1、概率论与数理统计复习资料含习题讲解概率论与数理统计课程复习资料1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。古典概型例子摸球模型例1:袋中有a个白球，b个黑球，从中接连任意取出 m(mw a+ b )个球，且每次取出的球不 再放回去，求第m次取出的球是白球的概率；例2:袋中有a个白球，b个黑球，c个红球，从中任意取出m (m a+ b )个球，求取出的m 个球中有k1( a)个白球、k2( b)个黑球、k3( n)的任一个之中，求下列事件的概率：(1)A=指定n个格子中各有一个质点; (2) B=任意n个格子中各有一个质点;C=指定的一个格子中恰有 m(mw n)个质点.抽数模型例：在09十个整数
2、中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？2.概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。如对于事件 A，B，A 或 B，已知 P(A), P(B)，P(AB), P(A B)，P(A|B)，P(B|A)以及换为 A 或B之中的几个，求另外几个。例 1:事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0.5, P(B)=0.6，求:P(AB)，P(A- B)，P(A B)例 2:若 P(A)=0.4, P(B)=0.7,P(AB)=0.3,求：P(A- B), P(A B)，P(A| B)，P(A|B)，P(A| B)3.准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。若已
3、知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件B i ,i=1,2, ,n”的概 率P(B i)，以及B i发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|B i),求事件A发生的概率P(A) 以及A发生的条件下事件B i发生的条件概率P(B i| A)。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和 0.1,某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看 4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求： (1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买 下的该箱中，没有残次品的概率。4.一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型
4、随机变量的密度函数性质的运用。分布中待 定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关 系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。(1)已知一维离散型随机变量X的分布律P(X=Xi)=pi, i=1,2, ,n”确定参数求概率P(aXb)求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数Y=g(X)的分布律及期望Eg(X)例：随机变量X的分布律为.X1234 pk2k3k4k确定参数k求概率 P(0X3), P1 ： X 3 求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数Y=(X3)2的分布律及期望E(X 一3)2(
5、2)已知一维连续型随机变量X的密度函数f(x)确定参数求概率P(aXb)求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数Y=g(X)的密度函数及期望Eg(X) 2例：已知随机变量X的概率密度为f(x)=kx ：x2，、0 其他 确定参数k求概率 P： X :：: 3求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数丫 一. X的密度及期望EG X)(3),n,已知二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律P(X=Xi,Y=yj)=pij,i=1,2”，m” ； j=1,2, 确定参数求概率P(X,Y) G求边缘分布律 P(X=xi)=pi., i=1,2, ,m, ； P(Y=yj)=p
6、.j, j=1,2, ,n”求条件分布律 P(X=Xi|Y=yj), i=1,2, ,m,和 P(Y=yj|X=xi), j=1,2, ,n,求期望 E(X), E(Y)，方差 D(X), D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数 *，判断是否不相关求函数Z=g(X, Y)的分布律及期望Eg(X, Y)例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率 P(XY), P(X=Y)求边缘分布律 P(X=k) k=0,1,2 和 P(Y=k) k=0,1,2,3求条件分布律 P(X=kY=2) k
7、=0,1,2 和 P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3求期望 E(X), E(Y)，方差 D(X), D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数；y，判断是否不相关求 Z=X+Y, W=maxX, Y , V=minX, Y的分布律(4)已知二维连续型随机变量X的联合密度函数f(x, y) 确定参数求概率P(X,Y) G求边缘密度fx (x) , fY(y)，判断X,Y是否相互独立求条件密度 fx|Y (x | y) , fy|X(y | x)求期望 E(X), E(Y)，方差 D(X) , D(Y)求协方差cov(X,Y),相关系数xy ,判断是否不相关求函数Z=g(X, Y)的密度函数
