1、山财自考37线性代数考核作业已填好答案汇编线性代数（经管类）综合试题一（课程代码4184 ）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分21 22-2為1 吗1 -如备1.设d二码1 %如二mh0贝y d1=吗1範如如A. 2M B.2MC. 6MD.6M2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C,则满 足(D ) A. AR B. A = O C.| A| = 03.设A, B均为n阶方阵，则(A) A.| A+AB=O，则 |A|=0 或|E+B|=
2、0 B.( A+B) 2=a+2AE+B2C.当 AE=O时，有 A=0或 B=O D.( AB-1二BZ1 (a4.二阶矩阵A(B) (d为f d(alc幻B.cC. c 町D.& d)A.C 丿，|H=1 ,则 A-1 =丛，则下列说法正确的是（B ）.A.若两向量组等价，则B. 若两向量组等价，则r（%於】）=r（艮屆厂駅）C. 若s = t，则两向量组等价.D. 若r（qd耳）=r（A/妙）,则两向量组等价.6. 向量组S如 丁】线性相关的充分必要条件是 （C ）.A. 1吗耳中至少有一个零向量B. 片严 庐I中至少有两个向量对应分量成比例C. 卩中至少有一个向量可由其余向量线性表示d
3、. q可由坷吗厂耳1线性表示7. 设向量组有两个极大无关组环咯心与 片丹吗，则下列成立的是（C ）.A. r与s未必相等 B. r + s = mD.C. r = s8. 对方程组Ax = b与其导出组Ax = o,下列命题正确的是（D ）.A. Ax =B. Ax =o有解时，Ax = b必有解.=o有无穷多解时,Ax = b有无穷多解.C.Ax =b无解时，Ax =o也无解.D.Ax =b有惟一解时，Ax = o只有零解.I巧十 E-x = 0 召卡辰=0XJ 01有非零解，则k = ( D).A. 2 B. 3 C. -1 D. 110. n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（D ）.A.
4、 |A|0 B.存在n阶方阵C使A=CTCD.各阶顺序主子式均为正数C.负惯性指标为零二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每 小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. 四阶行列式D中第3列元素依次为-1, 2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3,-7, 4,贝S D = -15 .12. 若方阵A满足A2 = A，且A吒，则IA= 0 .Mh-13. 若A为3阶方阵，且 ，则|2耳二 4 .q o -i pA= 2 -1 -2 614. 设矩阵 U 1 f 4丿的秩为2,则t = -3 .15. 设向量 d = (6, 8, 0), P=(4, 3 5)，则(订
5、)二 0 .16. 设n元齐次线性方程组 Ax = o, r(A)= r 0 2 420. 若矩阵A与B=W 0 3丿相似，则a的特征值为 1,2,3三、计算题（本大题共6小题，每小题9分,共54分）1 + x 1 00x0 001 1 0011 00=xy=xy10 0 1 + y 100 y00 0 1100 11rl1-C4-211X =322.解矩阵方程：uI1JI=x2y21+X11111-x11111 + 121.求行列式111的值1 + x1111 -卜x 111 解1 1-x11=x - x00111 + y11 11 + y11111 -y0 0-y-y,所以A二r 1 1-
