1、椭圆理科复习试题含答案椭圆理科复习试题(含答案)山东省2014届理科数学一轮复习试题选编31：椭圆一、选择题1（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）若椭圆:()和椭圆:()的焦点相同且.给出如下四个结论:椭圆和椭圆一定没有公共点;.其中,所有正确结论的序号是（）ABCD【答案】B2（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为（）A(0,B()C(0,)D(,1)【答案】D【解析】根据正弦定理得,所以由可得,即,所以,又,即,因为,(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为0,无意义)所以
2、,即,所以,即,所以,解得,即,选D二、填空题3（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为,则=_.【答案】【解析】因为焦点在轴上.所以,所以.椭圆的离心率为,所以,解得.4（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）如图,椭圆的左、右焦点为,上顶点为A,离心率为,点P为第一象限内椭圆上的一点,若,则直线的斜率为_.【答案】因为椭圆的离心率为,所以,即.设直线的斜率为,则直线的方程为,因为,即,即,所以,解得,(舍去)或,又,即,所以,解得,所以.三、解答题5（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知椭圆,椭圆C2以C
3、1的短轴为长轴,且与C1有相同的离心率.(I)求椭圆C2的方程;(II)设直线与椭圆C2相交于不同的两点A、B,已知A点的坐标为,点在线段AB的垂直平分线上,且,求直线的方程.【答案】6（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）若椭圆:和椭圆:满足,则称这两个椭圆相似,是相似比.()求过(且与椭圆相似的椭圆的方程;()设过原点的一条射线分别与()中的两椭圆交于、点(点在线段上).若是线段上的一点,若,成等比数列,求点的轨迹方程;求的最大值和最小值.【答案】解:()设与相似的椭圆的方程.则有解得.所求方程是()当射线的斜率不存在时,设点P坐标P(0,则,.即P(0,)当射线的斜率
4、存在时,设其方程,P(由,则得同理又点P在上,则,且由,即所求方程是.又(0,)适合方程,故所求椭圆的方程是由可知,当的斜率不存在时,当的斜率存在时,综上,的最大值是8,最小值是47（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题）已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、三点.(1)求椭圆的方程:(2)若点D为椭圆上不同于、的任意一点,当内切圆的面积最大时.求内切圆圆心的坐标;(3)若直线与椭圆交于、两点,证明直线与直线的交点在定直线上并求该直线的方程.【答案】【解析】:(1)设椭圆方程为将、代入椭圆E的方程,得解得.椭圆的方程(2),设边上的高为当点在椭圆的短轴顶点时,最大为,
5、所以的最大值为.设的内切圆的半径为,因为的周长为定值6.所以,所以的最大值为.所以内切圆圆心的坐标为(3)将直线代入椭圆的方程并整理.得.设直线与椭圆的交点,由根系数的关系,得直线的方程为:,它与直线的交点坐标为同理可求得直线与直线的交点坐标为下面证明、两点重合,即证明、两点的纵坐标相等:,因此结论成立.综上可知.直线与直线的交点住直线上8（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知椭圆过点,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线与轴正半轴和轴分别交于点、,与椭圆分别交于点、,各点均不重合且满足(1)求椭圆的标准方程;(2)若,试证明:直线过定点并求此定点.【答案】解:(
6、1)设椭圆方程为,焦距为2c,由题意知b=1,且,又得所以椭圆的方程为(2)由题意设,设l方程为,由知,由题意,同理由知,(*)联立得需(*)且有(*)(*)代入(*)得,由题意,(满足(*),得l方程为,过定点(1,0),即P为定点9（2013届山东省高考压轴卷理科数学）如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2QB2,求直线l的方程.【答案】【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为x2a2+y2b
7、2=1(ab0),右焦点为F2(c,0).因为AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=c2.结合c2=a2-b2,得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,离心率e=ca=255.在RtAB1B2中,OAB1B2,故SAB1B2=12|B1B2|OA|=|OB2|OA|=c2b=b2.由题设条件SAB1B2=4,得b2=4,从而a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为x220+y24=1.(2)由(1),知B1(-2,0),B2(2,0).由题意,知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程,
