveness）表示屏蔽体对电磁干扰的屏蔽能力和效果。一般而言，屏蔽效能与屏蔽材料的选择、干扰源的频率、干扰源到屏蔽体的距离以及屏蔽体上存在的各种孔缝的形状、数量和排布方式有关。频域屏蔽效能为电磁场中某一点处，无屏蔽材料与有屏蔽材料时所接收到的电场强度或磁场强度之比分别记为EfE、EfH。峰值比值的电磁脉冲的时域屏蔽效能定义为无屏蔽材料与有屏蔽
18、材料时时域电场或磁场最大值的比值，分别记为EtE、EtM。能量比值的电磁脉冲的时域屏蔽效能定义为无屏蔽材料与有屏蔽材料时传输能量的比值记为EtE。电场屏蔽效能指未加屏蔽时某一观测点的场强（E0）与加屏蔽后同一观测点的场强（Es）之比，即为 （2-1）磁场屏蔽效能类似，为屏蔽体加上前后的磁场场强之比，即 （2-2）由于屏蔽效能的取值范围很宽，一般在工程运用中以分贝数（dB）表示，那么电、磁场的屏蔽效能可以表示为 （2-3） （2-4）屏蔽效能（SE）也可用功率或电压来定义，表示为在同一激励下，无屏蔽材料或结构与有屏蔽材料或结构在同一位置的功率或电压之比，即 （2-5） （2-6）式子中P0，V0
19、表示没有屏蔽材料或结构时的接收功率和电压，Ps，Vs表示有屏蔽材料或结构时的接收功率和电压。 在一般情况下，屏蔽不仅使场强减弱，而且不同程度上会使空间防护区中的有源场畸变；在近场区，电场和磁场的近场波阻抗不相等，但是对于远场，电场与磁场是统一的整体，电磁场的波阻抗是一个常数，因此用上面的方法确定场的电分量和磁分量屏蔽效能的结果是不一样的，并且与测点的坐标有关。三 应用时域有限差分法的电磁场数值计算求解电磁场的问题，离不开麦克斯韦方程组，然而对于复杂几何体的边界条件，想要求得解析解几乎是不可能的。近 30 年来，计算电磁学开始蓬勃发展，它是将数学提供的各种数值计算手段应用于电磁场理论之中，将大量
20、的运算交由高性能的计算机完成，从而解决复杂的实际工程问题。在计算电磁学中，采用何种理论和方法对电磁场问题进行数值分析是一项重要的研究内容，而对电磁场场域的离散化，是进行数值分析和计算的基础。根据离散化的形式，可以将已经发展起来的各种电磁场数值计算方法分为场域元法、边界元法和等效源法，激励源处于计算区域边界上时，边界元法可以被视为一种等效源法，若从数学模型中控制方程的形式上分类，则可以将这些方法分为微分方法和积分方法。三.1 时域有限差分法在电气工程电磁场分析中，最早应用的是有限差分法。有限差分法属于场域元法，这一方法的基本原理可以用“以差商近似代替微商”来概括。其基本流程是，首先对求解区域进行
21、网格划分，对于二维情况，使用矩形网格，对于三维情况则使用立方形网格，网格间距可以相等也可以不相等，然后在网格的节点上建立差分方程，近似代替电磁场微分方程，最后对这些差分方程形成的离散方程组进行求解。经典的有限差分法由于网格划分过于规则，在几何形状比较复杂的求解区域模拟得不好，会导致求解精度不够高，而引入高阶泰勒级数又比较困难，因此在对电磁场问题的分析时更多地会考虑有限元方法。电磁波孔缝耦合问题的研究己经有很长的历史，解析方法的研究都限制孔为方或圆的形状，而且开在无限大且无限薄的导电壁上。对于任意形状的孔或缝，开在有限尺度的物体表面且与内腔相通，腔内甚至有介质等这样的复杂情况，解析方法是无能为力
22、的，传统的数值方法也常常失效。由于时域有限差分法(FDTD)模拟复杂电磁结构的能力，在解决复杂目标的电磁透入问题方面具有一定的优越性。三.2 时域有限差分法的电磁学基础在线性介质中麦克斯韦方程可以表达为式（3-1）的微分形式： （3-1）式(3-1)中，。其中，分别为电场强度（V/m），电通量密度（C/m2），磁场强度（A/m），磁通量密度（Wb/m2），电流密度（A/m2），空间电荷密度（C/m）。式（3-1）的前两式分另日取散度，并利用得： （3-2）将电荷连续方程： （3-3）代入式（3-2）可得： （3-4）如果设定初始时刻的电磁场分量和电荷为零，式(3.3.2.5)和式(3.3.2.
