1、初三数学教材班14等边三角形的判定 2星 等边三角形的判定()1、掌握等边三角形判定定理的证明；2、进一步学习证明的基本步骤和书写根式。建议3分钟问题引入：李师傅是工厂的锻造工，他的工作是锻造一种等边三角形零件。 如果你是工厂的检验员，你会怎样对李师傅生产的零件进行检验？建议5分钟1、那我们如何证明三个角相等的三角形是等边三角形了？已知：如图，在ABC中，A=B=C。求证：ABC是等边三角形。A=B=CBC=AC=AB(等角对等边) ABC是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形。2、一个等腰三角形满足什么条件便称为等边三角形？情况一：当等腰三角形的顶角A=60时，AB=ACB=C又A+B
2、+C=180 A=B=C=60 ABC是等边三角形。情况二：当等腰三角形的底角B=60时，AB=ACB=C=60 又A+B+C=180 A=B=C=60 ABC是等边三角形。 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60，则用判定定理2来证明建议22分钟 1已知ABC的三边长分别是a、b、c，且满足（ab）2+（bc）2+（ca）2=0，则这个三角形是等边三角形考点：等边三角形的判定；非负数的性质：偶次方1741063分析：等边三角形的判定，因
3、为一个数的平方不可能小于0，所以题中只能是各个数的平方都等于0解答：解：（ab）2+（bc）2+（ca）2=0，只能是a=b，b=c，c=a，a=b=c三角形时等边三角形点评：熟练掌握等边三角形的性质及判定定理，以及非负数的性质2如图，直线CF垂直且平分AD于点E，四边形ADCB是菱形，BA的延长线交CF于点F，连接AC（1）图中有几对全等三角形，请把它们都写出来；（2）证明：ABC是正三角形考点：全等三角形的判定；等边三角形的判定1741063专题：证明题分析：（1）利用全等三角形的判定可以得出图中共有四对全等三角形，分别是ABCCDA，AEFDEC，DECAEC，AEFAEC；（2）利用等
4、边三角形的判定可证明ABC为正三角形解答：解：（1）图中有四对全等三角形，分别为ABCCDA，AEFDEC，DECAEC，AEFAEC；（5分）（2）证明：CF垂直平分AD，AC=CD（6分）又四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=DA（7分）AB=BC=ACABC为正三角形（8分）点评：此题考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件1如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，那么这两条对角线的夹角等
5、于（）A60B75C90D135考点：等边三角形的判定1741063专题：计算题分析：根据正方体的概念和特性可知AB，AC和左面上的对角线形成一个等边三角形解答：解：由于是正方体，那么它上面所有的正方形的对角线都是相等的AB，AC，再加上左面的正方形的对角线，正好组成一个等边三角形这两条对角线的夹角为60度故选A点评：本题的关键是把已知的两条线段组合进规则图形中16如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC，点E为底边BC的中点，且DEAB试判断ADE的形状，并给出证明考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；梯形1741063专题：探究型分析：此题可以发现并证明两个平行四边形，根
6、据平行四边形的性质得到三角形的三边关系进行证明解答：解：ADE是等边三角形证明：ADBC，DEAB，四边形ABED为平行四边形AB=DE，AD=BEBE=CE，AD=CE四边形AECD是平行四边形AE=CDAB=AD=CD，AD=AE=DEADE为等边三角形点评：此题的重点是发现两个平行四边形，根据平行四边形的性质以及已知条件找到线段之间的等量关系1已知AOB=30，点P在AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形考点：等边三角形的判定；轴对称的性质1741063专题：应用题分析：根据轴对称的
7、性质可知：OP1=OP2=OP，P1OP2=60，即可判断P1OP2是等边三角形解答：解：根据轴对称的性质可知，OP1=OP2=OP，P1OP2=60P1OP2是等边三角形故选D点评：主要考查了等边三角形的判定和轴对称的性质轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等 2如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，B=60，DEAB求证：（1）DE=DC；（2）DEC是等边三角形考点：等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质1741063专题：证明题分析：（1）可证明四边形ABED是平行四边形，则DE=AB，从而得出DE=CD；（2）根据有一个角是60
8、的等腰三角形是等边三角形可证解答：证明：（1）ADBC，DEAB，四边形ABED是平行四边形，DE=AB，AB=DC，DE=DC（2）ADBC，AB=DC，B=60，C=B=60又DE=DC，DEC是等边三角形点评：本题主要考查平行四边形的判定及等边三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键1如图，ABC以点A旋转中心，按逆时针方向旋转60得到ABC，则ABB是等边三角形考点：等边三角形的判定；旋转的性质1741063分析：由旋转的性质可得AB=AB，BAB=60，即可判定ABB是等边三角形解答：解：因为，ABC以点A旋转中心，按逆时针方向旋转60得到ABC，则AB=AB，BAB=60，所以A