6、1、a解：令A=-2 11,B=31 11J J 1 1-110 0 Z1 1 - 1 1 0 0、因为（AE）=-2 1101 00 3-1 2 1 01 1100 1丿RO 2 -101I J由 AX=B得 X=AB=2、3生32 J23. 求向量组坷=(1,1,2, 3 ) , 2=( 1,1,1, 1 ), % =(1, 3, 3,所以, 3 ； ： 4=7 1-3 :- 35 ) , 5 =(4, 2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用 该极大无关组线性表示.广1-114、1-114r rr r002-6002-6(8 a 2% 5)=011-3031-31。02
7、6丿042-61-114、1-1141007、002-6011-30100011-3001-3001-3e0-26000 1000解：将已知向量按列构成矩阵,并对其进行行变换:极大无关组为：2 ,：1 ,r ( : ! ： 2 3- 4) =3,為-亏 +X, 4 E =1=可 + 2巧一号4 4j =224. a取何值时，方程组 冷*7-4可44%=/!有解？并求其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示) .解：对方程组的增广矩阵施以初等变换：2-11 11、广12 - 14 2A=12-1 42t0-5 3-7 - 317_4 11a卫5 - 37 a _ 21)IJ(12-1 4
8、2t 0_5 3 - 7 - 30 0 0 0 a _ 5若方程有解，则r( A)=r (A),故a=5当a=5时，继续施以初等行变换得：1535065750453,原方程组的同解方程组为:504 16= X3X45 553 37=_ + _X3X45 55XiX2X3,X 4为自由未知量，令Xa=X4=0得原方程组的一个特解:533与导出组同解的方程组为:500丿XiX2X4X3,X 4为自由未知量,f yX3（200、A 12-125.已知1 101J，求A的特征值及特征向量，并判断 A能否对角化，若能，求可逆矩阵 P,使P -AP二A （对角形矩阵）.分别取0丿得到导出组的基础解系:（P
9、6、 55375-5103 1,所以,方程组的全部解为,其中Ci，C2为任意常数解：矩阵A的特征多项式为:01 =（九一2）2（人-1）紅-1人-2 0址-A二-1-2所以，A的特征值为：1-1 0对于：1二2 =2，求齐次线性方程组（2E -A）x =0的基础解系, 00010-T2E A =-101T00010b.0I0,得基础解系:1I0从而矩阵A3c1 1 +c的对应于特征值2的全部特征向量为:10C1 , C2 不全为零对于* = 1，求齐次线性性方程组（ E-A） x=O的基础解系,(._ 1 0 010 0、3E _ A =-1 - 1 1T0 1 - 1，得基础解糸.1，从而矩
10、阵A_ 1 0 0 J0 0 0 J12 - X3)2 - 2x； - X： - 4X2X3=(x1 2x2 - 2x3)2 - 2x； 4x2x3 - 5x；=(X1 2x2 - 2x3)2 - Nx； - 2x2X3 x；) - 3x；=(X1 - 2X2 - 2X3)2 - NX? - X3)2 - 3x；y = X1 2X2 _ 2X3 X1 = y _ 2y2令 t y? = X2 X3 ，即 X2 = y? + y3y3 = X3 X3 = y得二次型的标准型为:四、证明题（本大题共6分）27.设向量H）耳（1耳（0山），证明向量组 叫4吗是R3空间中的一个基.1 1：1, ：2,
11、 ：3线性无关，证：因为1 11 1所以向量组：1, 3是R3空间的一个基线性代数（经管类）综合试题二（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 若三(C ).C. -1=0, 则D. -22.设A、B为n阶方阵，则(佝 恵成立的充要条件是(D).3.设A可逆B. B可逆c. IA=| BD. AB=BA阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵，则(A).C.A4B .才AnjiD .qI1 =i212324-1；的秩为4.矩阵2 , 则D. -1(B).C.