23、6)将退化为式（3-1）的后面两式，因此用麦克斯韦的两个旋度方程就足以描述上述假定情况下的电磁场变化过程，而且这种假定在电磁场问题中很容易满足，所以麦克斯韦方程组(3-1)的前两个旋度方程就构成了电磁场问题的FDTD方法的物理基础。由于两旋度方程是不完备的，我们引入各向同性线性介质中的本构关系： （3-5） （3-6）其中和分别表示为介质介电系数(F/m)和磁导系数(H/m)，可以将旋度方程化为： （3-7） （3-8）介质中考虑电磁损耗，引进。引进和m表示介质的电导率(S/m)和等效磁导率(/m)，它们分别为介质的电损耗和磁损耗，真空中=0， m=0。而且有，。麦克斯韦旋度方程在直角坐标展开
24、： （3-9） （3-10） （3-11） （3-12） （3-13） （3-14）三.3 时域有限差分法的Yee氏网格电磁场最基本的规律是麦克斯韦方程组，对时变场而言，依赖于时间变量的两个旋度方程。K.S.Yee正是由此出发于1966年创立了用于电磁场计算的时域有限差分方法。而且，Yee提出了一个合理的网格体系，解决了如何在含有时间变量的四维空间内合理地离散六个未知场量的关键问题，并由此建立了高精度的差分格式。直角坐标系中的一个Yee氏网格单元如图3-1所示。图3-1 直角坐标系中的一个Yee氏单元网格及场的关系在FDTD离散中电场和磁场各节点的空间排布如上图所示，这就是著名的Yee元胞。整
25、个计算空间就被划分为若干个Yee元胞。因此，如图所示的Yee氏网格有如下特点：1) 电场和磁场分量在空间交叉放置，相互垂直。2) 每个坐标平面上的电场分量的四周由磁场分量环绕，磁场分量地四周由电场分量环绕。3) 每个场分量，自身相距一个空间步长，电场和磁场则相距半个空间步长。4) 电场取n时刻的值，磁场取n+l/2时刻的值。5) 电场的n+1时刻值由n时刻值得到，磁场的n+l/2时刻的值由n-1/2时刻值得到，电场的n+1时刻的旋度取n时刻电场值，磁场的n+1/2时刻旋度取n-1/2时刻磁场的值。对应于电场旋度产生磁场、磁场旋度产生电场定律。电场n时刻旋度产生的应该是下一时间步的磁场，也就是n
26、+1时刻电场所对应的磁场，即(n+l)+1/2时刻的磁场。6) 由于时间为中心差商，Yee单元网格内的空间亦为中心差商。在Yee单元网格内，电场和磁场的空间位置差半个空间步，三个空间坐标方向上时间必须相等。7) Yee单元网格内的媒质只取一种。单元递推时，如果需要用到相关单元的媒质时，要取单元网格自身的和最邻近单元的媒质参数值。8) 因为Yee单元本身就是一组数值化及几何化了的麦克斯韦方程，所以Yee单元网格在数值建模和计算中不可拆卸。在FDTD中，Yee氏网格解决了如何在含有时间变量的四维空间内合理地离散六个未知场量的关键问题，可见Yee氏网格是很重要的，而Yee氏网格单元空间尺寸的选择对计
27、算准确性是至关重要的。以下是Yee氏网格单元尺寸选择的依据：1) 通常选每波长10个单元，即单元尺寸为/10，或更小。2) 原则上，只要满足一个波长中有4个空间单元就可得到合理的结果。3) 为了使误差控制在可以接受的水平上就需要更小的单元尺寸。4) 在决定单元尺寸时，还要考虑模型的几何尺寸和电尺寸。正是由于电磁场分量在空间网格中的这种配置，使得用时域有限差分法在计算机的存储空间中可以模拟电磁波的传播及其与散射体的相互作用过程。三.4 时域有限差分法的数值稳定条件FDTD是一种微分算法，是显式格式，所以时间步长和控件步长应该遵守一定的规则，否则会发生稳定性条件。此时，发生的不稳定条件不是误差积累