9、BB是等边三角形点评：此题主要考查学生对等边三角形的判定及旋转的性质的理解及运用2在ABC中，A=60，若使ABC为等边三角形，请你再添一个条件：AB=AC考点：等边三角形的判定1741063分析：欲证ABC为等边三角形，已知A=60，再添加两边相等即可解答：解：添加AB=AC；AB=ACABC为等腰三角形A=60ABC为等边三角形故填AB=AC点评：考查了等边三角形的判定：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；根据判定方法添加条件是解答这类题目常用的方法，要熟练掌握 1如图将边长为5cm的等边ABC，沿BC向右平移3cm，得到DEF，DE交AC于M，则MEC是等边三角形，DM=3cm考点
10、：等边三角形的判定；平移的性质1741063分析：本题考查平移的性质，经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等解答：解：ABDE，MEC=B，CME=A，ABC是等边三角形，MEC=EMC=ACB，MEC是等边三角形，沿BC向右平移3cm，BE=3cm，EC=2cm，DM=DEEM=52=3cm点评：本题需要将平移的性质和等边三角形的性质结合起来求解考查了学生综合运用数学知识的能力1在ABC中，A=B=C，则ABC是等边三角形考点：等边三角形的判定1741063专题：常规题型分析：在ABC中，A=B=C，根据三角形内角和为180，可得出各角的度数均为60
11、，即可得出ABC为等边三角形解答：解：在ABC中，A=B=C，又A+B+C=180，所以A=B=C=60，即得ABC为等边三角形故应填等边点评：本题主要考查了等边三角形的判定，比较简单，属于基础题目1、我们学过哪些判定等边三角形的方法了？ 答：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形（3）判定定理2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形1如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出2个考点：等边三角形的判定1741063专题：作图题分析：可连接AB，分别以A、B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧在AB的上下方各
12、有一个交点，因此最多可作2个位置不同的等边三角形解答：解：最多可作2个位置不同的等边三角形，如图点评：此题主要考查的是等边三角形的判定方法：三边长度相等的三角形是等边三角形2下面给出几种三角形，其中是等边三角形的个数有（）个有两个内角为60的三角形外角都相等的三角形一边上的高也是这边上中线的三角形有一个角是60的三角形A4B3C2D1考点：等边三角形的判定1741063专题：计算题分析：一个三角形有两个角为60，利用内角和定理得到第三个也为60，可得出此三角形三内角相等，利用等角对等边得到三条边相等，故此三角形为等边三角形；外角都相等，利用外角与相邻的内角互补，得到三内角相等，进而确定出三角形
13、为等边三角形；等腰三角形底边上的高为这边的中线，但不一定为等边三角形；有一个角为60的三角形不一定为等边三角形，比如RtABC中，A=90，B=60，C=30解答：解：有两个内角为60的三角形，由三角形的内角和定理得到第三个角为60，可得此三角形三内角相等，即三角形为等边三角形，本选项符合题意；若一个三角形三外角都相等，可得出三内角相等，故此三角形为等边三角形，本选项符合题意；一边上的高也是这边上中线的三角形为等腰三角形，不一定为等边三角形，本选项不合题意；有一个角是60的三角形不一定为等边三角形，例如：RtABC中，A=90，B=60，C=30，则是等边三角形的个数有2个故选C点评：此题考查
14、了等边三角形的判定，其中等边三角形的判定方法有：三边相等的三角形为等边三角形；三内角相等的三角形为等边三角形；有一个角为60的等腰三角形为等边三角形3等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（）A有一个内角是 60B有一个外角是120C有两个角相等D腰与底边相等考点：等边三角形的判定；等腰三角形的性质1741063分析：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形（3）判定定理2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形解答：解：A、有一个角是60的等腰三角形是等边三角形，故本选项正确；B、有一个外角是120，则该等腰三角形的一
15、个内角是60，根据“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”推知，有一外角为120的等腰三角形是等边三角形；故本选项正确；C、有两个角相等的等腰三角形有可能还是等腰三角形；故本选项错误；D、腰与底边相等的等腰三角形的三条边相等，所以腰与底边相等的等腰三角形是等边三角形；故本选项正确；故选C点评：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60，则用判定定理2来证明4如图，ACBC，AD=BD，为了使图中的BCD是等边三角形，再增加一个条件可以是（）AC
