1、解题思维习题解題思維習題01.像12321這樣左右讀都一樣的數謂為迴文數，有人說四位迴文數都可被11整除，對嗎？為什麼？還有幾位數的迴文數一定可被11整除？02.五位婦人圍圓桌而坐，只知道趙太太在錢太太和孫太太之間、美惠在翠明和李太太之間、錢太太在美惠和愛蓮之間、翠明和翠鳳是姊妹、意文的左邊是周太太而右邊是孫太太，排出這個位子來。03.如下圖，用縫衣服的針做一個間距相近的圓形釘盤，將線按順時鐘方向，隔固定間隔綁在針上，直到綁到第一根針為止，如果還有未綁線的針，則再拿線依相同的規則繼績做下去。m根針，每次隔n格時只需要幾條線？04.用火柴棒拼出n個連成一排的正方形需要多少根？ 拼成nn的大正方形
2、需要幾支火柴棒？ 05.雄蜂從未受精的蜂卵中孵出，所以牠有母親而無父親，雌蜂從受精的蜂卵中孵出，所以牠有雙親，一隻雄蜂往回推n代有多少祖先？其中有多少隻雄蜂？06.如果一個正方形能被分割成n個不重疊的正方形，則n稱為好數，好數有那些？07.一條截面是正n邊形的纜繩，想像用雙手握住它的兩端要頭尾黏在一起，但在黏之前，扭轉右手讓多邊形旋轉n分之一，如果重複這種動作t次，可以想像繩端多邊形旋轉全部的n分之t，現在將纜繩兩端多邊形對齊後黏起來，然後在外皮的每個面上塗不同顏色，需要多少種顏色？08.這是個在固定方格紙上的兩人遊戲，第一位玩家在左下角那一格作上記號，接下來玩家將記號畫在前一個記號之上方、右
3、方、或右上方，誰先在畫到右上角那一格就贏，找出致勝之道。09.選擇大小硬幣各三枚，將它們排成一排，使硬幣連接在一起並且大小相間。移動一次必須滑動相連的兩個硬幣到這排上的新位置，不能交換它們。如何使大硬幣全部擺在一邊而小硬幣在另一邊？10.一個mn的長方形，對角線穿過幾個方格？11.許多建築用磚的長是寬的兩倍，要將它們砌成沒有缺陷線(如下圖)的牆，牆的大小有哪些可能？12.某個村莊中，每天晚上人們便成對地聚集在一起閒談村裡的事。在每次交談中，每個人都將其所知的事告訴對方，請問最少經幾次交談後，村裡每個人都知道所有消息？13.拿一張紙條依同方式多次對摺後，打開觀察摺痕，有些向內而有些向外。舉例來說
4、，摺三次得到一個摺痕序列：內、內、外、內、內、外、外，如果摺10次會得到什麼序列？14.有三個人，每個人都有兩個職業，其中司機與音樂家交惡，因為他嘲笑音樂家的長髮；音樂家和園丁常和John去釣魚；畫家向心理諮詢師買了一品脫的酒；司機和畫家的姊姊約會；Jack欠園丁5元；Joe用鐵圈打了Jack和畫家；他們之中有一個是理髮師而且任兩人工作不同。他們各是什麼職業？15.25個銅板被排成5個5個一列，一隻蒼蠅停在其中一個上並想跳上每個銅板一次，它只能跳上同行或同列的相鄰銅板，可能嗎？16.隨便取一個數，找出它所有的因數，再找出這些因數的因數個數，比較把它們加起來再平方和把它們立方後再加起來的結果。1
5、7.有些數字可以被表示成一串連續的正整數之和，例如9234、1156、183456等等，什麼樣的數字才有這種特性？又表示方法有多少種？18.9個外觀相同的小球中有一枚較輕，其餘的等重，如何用一個天平以最少次比較找出這枚較輕的球？19.拿一條細長的紙打一個簡單的結，輕輕地將它拉緊壓平，為什會成為一個正五邊形？20.寫下1、2、3.成一列：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .然後每逢第三個數就刪除：1 2 4 5 7 8 10 .再將剩下的數依序累加：1 3 7 12 19 27 37 接下來改為每逢第二個數就刪除，再將剩下的數依序累加，你發現了什麼？21.一個可以用三角形排列的點來表示的
