1、新概念新题型新试题新信息新概念、新题型、新试题、新信息2009年高考数学能力备考新概念、新题型、新试题、新信息原创试题精编云南省昭通市鲁甸一中，马兴奎（657100）新课标的考试大纲中，对能力要求有新的提法，对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活应用所学知识、思想和方法，进行独立的思考、探究和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。人教大纲版高考数学考试大纲也对试题的命制明确指出：试题注意立意鲜明、背景新颖，设问灵活，层次清晰，新题不难，难题不怪，在试卷中创设比较新颖的问题和情境，注重问题的多样化。综观近几年高考试题在能力立意的基础上大胆地进行了改革创新，出现了
2、一些内容立意新、情境设置新，设问方式新、题型结构新和构思精巧的创新题。这类题目突出考查学生的探究能力，创新意识，充分体现了高考支持课改并服务于课改的指导思想，所以备受命题专家的青眯，因此，加强对情境创新题的题型研究和学习就显得十分必要，本文参考近几年全国各地高考试题为题源进行创新改编，以期对读者的2009年高考数学能力备考有所帮助。【例1】给定集合A、B，定义，若，则集合A*B中所有元素之和为A6 B8 C10 D18【分析及解】由已知,集合A*B中所有元素之和为10,故选C【点评】本题通过定义新运算，考生只需依据新的运算方式，结合课内知识集合中元素的互异性即可解决，是考生熟悉的，属于旧题穿新
3、衣。【例2】已知集合，则能建立多少个定义域为，值域为的函数A81 B72 C36 D18【分析及解】为定义域,为值域,则中每个元素必有原象,只需使中的某2个元素对应中的一个元素,且另两个元素各对应另外两个不同元素即可,这是从的满射,共有个这样的函数. 故选C【点评】本题主要以映射、函数的概念为载体，考查利用排列、组合知识来解决问题的能力，题目 新在命题的背景上，这是近几年高考命制题目一个新亮点，把旧知识，老方法放新问题中考查考生的数学能力。属于旧题新考。【例3】若且f (1)2,则.等于A2006 B2007 C2008 D2009【分析及解】令，则，即,所以，原式=，故选C【例7】已知函数f
4、(x)=x55x4+10x310x2+5x1，则f(x)的反函数为A BC D【分析及解】由已知，由，得，所以，,故选C【例8】函数是A偶函数 B奇函数 C偶函数且奇函数 D非偶函数非奇函数【分析及解】由已知定义域为：，所以，易知所以函数为奇函数，故选B【例9】如果等于A2 B C1 D3【分析及解】因为，故选A【例10】2008年9月25日晚21：10分在酒泉卫星发射中心用长征二号F型运载火箭将神舟七号发射成功。已知火箭的起飞重量是箭体（包括搭载的飞行器）的重量和燃料重量之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度关于的函数关系为（其中）。当燃料重量为吨（为自然对数的底数，）时，该火箭
5、的最大速度为（1）求火箭的最大速度为与燃料重量之间的函数关系式（2）已知该火箭的起飞重量是544吨，那么，应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大速度达到，以便顺利地把飞船发送到预定的轨道？【分析及解】（1）依题意把，代入函数关系式，解之得所求的函数关系式为，整理得：（2）设应装载吨燃料方能达到预定速度，则，代入函数关系式，得，解之得（），故应装载吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道。三:数列【例11】图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含l个、5个、l3个、25个第十九届北京奥运会吉祥物福娃迎迎，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个福娃迎迎，则.【分析及解】由图易知,即,【例12】神七飞天
6、，举国欢庆，据计算，运载飞船的为火箭，在点火1分钟通过的路程为2km，以后每分钟通过的路程增加2km，在到达离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是A10分钟 B13分钟 C15分钟 D20分钟【分析及解】由已知点火后飞船通过的路程构成以2为首项,公差为2的等差数列,将此问题转化为已知,求的值问题,即,整理得,解之得或(舍去),故本题选C【例13】若两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知=（ ）A7 B C D解法1：（赋值法） 又 即又即由解之得：， ，本题选解法2：（基本量元素运算法）等差数列an，bn的公差分别为和，则则有 又由于观察， 可在中
7、取 得即 本题选解法3：（等差中项法） 本题选解法4：（前和公式特征法）等差数列前项和 即根据已知，可设，本题选【例14】由正数组成的等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且A B C D解：可设，本题选【例15】由正数组成的等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且=A B C D思路1：由解法3知： 取，则有思路1：设则 ，【例16】若等差数列的前n项和为的值等于 A1 B C D解：即=本题选 B四:三角函数【例17】已知函数上的最小值为2，则的取值范围是（ ）A BC D【分析及解】 当时， ，由已知结合图像得 当时， ，由已知结合图像得 综上知： 故选D。【例18】设上