8、及期望Eg(X, Y)2x : y : 1其它 2 例：已知二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(x, y) = cxJ确定常数c的值； 求概率P(XY)求边缘密度fx(X)，fY(y)，判断X,Y是否相互独立求条件密度 fxY (x | y)， fY|X(y I x) 求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数匚丫，判断是否不相关5.会用中心极限定理解题。例1:每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为 2,方差为1.52，求在100次射击中有180到 220发炮弹命中目标的概率.例2:设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒
9、种子中至少有880粒 发芽的概率。6.熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布 (参数)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1 .统计量的判断。对于来自总体X的样本X1,X2,，Xn，由样本构成的各种函数是否是统计量。2.计算样本均值与样本方差及样本矩。3.熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。4.会求未知参数的矩估计、极大似然估计。r 0例：设总体X的概率密度为,0X n)的任一个之中，求下列事件的概率：(1) A=指定n个格子中各有一个质点 ； (2) B=任意n个格子中各有一个质点；C=指定的一个格子中恰有
10、m(mw n)个质点.解：样本点为n个质点在N个格子中的任一种分布，每个质点都有 N种不同分布，即n个质 点共有Nn种分布。故样本点总数为：Nn(1)在n个格子中放有n个质点，且每格有一个质点，共有n!种不同放法；因此，事件A包含 的样本点数：n!，贝U P(A) n!N先在N个格子中任意指定n个格子，共有CN种不同的方法；在n个格子中放n个质点， 且每格一个质点，共有n!种不同方法；因此，事件 B包含的样本点数：n!CN AN，则 P(B)吗Nnn -mNn(3)在指定的一个格子中放m(mw n)个质点共有C1种不同方法；余下n-m个质点任意放在余下 的N-1个格子中，共有(N -1)2种不
11、同方法.因此，事件C包含的样本点数：CT (N -1)n,则 p(c)= Ca穿 需(护(宁)抽数模型例：在09十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：a4o=5O4O，设B=能排成一个四位偶数。若允许千位数为0，此时千位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有 5种选法； 其余三位数则在余下的九个数字中任选，有 A种选法；从而共有5A3=2520个。其中，千位数为0的四位偶数”有多少个？此时个位数只能在 2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4 种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有 A2种选法；从而共有4A2=2245a3
12、-4a2因此 P(B) J - =2296/5040=0.456解：P(AB)= P(A)P(B)=0.3, P(A B)= P(A) P(AB)=0.2, P(A B)= P(A) + P(B) P(AB)=0.8 例 2:若 P(A)=0.4, P(B)=0.7,P(AB)=0.3,求：P(A B), P(A B), P(A| B) , P(A|B) , P(A| B)解: P(A B)=0.1, P(A B)=0.8, P(A| B) =3/7, P(A| B)= P(AB P(B) 一 P(AB)=4/7,P(B) P(B) P(B)P(AB) P(A B)P(A | B) = =2/
13、3P(B) 1 -P(B)3准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和 0.1,某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看 4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求： (1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买 下的该箱中，没有残次品的概率。解:设事件A表示“顾客买下该箱” ,Bi表示“箱中恰好有i件次品”，2 0,1,2 o则P(B。)= 0.8 ,C4P(B1)=0.1 , P(B2)=0.1 , P(A|B)=1 , P(A|BJ 罟C20由全概率公式得P(A)=為 P
14、(BJP(A| Bi) =0.8 1 0.1 4 0.1 12 =0.94 ;y 5 19由贝叶斯公式 P(B。| A) = P(Bq)P(A|Bq 8=0.85P(A) 0.944.(1)例：随机变量X的分布律为.X1234Pk2kr 3k4k 1确定参数k求概率 P(0X3), P(1X3)求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数Y=(X-3)2的分布律及期望E(X -3)2解：由 v pi =1,有 k+ 2 k+ 3 k+ 4 k =1 得 k =0.1iP(0X3)= P(X=1) + P(X=2)=0.3, P(1X3)= P(X=2)=0.20 x0.1 1Exc2F