6、數稱之為三角形數(如下左圖)，可以用五邊形排列的點來表示的數稱之為五邊形數(如下右圖)，哪些數是三角形數？哪些是五邊形數？推廣後，哪些是n邊形數？ 22.取一個三位數，把它倒過來寫，用大的數減去小的，將結果再倒轉一次，然後把它們加起來，例如取123，倒成321，321123198，再將198倒成891，1988911089，發生什麼事了？為什麼？23.隨便寫下一個0和1組成的數列，假如連續兩個數字相同的話，在它們下面寫個0，否則寫個1，重複這過程到只剩下一數字，這數字是什麼？24.取一組滿足三平方和相等的數，例如425262223282，組合左右兩邊的數字如42、53、68，則42253268
7、2242352862，為什麼？25.觀察2232 62 72 3242122132 4252202212，有一般的形式嗎？再觀察 3242 52 102112122 132142 212222232242 252262272，有一般的形式嗎？26.兩個玩家輪流喊1、2、3、4、5之中的任一數字，誰先喊到與之前所有數字總和為31就贏了，那麼先喊的人要喊多少最有利？27.一個n層的三角格子中有多少個正三角形？28.編織機上的毛線被纏繞在梭子上，編織時一次使用數個梭子，不過換梭子和把毛線重新捲到空梭子上是無聊又不愉快的工作。如果有c個繞有同色不同重毛線的梭子，而編織時需要同時使用k個梭子，怎樣可以用
8、完所有梭子上的毛線而不需重捲？29.觀察下表，是什麼作用？表的下一列是什麼？一般性是什麼？95487389456468874378994586486878794337891945286428683787194323789619454286442868237876194312378956194564286424286832378776194315623712566424327612356164224232376112375619642824283237761912378561946428624286323787619412378956194564286424286832378776194330.
9、唐三藏從1到9中取出兩個不同的數字，將它們的乘積告訴孫悟空，再將它們的和告訴豬八戒；要求他們兩人在不可以看到對方的數的前提下去猜這兩個數各是多少，於是兩人展開一段對話。孫悟空：猜不到。 豬八戒：我也猜不到。孫悟空：那我知道了！ 豬八戒：那我也知道了請問兩人拿到的數各是多少？31.希望之島中央是機場，東邊的人是老實人，而西邊都是說謊者。有一天阿丁家到此島觀光，一下飛機就有導遊甲，導遊乙爭著當他們的導遊。阿丁叫導遊甲去問導遊乙住在島的那一邊，導遊甲問完之後回來說乙說他住在島的西邊。如果你是阿丁，你會選誰當導遊？32.你在心裡想一個不超過50的整數，並從43，57中選一個數，然後將兩數相乘的末兩位數
10、告訴我，我就能猜透你所想的及所選的數字，你知道其中的玄機嗎？33.用等長的不銹鋼條焊接成正四面體鐵架，1層鐵架需要6條鋼條並有4個焊接點，2層需12條鋼條並有10個焊接點，3層需多少條鋼條並有多少個焊接點？6層呢？n層呢？34.在一個棋盤式方格空地上，一個守護者站在某一格子內時，以此格子為中心的平行、垂直、對角線方向都是被監控的範圍。請問至少需幾個守護者以及如何擺置才有辦法監控整個棋盤？又此時有多少個小方格被兩個以上的守護者監控？35.國王想將n位心愛的王妃安置在nn的棋盤式後宮裡，為了讓每位王妃有自己的妃宮，要選擇n座妃宮。每位王妃都要求她的妃宮向水平、垂直及對角線方向望去，不想看到其它的妃
11、宮，你能幫國王解決他的煩惱嗎？36.一位海盜將珠寶埋藏在一個小島上。他在島的岸邊找到兩塊明顯的大石頭(標記為A與B點)，並將島上的某三棵大王椰子樹標記為C1、C2、C3。對大王椰子樹C1，他找到兩個點A1、B1，其中A1C1A，B1C1B都是等腰直角三角形(直角都是在C1點)，而且角A1C1B，B1C1A都是鈍角。海盜將A1B與B1A的交點記為P1。同樣針對大王椰子樹C2，C3，海盜找到兩個點P2，P3。海盜就將珠寶埋藏在P1，P2，P3的外接圓圓心上。過了幾年之後，海盜返回這個小島，發現颱風將所有的大王椰子樹都吹倒了。試問海盜要如何找回他的那批珠寶？37.一個條狀的格子由左向右編號為1、2、
