1、导数在求极限中的应用引言极限是研究变量的变化趋势的基本工具。 在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是 建立在极限的基本之上的。极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且 对数学在实际中的应用也有着重要的作用。因此研究生考试往往把求极限问题作 为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相 同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用， 包括导数定义法， L Hospital 法则， Taylor 展式法及微分中值定理在求极限中的应用。旨在让大家
2、掌握各种导 数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。达到能灵活运用导 数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。第1章导数在求极限中的基本应用1.1导数定义法这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限 .定义 若函数y = f (x)在其定义域中的一点X)处极限也y r f (Xo+也X)- f(Xo)lim lim - u0 .)x 匸 J- ：x存在，则称在Xo处可导，称此极限值为f (X)在X-处的导数，记为f(Xo).显然，f(X)在Xo处的导数还有如下的等价定义形式：f（X）- f
3、（X-）X X-F面通过两个例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵例1求极限limb -tanx b _sin xa -asin x解由于=：bl n 二心b l n- 2-b l n.例2 (本题选自数学分析中的典型问题与方法裴礼文 .第二版.)设 f (0) = k，试证 lim f(b)f(a) = k.证明(希望把极限式写成导数定义中的形式)f(b) -f (a)b -ab f(b)-f(0) a f(a)-f(O)b-a b b-a aab a两式相减，可得因 a 0-，abb ab ab 0 ，所以有b 0 a，又因f (0) =k，故当a 0 - b 0 时右端极限为零，原极限获证.
4、1.2 L Hospital 法则本节主要总结了 L Hospital法则在求未定式极限中的应用，需要注意的 问题，并深入分析了使用L Hospital法则时实质是对无穷小或无穷大进行降阶 另外还指出L Hospital法则与其他极限方法如无穷小的替换的结合.1. L Hospital 法则L Hospital法则作为Cauchy中值定理的重要应用，在计算未定式极限中扮 演了十分重要的角色，这是因为对于未定式极限来讲极限是否存在，等于多少是 不能用极限的四则运算法则解得的，而通过对分子分母求导再求极限能够很有效 的计算出未定式的极限.关于未定式：在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母都
5、趋于零或都趋于无穷 大的情况，由于这是无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很 大的困难.事实上，这是极限可能存在也可能不存在.当极限存在时极限值也会0 旳有各种各样的可能.我们称这种类型的极限为-未定型或 未定型.事实上，未0 定型除以上两种类型外还有0.：二_：, 1：, 00, :0等类型.L Hospital 法则：定理和若函数f和g满足：1lim f (x) = lim g(x) = 0 ；Xo 02在点X的某空心邻域u0(x。)内可导，且g (x) = 0 ；3lim丄凶二A( A可为有限数或：)；x 叫 g(x)则 |im 竺 Jim3 = A.x 內 g(x) X
6、內 g (x)注：以上结论在x x，或是X.:(包括:：和-:：)时也是成立的.2.L Hospital法则的应用a) L Hospital法则能处理的基本未定型极限是-型或一型0 旳nV oO例1求lim 丄(n为正整数， .0).(型) tc e oo解连续使用L Hospital法则n次n nJlim 二=lim 竺x x , eX二 limx L :n(n -1)xnHim半X .； ： , ne x-0 .从以上例中可看出L Hospital法则的实质是对无穷小或无穷大进行降阶 下面再看两个L Hospital法则在解含有变限积分问题中的应用.x求limx )00 (1 -cost)
7、dt3xx 0分析：因为(1-cost)dt可导从而连续，所以此问题属于-型，可用L Hospital 法则求解.0(1 -cost)dt=lim - 2 0.x Q 3x21 f (t)解 xin?x x-. 1xaf(x)使用L Hospital法则，则x r f(x) f(0)=lim limX 0 1 x 0 :.x 1-1 f(t) lim x 半dt = lim - .x 0 X t 1 x 0 1(2)在使用L Hospital法则时，必须验证条件是否满足所求的极限是否未定型极限；求完导数后极限是否存在其中第二条容易忽略例4设f(x)为可导函数,f(0H f (0) =1，求极限