28、产生的，而是由于人为地规定时间与空间步长违反或破坏了电磁波传播的因果关系造成的。FDTD中的数值稳定条件称为courant稳定条件。courant稳定条件给出了时间步长和空间步长的关系。在二维情形中的courant稳定条件为： （3-15）在三维情形中的courant稳定条件为： （3-16）式（3-15）及（3-16）中的x， y， z为网格的三维尺寸， t为时间步长。当取均匀网格尺寸为s时，二维、三维等的数值稳定条件变成为：二维：三维： (3-17)一维： n维： （3-18）courant稳定条件的物理意义为：稳定条件要求时间步长不得大于电磁波传播一个空间步长所需的时间，否则就会破坏因果
29、关系。当媒质不均匀时，不同媒质区的电磁波速度不同，稳定条件也不同，可以取最严格的一个，即选电磁波速度最大的一个，其余区间的courant稳定条件将自然满足。XFDTD软件的稳定条件应满足： （3-19）四 孔腔耦合分析屏蔽腔体的完整性是金属屏蔽体能够有效地进行电磁屏蔽的保证，一但屏蔽体的完整性被其上的孔缝破坏，其屏蔽能力将大打折扣，在腔体谐振频率处，外界电磁波能够很容易地通过孔缝耦合进入屏蔽腔体内部并得到增强，对腔体内部的电子设备具有很大的危害。然而屏蔽腔体上开有孔缝是不可避免的，因为电子设备总是要和外界有所交流：接收外界的信息或向外发射信息；也可能是通过USB 等数据线与外界传输信息；通过电
30、缆线来接入外界电源；有些设备更是需要通过显示器窗口、输入控制按键等向外显示结果，这些结构都使得屏蔽体上出现孔缝；而良好的通风散热几乎是所有设备运行都需要的条件，通风散热又往往通过通风散热孔来实现。由此可见这些孔缝的存在难以避免。因此在设计阶段就必需考虑这些孔缝可能造成的金属腔体屏蔽效能的下降，这对于降低电子设备可能受到的电磁干扰与毁伤是十分有意义的。四.1 小孔的偶极子等效模型早在1944年，Bethe首次证明了小孔的作用类似于电、磁偶极子。现考虑无限大导电平面上的小孔，如图4-1所示，将孔用导电平面封闭，为了保证两区域中场不变，根据等效原理，在区域a和b一侧上分别引入等效面磁流M和-M，并且
31、 （4-1）E为孔面上的电场强度。这样就保证了孔面上切向电场连续条件。图4-l 小孔等效模型假设外加源只存在于区域a中，如果两个区域都存在源，则只需做很小的改动。根据孔面上的切向磁场连续条件 （4-2）M在半无限大空间中产生的场为（4-3） （4-4）其中r，r分别表示场点和源点，、为孔面积。因此式(4-2)变为 (4-5) (4-6) 解此方程即可确定等效磁流M。四.2 小孔处理将等效磁流M的场分为近区场Ene，Hne和远区场Efa，Hfa，即 (4-7) (4-8)其中 (4-9) (4-10) (4-11) (4-12)将式(4-8)、(4-10)代入(4-2)可得 (4-13)当源J，M足够远，在小孔上可近似为常量， Efa，Hfa在小孔上相对于Ene，Hne为高阶小量，也可近似为常量。解(4-12)可得M。根据场论中的亥姆霍茨定理，矢量M可以分解为一个无散量