12、3、，剛開始將三個棋子放在任意三個格子上，分別記錄為。兩個人開始輪流移動棋子，移動的方法是： (a) 棋子可以移到左邊的空格裡； (b) 如果左邊不是空格，棋子可以跳躍左邊的棋子(1 or 2)到下一個空格裡。誰先把棋子移成 (1,2,3) 的位置上就獲勝。請討論哪些是先手優勢，哪些又是後手優勢。要找出贏的策略來。38.十二位教授A,B,L開圓桌會議，名片依序都放在座位前。A教授最先進來但是其他人的順序不一定。A教授心神彷彿，佔了在他的名片順時針下一個座位。其他陪審員逐一進來，如他的位置仍空著，便依照安排入座，但如被佔了，便順時針方向找第一個空位坐下。這十一位進來的次序數量很多，但最後能有多少
13、種不同的坐法？39.如果可以將正整數1 , 2 , 3 , , n填在圓周上，使得依順時鐘方向任何兩個相鄰的數之和，都能夠被它們的下一個數整除。求 n 的所有可能值。40.己知在32個外觀相同的金幣中有兩個是假幣，這兩個假幣的重量與真幣的重量不同(每個真幣的重量都相等；兩個假幣的重量相等)。假若至多只能用天平稱4次(天平只能顯示兩堆金幣中那堆重量較重或兩堆重量相等)。試問：如何將這32個金幣分為重量相等的兩堆？41.某一學生有100張標有數字1至100的卡片，同時也有足夠多個標有符號與符號的卡片。試問：他能構造出之等式的最大數目為何？(例如:3+8=11，2+4+6=12 都是等式，一個等式中
14、只有一個等號。每個標有號碼的卡片不可被使用超過一次，也不可以上下顛倒使用，更不可以把兩張以上的卡片拼起來當成一個數使用。)42.強盜甲及強盜乙二人要分搶來的100個金幣，他們分贓的方法如下：每次由強盜甲抓一把金幣，並如實地報出金幣的數量，然後由強盜乙決定這一把金幣歸誰所有，這樣繼續下去，直到當中有一人得九次為止，所剩的金幣歸另一人所有(依照這樣的分法也有可能沒人分到九次，金幣就分完了)，強盜甲每次可按照自己的策略抓取若干個金幣。無論強盜乙如何決定，問強盜甲保證最多可以得到幾個金幣？(除寫出答案外，請詳述強盜甲之策略，並證明他無法保證得到更多。)43.將數字 1, 2, 3, , 64填入8 8
15、的方格表中，每個小方格填入一個數且每個小方格填入的數都不相同。規定任意連續的二個數必須填在相鄰的小方格中。試問：依此規定填滿的方格表，其一條對角線上的數值總和最小是多少？(註：所謂相鄰的小方格是指兩個小方格恰有一個共同的邊。)44.某一個法律教授收一學生,正式授課前,他們簽了這樣的合約:等到學生在第一場官司中贏了,才付學費給教授,幾年後,學生學成並開始他的律師生涯.但經過一段時間,扔未有顧客光顧.這時教授似乎等得不耐煩了,便催促他的學生立即繳所欠之學費,否則便控告他欠債不還之罪.如果告到官府去,這場官司無論是我贏了還是輸了,你都要付繳那些學費.教授胸有成竹地對他的學生說.假如我贏了這場官司,根
16、據法庭的判決,你當然要付還學費給我.假如我輸了,亦即說,你的第一場官司贏了,根據我和你的合約,你同樣要付交學費給我.這位高足聽完教授一番偉論後,不慌不忙地說:我認為無論你贏了或輸了這場官司,我也不用繳學費.因為,若我贏了,根據法庭的判決,我不用繳交學費.若我輸了,根據我們的合約,我輸了第一場官司,那麼,扔然不用繳交學費.請問,這學生應不應繳交學費?45.某國三個搞革命的哲學家在革命失敗後，於邊境一小鎮上被捕並關在鎮上的監獄裡。該鎮的鎮長是個同情革命的人，而有意放這三個人逃走。一天警長手上持著五個牌子走進監獄對他們說我手上共有五個牌子，其中三個各寫個放字。另有兩個各寫個殺邏輯學家字。現在我在每個