12、 0Ax=o 的5.设3M矩阵A的秩r(A)=1，足人7是齐次线性方程组三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为(D).A.卩艮叩卩 B. 卩C .庄几# 7 7辽 D .兀几0*6.向量叫二仏2次吗二(2, 2? 2)吗二(3卫約线性相关则(c).A. k =-4 B . k = 4 C. k =-3 D. k = 37. 设ui, U2是非齐次线性方程组Ax= b的两个解，若隅 是其导出组Ax= o的解，则有 （B ）.A. C1+C2 =1 B. ci= c C. ci+ C2 = 0 D . ci= 2c28. 设A为n（n2阶方阵，且尼E则必有 （B ）.A . A的行列式等于1
13、B. A的秩等于nC . A的逆矩阵等于ED . A的特征值均为19. 设三阶矩阵 A的特征值为 2, 1, 1 , 则A的特征值为（D ）.A .1,2B .2, 1, 1C . 2,1D. 2 , 1, 110.二次型几佔对二十毎十3丘 是(A ).A .正定的B .半正定的C .负定的D.不定的 、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1 1 13 1 411.8 9 5=5 .12.设A为三阶方阵，且|A|=4，则|2A|= 32,13.设00 则 Ab10丿（2 1 ：14.设A二曰一2丿，则A-1 =2 -3丿，求k的值，
14、使A的秩r(A)分别等于1, 2, 3.解：对矩阵广1 - 23k、q-23k 、A =-1 2k-3T02k-23k 3k - 2302k-23 - 3k2)-23k、(1-2A施行初等变换:2k - 2-3k2 060000k - 103k - 3 -3k3kk - 1(k +2)(k - 1)当k=1时,广1000，矩阵A的秩r(A) =1；(1当k=-2时,-3，矩阵A的秩r(A)=2；(1当k- 1且k = -2时,3k11，矩阵A的秩r( A)=3.24.求向量组1耳=丐0丿410丿的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示解：将所给列向量构成矩阵 A，然后实
15、施初等行变换1112123413710d41320（：1： 2： 3： 4）二勺0 01112、广1112、0122T012202680024312180 12 20 0 123, :r） = 3 ,向量组的一个极大无关组为： ：1，：23,且有 4 = 2：j - 22 2 3.jq +2X2-214-3X4 =0 + 24 = 025. 求线性方程组L壬+眄-吗+7习=0的基础解系，并用基础解系表示其通解.解：对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换:*12-2A = 2 3 - 1 135*1 0 4t 0 1 -30 0 03、2 t7丿-5、4010.00 1.0 0-2 3、-
16、340 0丿与原方程组同解的方程组为xi = 4X3 + 5X4 甘中x2= 3x3 - 4x4 、X3,X 4为自由未知量。X3X4分别取,0得基础解系：Vi5 3，V2 =-410数）方程组的通解为： CiVi C2V2J 4、广5、3+ C2-4101I1Ci(Ci，C2为任意常26.已知矩阵求正交矩阵P和对角矩阵 A,使F-iAP=A.解：矩阵A的特征多项式为:得矩阵A的所有特征值为1二2 = 03 = 3对于1 = 2 =0，求方程组（0EA）x二O的基础解系J 1-1-111、-1-1-1T0001-1-bt0、00丿将此线性无关的特征向量正交化，得:12121,再标准化，得:1
17、(1、V 7611忑0(2 =_7602i ) v6 丿1f 2 - 1 - 11 0 一广-1 2 - 1T0 1-1，方程组的基础解糸为。3 =1-1 - 1 2 J0 0 01 JJ丿二 O1对于3二3解方程组（3E - A）x101 116 V31 10 0 00 0 0.0 0 3I J则P是正交矩阵，且 PAP=i四、证明题（本大题共6分）27.设向量组叫心2线性无关，证明：向量组 岭坷+岭坷吗+务r叫吗+“ +马也线性无关.证：令 : r 亠 k2（ :- :：2）亠 k3（r 亠：2 亠很3）亠亠 ks（r 亠：2 :s） = 0整理得：kr亠k2亠 亠ks佝 亠（k2亠k3亠
18、 亠ks）： 2亠 亠ks： s =0因为1,：2：s线性无关，所以 + k2 + + ks 二 + ks = 0 = 0k2 + k3 + + ks = 0 k2 = 0* 解得： ks+ ks = 0 ks 二=0ks =0 ks = 0故-1，冷阳1，鳥21 ：；2亠，亠6线性无关。线性代数（经管类）综合试题三（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 当（D ）成立时，呛2）阶行列式的值为零.A.行列式主对角线上的元素全为零n(n-X)B. 行列式中有 个元素等于零C. 行列式至少有一个 -1)阶子式为零D. 行列式所有