15、(x)=0.3 2 兰x30.6 3Wxc41 x _4E(X)八 人 口 =3, E(X2)八 Xi2 Pi =10, D(X)=E(X2) -(E(X)2=1i iY014P0.30.60.1E(X -3)2=1 2例：已知随机变量X的概率密度为f(x)=kx x20 其他确定参数k求概率P(1X3)求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数Y . X的密度函数及期望E(. X )2 8解：由 f(x)dx=1，有 f(x)dx= kx2dx k=1,得 k=3/80 33 2 3 2P(1X3)= 4 f(x)dx=彳-x2dx=7/8.0 x 兰03xF(x) = 0cxc2
16、81 x A2be 2 3 3 2说2 2 3 4E(X)二 xf(x)dx= x3dx =3/2, E(X2) = x2f(x)dx= x4dx=12/58 8D(X)= E(X2) -(E(X)2=3/20f(y)=汀 0 ： y 八2、0 其他一 :- 2 3 5E(、X)= x f (x)dx = x2dx例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率 P(XY)， P(X=Y)求边缘分布律 P(X=k) k=0,1,2 和 P(Y=k) k=0,1,2,3求条件分布律 P(X=kY
17、=2) k=0,1,2 和 P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数Ly，判断是否不相关求 Z=X+Y, W=maxX, Y，V=minX, Y的分布律 解：P(XY)=0.7, P(X=Y)=0.2 X 的分布律X012P0.50.20.3Y的分布律Y0123p0.10.20.30.4X的条件分布律XY=2012P1/21/61/3丫的条件分布律Y|X=10123P0.150.250.250.35E(X)八 Xi pj =0.8, E(X2)八、X2Pj=1.4, D(X)=E(X2)-(E(X)2=0.7
18、6i j i jE(Y)八 yjPj =2, E(Y2)八、y2pj =5, D(Y)=E(Y2)-(E(Y)2=1i j i jE(XY) - 、 Xi yj Pj =1.64, cov(X,Y) =E(XY) - E(X)E(Y)=0.04i j* = cov(x,丫)一 =0.046 相关.D(X)、D(Y)Z=X + Y的分布律Z012345P0.050.130.220.30.170.13W=maxX, Y的分布律W0123P0.050.180.370.4V=minX, Y的分布律V012P0.550.220.232x : y 1其它r 2例：已知二维随机变量(X, Y)的概率密度为f
19、(x,y) =CX y 、0,确定常数c的值；求概率P(XY)求边缘密度fx(X), fY(y)，判断X,Y是否相互独立求条件密度fx |y (x | y), fYix (y丨x)求期望 E(X), E(Y)，方差 D(X), D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数xy，判断是否不相关小 亠 1 1解：由 f (x, y)dxdy =1，有 f (x, y)dxdy= dx. . .1 x1 y 21 2PgYfdy.+xydx =0.852 cxydy =1，得 c=21/4X221x2x 4ydy21 2x804(1X4) 1 空XE1其它J 21fY(y)二-y 4 X2人 7 yd
20、x y 20X与Y不独立0乞y空1其它fX|Y(x|y)魯討032其它f (x, y) _ 8yfY|X (y 丨 X)二 fx (x) 1 -x40X2 _ y _1E(X)二其它1 21 3-be -be_.xf (x, y)dxdy= ydx x2x3ydy =09 -be -be 9E(X ) = x f (x, y)dxdy =D(X)= E(X2) -(E(X)2=7/1511 1 21 4二叫了 ydy=7/15-.1-be -beE(Y) yf(x,y)dxdy= dxx2 x2y2dy=7/9. 1 x 42 : : 2 1 1E(Y)二 _-：y f(x,y)dxdy= /
21、Xx D(Y)=E(Y2) -(E(Y)2 =28/8911 21 2 21 21 2 32 x2y3dy =7/114: 1 1E(XY)二；二xyf (x,y)dxdy= 4dx xcov(X,Y)=0, ?xy =0, X 与 丫 不相关5.会用中心极限定理解题。例1:每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为 2,方差为1.52 ,220发炮弹命中目标的概率.解：21x3y2dy =04求在100次射击中有180到例2:设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这 发芽的概率。1000粒种子中至少有880粒解：设这批种子发芽数为X，则X B(1000,0.9)，由中心极限定理得所求概率为 PX -880 =1 (880二900) =1 _：,(_2.108) _(2.108) =0.9826。V90数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1统计量的判断。2 计算样本均值与样本方差及样本矩。3熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。4.会求未知参数的矩估计、极大似然估计。例：设总体X的概率密度为f(X )= $日：Q WX叮，x怙(n-1),拒绝H笛反之，接受H2. 选取统计量2 2%3. 对给定的显著性水平：，查表得2.(n-1)4计算2 (n -1)s25.判断 若2 ： 2(n-1),拒绝H ;反之接受H .