17、人背上各掛一個牌子，你們只可看到別人背上的字，但看不到自己背上所掛的字。若誰能正確猜出自己背上的字，誰就可出獄。否則便立即處決!警長說完在人背上掛上一個的牌子，臨走時吩咐獄卒看視著這三個人，不讓他們互相討論。目送警長走後，這三位哲學家看看同伴的牌子，各躊躇了一會，便異口同聲地告訴獄卒是。請問這三位哲學家為什麼如此肯定自己背上的牌子是呢?46.在某地流傳著這樣說法東村人所說的都是謊話.不久,傳到東村去了.村民很憤怒,要村長追究謠言的來源.村長是個聰明人,他勸村民不要激動並解釋說:那謠言也可以解釋說成 東村人所說的都不是謊言.村民不解.於是村長繼續說:我是屬於東村的人,如果我也說:東村人所說的都是
18、謊話誰是說謊者在一個荒島上，居民住著甲和乙兩個部落。這兩個部落的人在外表上長得一模一樣，因此很難從外型分別它們。但是這兩個部落的人各有不同的特性，就是甲部落的人所說的都是真話，乙部落的人所說的都是假話。一天一個探險者來到該島上，它遇到A、B、C三個土人。這三人只懂得一點點探險者的語言。探險者問土人A道:你是屬於那一部落的人A土人答道:KW CM JT GP TX。探險者轉過頭來問土人B和CA說什麼B土人答道:A說他屬於甲部落。C土人答道:A說他屬於乙部落。請從上面的對答中，想想土人B和C屬於那一部落的人真假俱樂部在真假俱樂部裡只有兩種人，一種回答問題都說真話，另一種永遠都說假話。一天中午，王老
19、大進入俱樂部，只見所有的會員正坐著一圓上午餐，王老大因好奇心驅使，為了要知道有多少屬於講真話的人，有多少屬於講假話的人。於是，便問每一個會員一個問題你屬於那一類人但是每個會員都回答我屬於只講真話那一類。王老大不得要領，再問每一會員你左手邊的人屬於那一類很奇怪每個人答覆是他屬專說假話得的人。王老大回家後人仍然未能想出分辨他們的辦法。不久他靈機一動，便打電話到俱樂部去詢問該會的主席，問中午餐會共有多少個會員參加。主席答道45個。王老大放下電話等候片刻再打電話給俱樂部的秘書說主席說今天午餐會共有45 人參加對不對秘書回答主席說謊，今天共有50人進午餐。於是王老大可確定，午餐中有25個會員屬說真話一類
20、，有25人屬專說假話的一類。小朋友你能說出王老大所根據的理由嗎47.將19不重複地填入九個空格中，使這三個分數相加148.一名農夫帶著一隻狼、一隻羊和一顆菜渡河，河上只有一艘小舟，而且只能戴農夫和另一樣東西，只有農夫會伐船，如果農夫不在，狼會吃羊，羊會吃菜,農夫要如何才能平安的過河，而不會有損失？ 49.有四人想渡河，一名法官，一名警察，一名犯人，一名平民，當法官單獨和警察在時法官會欺負警單獨和犯人在一起時，警察會欺負犯人，犯人單獨和平民起時，犯人會欺負平民，四個人都會伐船，而船一次可載二人，請問如何渡河才不會發生爭吵？ 50.有兩對父子要過河，但兩位父親會利用另一位父親不在的機會，欺負別人的
21、小孩，而小孩子則感情融洽，四人都會伐船，且船一次可載二人，請問應如何渡河？ 又若要渡河的共三對父子，應如何渡河？ 51有一位馴獸師，帶著獅子及狼和一隻雞，一袋米渡河，河上只有一艘船而每次只能載馴獸師和另二樣東西，如果馴獸師不在，獅子會吃狼和狼會吃雞，而雞會吃米，只有馴獸師會伐船，請問應如何渡河？ 52.小萍有一個拼圖板收在盒子裡(如右圖一)。今天她要將拼圖板收回盒子裡去時，她先拼成下圖二的形狀，她發現雖然底跟高都和盒子一樣，但是圖二中間多了一個洞，而且無法收進盒子裡。請解釋為什麼？。53.皇宮的地板是由黑白格子狀的正方形地磚所拼成，而正方形的王座擺在一塊白地磚上。國王想把王座搬到黑地磚上，並且