16、DABBCD=BDCBC=ABDBC=AC考点：等边三角形的判定1741063分析：由ACBC，AD=BD，根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，即可得CD=AD=BD=AB，继而可求得答案解答：解：ACBC，AD=BD，CD=AD=BD=AB，为了使图中的BCD是等边三角形，需CD=BD=BC，再增加一个条件可以是：BC=AB故选C点评：此题考查了直角三角形的性质与等边三角形的判定此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用5如果一个三角形的两条角分线又是它的两条高线，则这个三角形是等边三角形考点：等边三角形的判定1741063分析：根据等边三角形的性质直接求得结果解答：解：等边三角形每条
17、边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一），如果一个三角形的两条角分线又是它的两条高线，则这个三角形是等边三角形点评：解决此题的关键是要明确等边三角形与等腰三角形的关系等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形6若A、B、C为三个正整数，且A+B+C=12，则以A、B、C为边所组成的三角形可以是：等腰三角形；等边三角形；直角三角形，你认为以上符合条件的正确结论的序号是考点：等边三角形的判定；三角形三边关系；等腰三角形的判定；直角三角形的性质1741063分析：根据A、B、C是三个正整数，且A+B+C=12，分情况讨论得出A，B，C的值解答：解：A、B、C是三个正整数，
18、且A+B+C=12，所有A、B、C可能出现的情况如下：2，5，53，4，5，4，4，4，分别是：等腰三角形；直角三角形；等边三角形故符合条件的正确结论是故答案为：点评：此题主要考查了等边三角形，等腰三角形，直角三角形的判定，以及三角形的三边关系，综合考查了学生分类讨论的能力和特殊三角形的判定方法7如图，在矩形ABCD中，BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC、BD的交点，且CAE=15（1）求证：AOB为等边三角形；（2）求BOE度数考点：等边三角形的判定；矩形的性质1741063分析：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OB，则只需求得BAC=60，即可证明三角形是等边三角形；（2
19、）因为B=90，BAE=45，所以AB=BE，又因为ABO是等边三角形，则OBE=30，故BOE度数可求解答：（1）证明：四边形ABCD是矩形BAD=ABC=90，AO=BO=AC=BDAE是BAD的角平分线；BAE=45CAE=15BAC=60AOB是等边三角形；（2）解：在RtABE中，BAE=45AB=BEABO是等边三角形AB=BOOB=BEOBE=30，OB=BE，BOE=（18030）=75点评：此题为等边三角形判定的综合题考查学生综合运用数学知识的能力，注意结合图形解题的思想8如图，D为等边三角形ABC内一点，将BDC绕着点C旋转成AEC，则CDE是怎样的三角形？请说明理由考点：
20、等边三角形的判定1741063分析：因为ABC为等边三角形，所以BDC绕着点C旋转60成AEC，则DCE=60，DC=EC，故可判定CDE是等边三角形解答：解：CDE是等边三角形理由：ABC为等边三角形，ACB=60将BDC绕着点C旋转成AEC，旋转角为60DCE=60DC=ECCDE是等边三角形点评：本题利用了等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识解决问题考查学生综合运用数学知识的能力9如图，已知ABC中，ACB=120，CE平分ACB，ADEC，交BC的延长线于点D，（1）求BCE的度数；（2）试找出图中的等边三角形，并说明理由考点：等边三角形的判定1741063分析：（1）根据角平分线
21、的性质即可推出BCE的度数，（2）根据题意即可推出D=60，CAD=60，然后根据三角形内角和定理，即可推出ACD=60，即可推出ACD是等边三角形解答：解：（1）ACB=120，CE平分ACB，BCE=ABC=60，（2）ACD是等边三角形，BCE=60，ADEC，BCE=D=CAD=60，ACD=60，ACD是等边三角形点评：本题主要考查等边三角形的判定、平行性的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，关键在于推出BCE=D=CAD=6010如图：在EBD中，EB=ED，点C在BD上，CE=CD，BECE，A是CE延长线上一点，EA=EC试判断ABC的形状，并证明你的结论考点：等边三角形的判定1741063专题：证明题分析：因为EB=ED，CE=CD，所以可求得ECB=2EBC，又因为BECE，则ECB=60，AB=BC，故ABC是等边三角形解答：解：ABC是等边三角形CE=CD，D=DEC，ECB=D+DEC=2DBE=DE，EBC=DECB=2EBC又BECE，ECB=60BECE，AE=CE，AB=BCABC是等边三角形点评：考查了等边三角形的判定有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形
