1、高中数学 233 直线与平面垂直的性质能力强化提升 新人教A版必修2【成才之路】2014高中数学 2-3-3 直线与平面垂直的性质能力强化提升 新人教A版必修2一、选择题1如果直线l与平面不垂直，那么在平面内()A不存在与l垂直的直线B存在一条与l垂直的直线C存在无数条与l垂直的直线D任意一条都与l垂直答案C解析若l，显然在内存在无数条直线与l垂直；若l，过l作平面l，则ll，在内存在无数条直线与l垂直，从而在内存在无数条直线与l垂直；若l与斜交，设交点为A，在l上任取一点P，过P作PQ，垂足为Q，在内存在无数条直线与AQ垂直，从而存在无数条直线与直线PA(即l)垂直2过一点和已知平面垂直的直
2、线条数为()A1条 B2条C无数条 D不能确定答案A解析已知：平面和一点P.求证：过点P与垂直的直线只有一条证明：不论点P在平面外或平面内，设PA，垂足为A(或P)如果过点P还有一条直线PB，设PA、PB确定的平面为，且a，于是在平面内过点P有两条直线PA、PB垂直于交线a，这是不可能的所以过点P与垂直的直线只有一条3若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A有且只有一个B可能存在也可能不存在C有无数多个D一定不存在答案B解析当ab时，有且只有一个当a与b不垂直时，不存在4已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A平行 B垂直C斜交
3、D不能确定答案B解析设a，b为异面直线，a平面，b，直线la，lb.过a作平面a，则aa，la.同理过b作平面b，则lb，a，b异面，a与b相交，l.5(20122013杭州高二检测)如下图，设平面EF，AB，CD，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BDEF，这个条件不可能是下面四个选项中的()AACBACEFCAC与BD在内的射影在同一条直线上DAC与、所成的角相等答案D6设m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是()若mn，n，则m；若a，a，则；若m，n，则mn；若m，n，则mn.A和 B和C和 D和答案B解析中，直线m垂直于平面内的一条直线
4、n，则直线m与平面不一定垂直，所以不是真命题；是平面与平面垂直的判定定理，所以是真命题是直线与平面垂直的性质定理，所以是真命题；中m与n可能是异面直线，所以不正确7如下图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1D1答案B解析易得BD面ACC1A1，又CE面ACC1A1，CEBD.8如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1CB线段BC1CBB1中点与CC1中点连成的线段DBC中点与B1C1中点连成的线段答案A解析DD1平面ABCD，
5、D1DAC，又ACBD，AC平面BDD1，ACBD1.同理BD1B1C.又B1CACC，BD1平面AB1C.而APBD1，AP平面AB1C.又P平面BB1C1C，P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C.故选A.二、填空题9已知直线m平面，直线n平面，mnM，直线am，an，直线bm，bn，则直线a，b的位置关系是_答案平行解析由于直线a垂直于平面内的两条相交直线m，n，则a.同理，b，则ab.10已知AF平面ABCD，DE平面ABCD，如右图所示，且AFDE，AD6，则EF_.答案6解析AF平面AC，DE平面AC，AFDE.又AFDE，四边形ADEF是平行四边形EFAD6.11如
6、图，PA平面ABC，ACB90，EFPA，则图中直角三角形的个数是_答案6解析由PA平面ABC，得PAAB，PAAC，PABC，又BCAC，ACPAA，BC平面PAC，BCPC.EFPA，PA平面ABC，EF平面ABC，EFBE，EFEC.PAB，PAC，ABC，PBC，EFC，BEF均为直角三角形12ABC的三个顶点A、B、C到平面的距离分别为2 cm、3 cm、4cm，且它们在的同侧，则ABC的重心到平面的距离为_答案3 cm解析如图，设A、B、C在平面上的射影分别为A、B、C，ABC的重心为G，连接CG并延长交AB于中点E，又设E、G在平面上的射影分别为E、G，则EAB，GCE，EE(A
7、ABB)，CC4，CG GE2 1，在直角梯形EECC中，可求得GG3.三、解答题13如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：平面BCE平面CDE.分析由题意易知AF平面CDE，只需在平面BCE中找一直线与AF平行即可证明取CE的中点G，连接FG，BG，AF.F为CD的中点，GFDE，且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE.则GFAB.又ABDE，GFAB.则四边形GFAB为平行四边形于是AFBG.ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，CD，DE平面CDE，A
8、F平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.规律总结：此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证或者从结论出发逆推分析14在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AEPD于E，l平面PCD.求证：lAE.分析转化为证明AE平面PCD，进而转化为证明AE垂直于平面PCD内的两条相交直线PD和CD.证明PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又四边形ABCD是矩形，CDAD，PAADA，PA平面PAD，AD平面PAD，CD平面PAD.又AE平面PAD，AEDC.又AEPD，PDCDD，PD平
9、面PCD，CD平面PCD，AE平面PCD.又l平面PCD，lAE.15如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交求证：EFBD1.分析转化为证明EF平面AB1C，BD1平面AB1C.证明连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，BDDD1D，AC平面BDD1B1.ACBD1，同理BD1B1C，又ACB1CC，BD1平面AB1C.EFA1D，且A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C.EFBD1.规律总结：当题中垂直条件很多，但又需证两直线的平行关系时，就要考虑直线与平
10、面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化16如图，已知四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点(1)求证：MNAB；(2)若PAAD，求证：MN平面PCD.证明(1)取CD的中点E，连接EM、EN，则CDEM，且ENPD.PA平面ABCD，PACD，又ADDC，PAADA，CD平面PAD，CDPD，从而CDEN.又EMENE，CD平面MNE.因此，MNCD，而CDAB，故MNAB.(2)在RtPAD中有PAAD，取PD的中点K，连接AK，KN，则KN綊DC綊AM，且AKPD.四边形AMNK为平行四边形，从而MNAK.因此MNPD.由(1)知MNDC，又PDDCD，MN平面PCD.