8、 lim f(sinx) T sin xf (sin x) -1 cosx f (sin x)=lim f (sin x) = f (0) = 1 .解 lim limx- sin x T cosx(此题不能用L Hospital法则求解，错误出在题目中没有给出在处连续的条件,所以不知道的极限是否存在，即不满足条件，题目中只是说在处可导，而定理 中要求在的某个邻域中可导)当求导后的极限不存在时，原极限仍可能有极限，所以求导后极限不存在只能说明此时L Hospital法则失效，不能说原式无极限.(3)对于其他未定型或极限0 :、二-二、L、00、二0等类型，可分别通过做商、通分、取对数转化成0型
9、或二型的极限，再使用L Hospital法则.0 例 5 求极限 Iimf1 -x)tanx.兀 1 -x -1 22 兀 2解 lim(1-x)tan x =lim x = lim lim sin x .x? 2 兀 斤t1 兀 2兀 圧T1兀 2 兀cot 一cscx2 2 2注：这是将0 :型转化成了 0型，如果选择不当把它化成 型，则解题过程将会0 00比较复杂.转化时一般规律是选择求导后式子简单的那种类型 .1 例6求极限lim cot x - - .xT x解 将它改写成cotx-1 /cosx-sinx就化成了二型，于是有xsin x cosx-xsin x-cosx 小2 li
10、m 0.x2 x 50 2xx xsi nx 旳丄 1 广 xcosxsi nxlim cot x lim limx )0 x x 0 xsin x x 10“1 :、00、：:0”可以通过如下转化化成型或型:1Pm(丁. .Inxlimx o *In x -1e因为当x 0 时tan x ： x ,所以1 lim(cot x)lnx =lim( )lnx x 0 x 0 ta n x（4）利用L Hospital法则求数列极限 Stolz公式Stolz公式可以说是数列的L Hospital法则，它对求数列的极限很有用 cO定理1（一型的Stolz公式）QO设Xn严格递增（即 旳w N有xn
11、0，Xn严格单调下降趋于零，若lim ynyn二a， F Xn - Xz则limYn =a （其中a为有限数，*：或：） nn例9求极限lim .T In n解 由于 lim X lim 4 =:,x ,：| n x j ： 1x所以 lim =-：.r In n什 +2p + +np 1例10证明何一尹一二百（p为自然数）lim H 二 Hm (叩。ij np 1 n .；：(n i)p 1 _ np 1（再次使用Stolz公式）I ,n 1、n ln( )n212 1例12求极限”m（尹p2才=）2心解先取对数，再取极限.lnxn令xn1 l 22nJ 门 22 -1lim ln x= l
12、im n 1 n 2 n n 厂 2 _ 2n故,原式二lim xnnc2nJ 12一(計)ln 2322亠亠1 ln-1 22n -122亠亠2n_2ln2nJn丄）2 -1=1 n21 - cosx2x4x2 sin x2x4有个别题目在使用L Hospital法则时会出现循环现象，此时不能用L Hospital法则求解，如下面一例x -xe e lim x -xex e解第2章Taylor展式在求极限问题中的应用本节介绍运用Taylor公式求解一些较复杂的未定型的函数极限及中值点的极限、无穷远处的极限.定理1（带Pea no余项的Taylor公式）设f （x）在xo处有n阶导数，则存在x
13、o的一个邻域，对于该邻域中的任一点x，成立其中余项 r(n)(x)满足 r(n)(x) =o(x-xo)n)定理2 （带Lagrange余项的Taylor公式）设f （x）在la,b 1上有n阶连续导数，且在（a, b）上有n 1阶导数.设冷：=Ia, b 1 为一定点，则对于任意 la,b,成立f（X）= f（X。） f（X）（X -怡）f(X。)2!2（X_X。）亠 亠(n)/f (x。)n!(x - Xo)n(n)(X)其中余项化X）满足Lx厂治（X-Xo）n1，在 x和Xo之间.注：函数f （x）在x =0处的Taylor公式又称为函数f （x）的Maclaurin公式.几个常用函数的
14、Maclaurin公式：（为了便于书写，我们写出带 Pea no余项的Taylor公式）2 3 n八1 X 計,V o(xn)；其中为任意实数，)k，并规定(01 ；k!ln(1 x):2 X -X -3 X + -4 n-(fo(xn)；234 n32n 1arctanx :X二 XX +- (1)2 Xo(x2n 2)32n十11.用Taylor公式巧解未定型极限由于L Hospital法则的实质是对分子分母进行降阶，这意味着当遇到分子分母都是较高阶的情况时，必须多次应用 L Hospital法则，遇到分子分母有带根号项时，会越微分形式会越复杂.而用公式则可进一步到位，所以在求解未定 型极