8、是增函数，那么（）A B C D【分析及解】由 得（由已知必然在上述的区间的子区间， 即解之得：，故选A。五:平面向量【例19】已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过ABC的 （ ）A重心 B垂心 C外心 D内心【分析及解】由已知两边同向量取数量积得=0故动点P的轨迹一定通过ABC的垂心。选B【例20】已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过ABC的 （ ）A重心 B垂心 C外心 D内心【分析及解】设的边上的高为，边上的中点为，则由已知即 向量与向量共线。故动点P的轨迹一定通过ABC的
9、重心。选A【例21】已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过ABC的 （ ）A重心 B垂心 C外心 D内心【分析及解】设的边上中点为，其中分别是向量和的单位向量。向量与向量共线。故动点P的轨迹一定通过ABC的内心，选D【例22】已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过ABC的A重心 B垂心 C外心 D内心【分析及解】设的中点为则由已知得两边同向量 取数量积得=0故动点P的轨迹一定通过ABC的外心。选C【例23】如图所示，我国发射的神舟七号载人飞船在地球上空处沿着圆形的轨道飞行，每2小时沿
10、轨道绕地球飞行一周，假设飞船于中午12点整通过飞船跟踪站点的正上空，地球的半径约为。（1）若跟踪站的天线瞄准的方向与水平线的夹角成，那么什么时候飞船能收到跟踪站天线发出的指令信号？（2）若要求飞船恰在中午12点整收到跟踪站发出的指令信号，求跟踪站与点的最远距离，（跟踪站的天线瞄准方向可以自由调节，参考数据：，结果精确到）。【分析及解】（1）如图，设飞船在点与跟踪站天线所发出的无线电指令信号相遇，在中，设，由正弦定理，得，即，求得，因此飞船绕转过角所用时间为（分钟）。飞船收到指令信号的时间为。即飞船在收到指令信号。（2）设飞船在点正上空的点为，跟踪站与的最远点为，由平面几何知识可知，应为圆周的切
11、线，即，在中，弧长为（）即跟踪站与点的最大球面距离为。六:不等式【例24】对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若，则的上确界为()3 () () ()【分析及解】由题意知相当于求的最大值,又,故选()【例25】对于函数，在使成立的所有常数M中，我们把M的最小值称为函数 的上确界，则函数上的上确界为 （ C ）A B C2 D4【分析及解】由题意知相当于的最大值,又,故选C七:直线与圆的方程【例26】已知,经过原点以为方向向量的直线与经过定点,以为方向向量的直线相交于,其中,当变动时,试问是否存在一个定点,使得为定值?若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由.【分析及解】由题意知:
12、,设,则,消去得即,故存在一个定点,使得为定值,所以存在【例27】直线和直线的交点为,则过两点,的直线方程为_.【分析及解】为两直线的交点, ,由此可知,点,都在直线上,又与是两条不同的直线, 与,与不可能全相同,因此,为不同的两点, 过两点,的直线方程为.八:圆锥曲线【例28】我国2008年9月25日发射的神七载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面为千米，远地点距地面为千米，地球半径为千米，则飞船运行轨道的短轴长为A B C D【分析及解】由已知，解之得，计算得：， 故长轴长为，本题选A【例29】图中共顶点的椭圆、与双曲线、的离心率分别为，其大小关系为（C ）ABCD
13、【分析及解】椭圆离心率的变化反映了椭圆的扁平程度, 又由椭圆较椭圆更扁平，可知椭圆的离心率大于椭圆的离心率，即,又双曲线的离心率是描述双曲线开口大小的一个重要数据,由可推出越大, 双曲线的开口就越开阔.,故,选C【例30】设神舟七号飞天前，空间科学与科技实验小组在计算机上模拟神七变轨返回试验，设计方案如图所示，航天器运行（按顺时针方向）的轨迹为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的实线部分，降落点为，观察点、同时跟踪航天器。（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天
14、器发出变轨指令？【分析及解】（1）设曲线方程为，由在曲线上：，即 ， 所求曲线方程为（2）设变轨点为，根据题意可知消去得：，解之得：或（不合题意，舍去）将代入得或（不合题意，舍去），点的坐标为，故当观测点、测得、距离分别为、时，应向航天器发出变轨指令【例31】已知抛物线，过定点的直线交抛物线于A、B两点.（）分别过A、B作抛物线的两条切线，A、B为切点，求证：这两条切线的交点在定直线上.（）当时，在抛物线上存在不同的两点P、Q关于直线对称，弦长|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示），若不存在，请说明理由.【分析及解】()由，得，设过点A的切线方程为：，即同理求得过点B的切线方程