8、得(m2+5)y2-4my-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=4mm25,y1y2=-16m25.又B2P=(x1-2,y1),B2Q=(x2-2,y2),B2PB2Q=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-16m21m25-16m2m25+16=-16m264m25.由PB2QB1,得B2PB2Q=0,即16m2-64=0,解得m=2.满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.10（山东
9、威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科）已知椭圆的离心率为,过右焦点做垂直于轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为.()求椭圆的标准方程;()设点,直线:,过任作一条不与轴重合的直线与椭圆相交于两点,过的中点作直线与轴交于点,为在直线上的射影,若、成等比数列,求直线的斜率的取值范围【答案】解:()由题意可得,解得椭圆的标准方程为()设的斜率为,的斜率为,直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,整理得直线与椭圆有两个公共点,或由得设则直线的方程,令,得,、成等比数列,则有,或所以,即,或由,可得由,可得的取值范围为11（山东省威海市2013届高三上学期期末考试
10、理科数学）已知圆的方程为,过点作圆的两条切线,切点分别为、,直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点.()求椭圆的方程;()设是椭圆(垂直于轴的一条弦,所在直线的方程为且是椭圆上异于、的任意一点,直线、分别交定直线于两点、,求证.【答案】解:()观察知,是圆的一条切线,切点为,设为圆心,根据圆的切线性质,所以,所以直线的方程为线与轴相交于,依题意,所求椭圆的方程为()椭圆方程为,设则有,在直线的方程中,令,整理得同理,并将代入得=.而=且,12（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知椭圆:的焦距为,离心率为,其右焦点为,过点作直线交椭圆于另一点.()若,求外接圆的方程;()若过点的直线
11、与椭圆相交于两点、,设为上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围.【答案】解:()由题意知:,又,解得:椭圆的方程为:可得:,设,则,即由,或即,或当的坐标为时,外接圆是以为圆心,为半径的圆,即当的坐标为时,所以为直角三角形,其外接圆是以线段为直径的圆,圆心坐标为,半径为,外接圆的方程为综上可知:外接圆方程是,或()由题意可知直线的斜率存在.设,由得:由得:(),即,结合()得:,从而,点在椭圆上,整理得:即,或13（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题）椭圆的两个焦点为,M是椭圆上的一点,且满足.()求离心率的取值范围;()当离心率e取得最小值时,椭圆上的点到焦点的
12、最近距离为.求此时椭圆G的方程;设斜率为k(k0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B,Q为AB的中点,问A、B两点能否关于过点、Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.【答案】解:(1)设M(x,y),则由又M在椭圆上,又0x2a2,(2)依题意得:椭圆方程是:.设l:y=kx+m,由而0可得m232k2+16又A、B两点关于过点、Q的直线对称,设A(x1,y1),B(x2,y2),则又k0,或需求的k的取值范围是或14（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知椭圆C:的离心率为,以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设
13、P(4,0),A,B是椭圆C上关于轴对称的任意两个不同的点,连接PB交椭圆C于另一点E,证明:直线AE与轴相交于定点Q;(3)在(2)的条件下,设过点Q的直线与椭圆C交于M,N两点,求的取值范围.【答案】【解析】(1)由题意知,所以,即.又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆,与直线相切,所以,所以,故椭圆C的方程为.(2)由题意知直线PB的斜率存在且不为0,则直线PB的方程为.由得.设点,则.由题意知直线AE的斜率存在,则直线AE的方程为.令,得,将,4)代入整理得.由式利用根与系数的关系得,代入式整理得.所以直线AE与轴相交于定点Q(1,0).(3)当过点Q的直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为,.由得,易知,由根与系数的关系知,则,则,因为,所以,所以,所以.当过点Q的直线MN的斜率不存在时,其方程为,代入椭圆方程得,不妨设,此时.综上所述,的取值范围是.15（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）已知长方形ABCD,BC=1.以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.()求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程;()过点P(0,2)的直线交()中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