15、限时，应该灵活使用公式法解决.从而避免应用法则出现的解题困难.X22 例1求极限lim CoSX4e .T X4解 这是个0未定型极限问题，如果使用L Hospital法则，则分子分母需求导四0次，但若使用Taylor公式，贝U2X2cosx -e 24X2 4 2 彳 21-X X . o(x4) 1 ( x) (-X )2 o(x4)limx_0=lim 2! 4! 2 2! 2x 0 X41 4 4112x o(x )=lim 12x0 X例2求极限limIn(1 +sin x2) -6(2 -cosx -1)4X解 这也是个0未定型的极限问题，因0 2 4 432-cosx-1 二仝
16、X o(x4)， ln(1 sinx2)=sin x2-空 X o(sin4 x)6 24 23 5 4用 sin2 x 二x _ X o(x4)代入，即有 ln(1 sin x2) = x2 _ o(x4)6 6于是Xmoln(1 sin x2)-6(3 2cosx T)4X2 5x4X - 62o(x4)-6：64x4；4 o(x4)122.用Taylor公式求中值点的极限例3 (本题选自数学分析中的典型问题与方法 裴礼文第2版.第251页)设(1)f(x)在(X0i.,X0)内是n阶连续可微函数，此处0 ；(2)当k =2,3,(n 1)时，有f化)=0但是补“化)；其中0讥(h) ：
17、1(3)当 0 = h ：、:时有 f (x。h) 一 f (x) = f (x0 .*(h) h证明:证我们要设法从式中解出 二(h)，为此我们将式左边的f(xrh)及右边的f(X。M(h)在x处展开.由条件(2)知%廿(0,1)使得f (X0 h) = f(X) hf (x) f (n)(X0 E)n!f(xE(h)H1F f 叭宀吶于是式变成r(h)f(x Jh) nf(x。Ihh)从而因心(h)(0,1)，利用f(n)(x)的连续性，可得时(2叮注：此题若用L Hospital法则做将不胜其烦.例 4 设 f (x h)二 f(x) hf (x) f (n)(x 卄),(0：: 1)，
18、n!n n 1提示：f(x h)二 f(x) hf (x) Lf(n)(x) f(n1)(x) o(hn1) n! (n +1)!1 1证明 f(x h)=f(x) hf(x) f (x)h2 f(n)(x rh)hn2! n!1 1= f(x) hf(x) f (x)h2 f(n)(x)hn2! n!f(n1)(x)hn1 o(hn1)(n 1)!另 h 0,得到 lim f(T(x)二丄 f(n1)(x),hT n +1再由f(n1)(x)=O，两边消去f(T(x)，即得到lim .J0 n 十13.用Taylor公式求无穷远处的极限例5 (本题选自数学分析中的典型问题与方法 裴礼文第2版
19、.第249页)设函数:(x)在0,：上二次连续可微，如果 lim (x)存在，且:(x)在0, :上有界，试证：lim(x)=0.证明 要证明lim(x)=0，即要证明：x_jbcVa 0 0 当心 0时$(x)| 0，当XA0时，1 -(x+h)A + A(x) e时，j ee， 故 原式= ljmee-(cosE)2 =ee (cosee)2.n厂 n解 由Lagrange中值定理,例2求极限lim n2(arctan旦-arctanJ)其中a严0为常数.1，所以2 a alim n (arctan arctan ) = limr n n+1 Fn+1arctana - arctanna
20、n n 1a a n n 1= lim(匹x ；鵲dxf丄，其中n * - n 11 1 h=f( )arctan p (0 _ - h4) f (0)(当 h 0 时)h4 2(当h o 时)1 1=M (arctan arctan p) 0h h4lim / 2f(x)dx =lim I1 I2 f (0).h o 0 h x ho 2本文介绍了导数在求极限中的基本应用，旨在让大家掌握各种导数方法适用 的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论，达到能灵活运用导数方法去求 解一些极限问题以使问题简单化的目的。同时也让大家认识到应用导数解决问题 的灵活性和多样性。（由于时间的仓促及自身专业水平的不足，整篇论文肯定存在尚未发现的缺 点和错误，恳请阅读此篇论文的老师、同学多予指正，不胜感激！）参考文献1梁存利.考研数学中求极限的几种特殊方法 J中国科技信息，2009, 24 , 2830.2扶炜，刘松 . 常见的函数极限求法分析 J. 教育时空， 2002, 138.3数学分析中的典型问题与方法.裴礼文.第2版M .高等教育出版社4复旦大学数学系 . 数学分析 M. 北京：高等教育出版社， 1999.2 4 2n(1 x)： =(6) (1)X (2)x2 G)x3 (n)xn o(xn)1 丄11： hdx 二 f ( ) 0 -ydx0 h +x 0 h +x