15、为：直线PA、PB过，,点在直线上，直线AB过定点，即两条切线PA、PB的交点在定直线上.（） 设，设直线的方程为：，则直线的方程为：，设弦PQ的中点，则弦PQ的中点在直线上，即代入中，得由已知，当时， 弦长|PQ|中不存在最大值.当时，这时，此时，弦长|PQ|中存在最大值，即当时，弦长|PQ|中的最大值为【例32】如图，为半圆，为半圆直径，为半圆圆心，且，为线段的中点，已知，曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（）过点的直线和曲线相交于不同的两点、，且在、之间，设 ，求的取值范围解法1：（）以为原点，、所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，曲
16、线是以、为焦点的椭圆，故曲线的方程为：（）由已知，则，即，当直线与轴重合时，易得 ，当直线与轴不重合时，设直线的方程为。由消去并整理得：。由判别式 可得：设，则， 在、之间，故或 由条件，代入（ /得： 由，得4解之得：且 又，所以综上所述， 解法2： （）同解法一（）由已知得，设M(x1，y1)，N（x2，y2），由，即M、N在椭圆上消去得：利用平方差公式整理得：. 又 综合可得的取值范围是，1） 【例33】设点F（0，），动圆P经过点F且和直线y相切记动圆的圆心P的轨迹为曲线W（）求圆心P的轨迹W的方程;（）过点F作直线l交曲线W于A，B两点，过A，B两点分别作曲线W的切线l1，l2，求证
17、：直线l1，l2的交点Q永远在一条定直线上【分析及解】（）过点作垂直直线于点依题意得.所以动点的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线.即曲线的方程是（）依题意，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，将代入 化简得.设 则设Q的坐标为（x,y）,对求导得过A点的切线方程为 （1）同理，过B点的切线方程为 （2）（1）-（2）得（1）+（2）得所以Q的轨迹方程为（k为参数）即Q的永远在一条定直线上.九:立体几何【例34】正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为（A） （B）（C）（D）【分析及解】如图,设球的半径为为正方形中心,在直角三角形中有在直角三角形中有
18、:两式联立解得,故球的表面积为,故选（B）【例35】如图1，平面中ABC的角C的内角平分线CE分ABC面积所成的比 ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD（如图2）中，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E，则类比的结论是 【分析及解】利用类比的思想可得结论:十:排列,组合,二项式定理【例36】体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有 （ ）A8种 B10种 C12种 D16种【分析及解】先在2号盒子里放1个小球，在3号盒子里放2个小球，余下的6个小球排成一排为：，只需在6个小球的5个空位之间插入2块挡板，如：
19、，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为种. 故选B【例37】将13个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，每个盒中放入的小球数不少于盒子的编号数，则不同的放法共有种.（用数字作答）【分析及解】先在2号盒子里放1个小球，在3号盒子里放2个小球，在4号盒子里放3个小球，余下的7个小球排成一排为：，只需在7个小球的6个空位之间插入3块木板，如：，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为种. 故应填20【例38】用数字可以组成没有重复数字，并且不大于4310的四位偶数共有A110种 B109种 C108种 D107种【分析及解】（1）查首位：只考虑首位比小的数，可分3种情况， 型，
20、因为偶数要求个位可排，有种； 型，此种情况个位只能排且千位上不能排，有种； 型，此种情况个位可排，所以有种。（2）查前位：只考虑前位中比小的数，可分3种情况， 型，此种情况个位只能排，有种； 型，此种情况个位只能排，有种； 型，此种情况个位只能排，有种。（3）查前位：只考虑前3位中比小的数，只有型，此种情况个位只能排，故只有一种，在结合题目条件不大于4310，其自身4310也满足。故共有：，故选A【例39】将5个数分别写在卡片上,然后不放回地抽取出来,依据抽取的顺序,这5张卡片上的数字依次作为减函数的系数,二次函数的首项系数,椭圆的离心率,双曲线的离心率,抛物线的离心率,其中恰好有两个数字对应
21、正确的抽取方法有_种.【分析及解】5个数中有2个对应正确,可能性有种,另三个对应不正确,有2种对应方法,由分步计数原理知,共有种.【例40】地面上有四个科研机构在接收嫦娥卫星发回的某类信息,它们两两之间可以互相接发信息,由于功率限制,卫星只能随机地向其中一个科研机构发送信息,每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息,某日四个机构之间发送了三次信息后,都获得了卫星发回的同一条信息,那么是接收到该信息后互相联系的方式共有（A） 16种 （B）17种（C） 34种（D） 48种【分析及解】本题分类求解.第一类:直接发送给三处,有种.第二类:直接发送给中的两处,再由其中一处通知第四处,