22、與原位置面向相同。但是王座只能以一個椅腳當支點轉動90，請問國王的願望能夠實現嗎？解釋你/妳的答案。54.一夫，二郎，三吉，四祥，五平五個人，是青梅竹馬的好朋友，如今長大成人，各自當上麵包店老闆，理髮師，肉店老闆，菸酒經銷商和公司職員。1. 麵包店老闆不是三吉，也不是四祥。2. 菸酒經銷商不是四祥，也不是一夫。3. 此外，三吉和五平住在同一棟公寓，隔壁是公司職員的家。4. 三吉娶理髮師的女兒時，二郎是他們的媒人。5. 一夫和三吉有空時，就和肉店老闆，麵包店老闆打牌。6. 而且，每隔十天，四祥和五平一定要到理髮店修個臉。7. 但是，公司職員則一向自己刮鬍子，從來不到理髮店去。55.有五間房屋排成
23、一列，屋外顏色都不一，屋主來自不同的國家，所有的屋主都養不同的寵物、喝不同的飲料、抽不同的香煙。已知：1.英國人住在紅色房屋裡2.瑞典人養了一隻狗3.丹麥人喝茶4.綠色的房子在白色房子的左邊5.綠色房屋的屋主喝咖啡6.抽 P 香煙的屋主養鳥7.黃色屋主抽 D8.位於最中間的屋主喝牛奶9.挪威人住在第一間房屋裡10.抽 B 的人住在養貓人家的隔壁11.養馬的屋主隔壁住抽 D 的人家12.抽 M 的屋主他喝啤酒13.德國人他抽 P14.挪威人住在藍色房子的隔壁15.只喝開水的人家住在抽 B 的隔壁請將他們正確地配起來。56.三月七日早上一時三十分，陳十被殺於九龍新界一條小路旁。警方稍後逮捕了五名嫌
24、疑犯，在警方的盤問中，他們各人都要回答四個問題。我們已知各嫌疑犯所答的四個問題中，有三個答案是真的，另一個答案是謊話。又已知真正的兇手是這五人中的一個。以下是他們的供詞，請幫助警察找出真兇。甲：(1)我沒有殺死陳十。(2)我從未有過手槍。(3)丙認識我。(4)三月七日晚上我在香港乙：(1)我沒有殺死陳十。(2)丙在今年內從未到過新界。(3)我不認識丁。(4)三月七日晚上我和甲都在香港。丙：(1)我沒有殺死陳十。(2)我在今年內從未到過新界。(3)我不認識甲。(4)如果丁說我是兇手，這是謊言。丁：(1)陳十被殺時，我在澳門。(2)我從未殺過人。(3)丙是兇手。(4)我和乙是朋友。戊：(1)如果甲
25、說他從未有過手槍，這是謊言。(2)陳十在三月七日早上被殺的。(3)命案發生時，丁在澳門。(4)我們其中一人是兇手。57.有一個奇異的九位數，由1、2、3、4、5、6、7、8、9九個字所排成，左邊一位被1除盡，左邊二位被2除盡，左邊三位被3除盡，左邊四位被4除盡，左邊五位被5除盡，左邊六位被6除盡，左邊七位被7除盡，左邊八位被8除盡，左邊九位被9除盡，請將這九位數找出來？58將相同大小的球相接堆排成長方形，底層相鄰四個球間的空隙再堆一個球，依此類推向上堆放直到最上一層無法找到空隙再堆為止，這樣的構造稱為垛。如下圖，底層有24個球，再堆一層3個球就不能再堆。請問如何從垛最底層的長寬求出垛的層數與總
26、共的球數？59右圖是一個nn的方格，右上方格內有一顆白子，左下方格是一個空格，其他各格都放有一個黑子。現在要將白子移至左下方的空格裡，但是每次只能將棋子(黑或白)移至空格裡，我們想要知道最少要移動幾次。60桌上有一副撲克牌共n張，小明由1到n將每張牌寫上編號，號碼朝上，也就是最上方那張牌是編號1朝上，最下方一張牌是編號n朝上。小明發明了下列洗牌規則：第一次洗牌：從第一張牌開始將牌由下而上放成另一堆，而且每一張牌都翻面，因此最後最下方是編號1朝下，最上方是編號52朝下。第二次洗牌：將前一次洗好的牌再由下而上放成另一堆，並將編號為2的倍數的牌翻面，其餘不翻面。結果為最上方那張牌是編號1朝下，最下方一張牌是編號52朝上。第三次洗牌：將前一次洗好的牌再由下而上放成另一堆，並將編號為3的倍數的牌翻面，其餘不翻面。第四次洗牌：將前一次洗好的牌再由下而上放成另一堆，並將編號為4的倍數的牌翻面，其餘不翻面。 請問如果小明繼續這樣洗牌，一直到最後會有幾張牌的編號是朝下的？