22、有种.第三类:直接发送给中的一处,再由该处通知另两处,有种.共有种不同的方式.故选（A）【例41】的各项系数之和大于,小于,则展开式中系数最大的项是（A） （B）（C）（D） 或【分析及解】在展开式中的项的系数即是该项的二项式系数,即,故,系数最大的项为,故选（A）十一:概率【例42】抛一枚均匀硬币,正,反面出现的概率都是,反复投掷,数列定义如下:,若,则事件的概率为（A）（B）（C）（D）【分析及解】,则4次投掷中至少有3次出现正面,故所求概率,故选（C）【例43】抛掷一枚骰子,当它每次落地时,向上的点数称为该次抛掷的点数,可随机出现1到6点中的任一个结果,连续抛掷三次,将第一次,第二次,第
23、三次抛掷的点数分别记为,求长度为的三条线段能构成等腰三角形的概率.【分析及解】连续抛掷三次, 点数分别为的基本事件总数为长度为的三条线段能构成等腰三角形有下列两种情形当时, 能构成等边三角形,有共6种可能.当恰有两个相等时,设三边长为,其中,且;若,则只能是或,共有2种可能; 若,则只以是,共有4种可能;若,则只以是集合中除外的任一个数,共有种可能;当恰有两个相等时,符合要求的共有故所求概率为【例44】一只蚂蚁在边长分别为的三角形的边上爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是_【分析及解】如图，当某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均不小于1时,蚂蚁只能在线段,上,所以
24、所求概率为十二:概率与统计【例45】一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数,其中的各位数字中,出现的概率为,出现的概率为,例如:,其中,记,当启动一次仪器时,(1)求的概率 (2) 求的概率分布列【分析及解】(1)由题意得:(2) 的取值为 ,故的概率分布列为12345【例46】已知从神七飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所共进行四次实验，设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值（1）求随机
25、变量的数学期望E；（2）记关于x的不等式的解集是实数集R为事件A，求事件A发生的概率P（A）。【分析及解】（1）由题意知的可能取值为0，2，4指的是实验成功2次，失败2次.指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次.指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次.故随机变量的数学期望为.（2）由题意知：不等式的解集是实数R为事件A.当时，不等式化为10，其解集是R，说明事件A发生；当时，不等式化为，所以解集是R，说明事件A发生；当时，不等式化为其解集，说明事件A不发生.【例47】已知集合，建立从A到B的映射f，记（1）求的分布列（不要求计算过程）；（2）求的数学期望和方差【分析
26、及解】（1） ， ，01P （2） 十三:极限【例48】已知,数列满足,.证明:.【分析及证明】,下面用数学归纳法证明:时, , 故结论成立假设时结论成立,即,.,即,也就是说时,结论成立.由可知,对一切均有【例49】已知函数在上连续,则的值为_【分析及解】=,又在上连续,十四:导数【例50】若函数y=在R上可导且满足不等式x恒成立，且常数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是 （ ）Aab Bab Cab Dab【分析及解】由已知 x+0 构造函数 则 x+0 从而在R上为增函数。 即 ab选B【例51】若对可导函数，当时恒有，若已知是一锐角三角形的两个内角，且，记则下列不等式正确的是（
27、）A BC D【分析及解】由已知 则从而在R上为减函数。是一锐角三角形的两个内角， 即 则，又有则选C【例52】抛物线的准线与轴交于点,若绕点以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转秒钟后,恰与抛物线第一次相切,则等于（A） 1（B）2（C） 3（D） 4【分析及解】由已知,设绕点旋转的直线与抛物线第一次相切的切点为,则,切线方程为,即,由题意,解得,切线倾斜角为,故本题选（C）【例53】已知函数在区间上是减函数,求的最大值.【分析及解】由题意在区间上满足恒成立,则,即,此问题相当于在约束条件下求目标函数的最大值.作出可行域（图略）,由图可知,当直线:过点时,最大,由得,.【例54】 已知（1）若存在单调递减区间，求的取值范围；（2）若时，求证成立；（3）利用（2）的结论证明：若【分析及解】（1），有单调减区间有解，有解， 时合题意时，即的范围是（2）设0+0-最大值有最大值0恒成立即成立（3）由（2）， 求证成立十五:复数【例55】若对应的点在实轴上,则的最小值为A2 B3 C4 D8【分析及解】 ,故的最小值为2, 选A【例56】已知关于的方程有实根,则实数满足A B CD【分析及解】设实根为,则即,解之得:,故选D【例57】若复数对应的点在第一象限,求实数的取值范围【分析及解】 解之得
