1、整式乘除经典讲义整式的乘除讲义三 . 同底数幂的乘法同底数幕的乘法法则：am an am n（m,n都是正数）是幕的运算中最基本的法则，在应用法 则运算时, 要注意以下几点 :1法则使用的前提条件是：幕的底数相同而且是相乘时，底数 a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；2指数是 1 时，不要误以为没有指数；3不要将同底数幕的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加； 而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；4当三个或三个以上同底数幕相乘时，法则可推广为 am an aP am n p （其中m n、p均 为正数）；5公式还可以逆用：amn am a
2、n （m n均为正整数）四幕的乘方与积的乘方1.幕的乘方法则：（am）n amn（m,n都是正数）是幕的乘法法则为基础推导出来的，但两 者不能混淆 .2.（am）n （an）m amn（m, n 都为正数）.3.底数有负号时，运算时要注意，底数是a与（-a）时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底,如将（-a） 3化成-a34.底数有时形式不同，但可以化成相同。5.要注意区别（ab） n与（a+b） n意义是不同的，不要误以为（a+b） n=an+bn （a、b均不 为零）。6.积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘，即（ab）n anbn （n 为正整数）。7.幕
3、的乘方与积乘方法则均可逆向运用。五同底数幕的除法1.同底数幕的除法法则：同底数幕相除,底数不变,指数相减,即am an amn （a工0,m、n都是正数，且mn）.2.在应用时需要注意以下几点：1法则使用的前提条件是“同底数幕相除”而且 0不能做除数，所以法则中a 0.2任何不等于0的数的0次幕等于1,即a0 1（a 0）,如100 1 ,（-2.5 =1）,则0无意义3任何不等于0的数的-p次幕（p是正整数），等于这个数的p的次幕的倒数，即ap4运算要注意运算顺序六.整式的乘法1.单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项 式里含有的字母，连同它的指数作为积
4、的一个因式。单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：1积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；2相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；3只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；4单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；5单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。2 单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。单项式与多项式相乘时要注意以下几点：1单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式
5、的项数相同;2运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；3在混合运算时，要注意运算顺序。3多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把 所得的积相加。多项式与多项式相乘时要注意以下几点：1多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数 应等于原两个多项式项数的积；2多项式相乘的结果应注意合并同类项；3对含有同一个字母的一次项系数是 1 的两个一次二项式相乘(x a)(x b) x2 (a b)x ab，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数 项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为
6、 1 的两个一次二项式(mx+a 和(nx+b)相乘可以得到(mx a)(nx b) mnx2 (mb ma)x ab七平方差公式1平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即 (a b)( a b) a2 b2。其结构特征是：公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数;公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。八完全平方公式1 完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们 的积的 2 倍，即 (a b)2 a 2 2ab b2 ;口决：首平方，尾平方， 2 倍乘积在中央;2结构特征：1公式左边是二项式的完全平方;2
7、公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的 2倍。3在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号， 以及避免出现 (a b)2 a2 b2 这样的错误。九整式的除法1单项式除法单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的 字母，则连同它的指数作为商的一个因式;2多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点 是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相 同，另外还要特别注意符号。(1)填空题(每小题2分，共计20分)1. x =( x3) 2 = x12
8、十 x ()【答案】x4 ； 2.2.4 (m n) 3*( n m) 2 = .【答案】4 (m n).3. x2 ( x) 3 ( x) 2= .【答案】x7.4.(2a b) ()= b2 4a2.【答案】2a b.5.(a b) 2=( a+ b) 2+ .【答案】4ab.6. ( -) 2 + ?= ; 4101x 0.25 99= .【答案】10; 16.37. 202 x 191 =( )( )= .【答案】20+ -，20 -，399-.3 3 3 3 98.用科学记数法表示0.0000308 = .【答案】3.08 x 105.2 2 29.(x 2y+ 1) (x 2y 1
9、) =( ) ( ) = .2【答案】x - 2y，1x - 4xy + 4y .z _ x n 2 2n z x / 3、 2 5 z 4 3 7 z x 2n 3 3 n 3n 6(A) a a = a (B) (a ) = a (C) x x x = x (D) a 十a = a【答案】D.12. x21*1 可写作 ( )(A) (x2)时1 (B) (X。2+1 (C) x x21 (D) (X。n*1【答案】C.13. 下列运算正确的是 ( )3 4 4(A)(-2ab) (- 3ab) = 54a b(B)5x ( 3x ) = 15x2 3 7(C)( 0.16 ) ( 10b
10、) = b1(D)(2X 10n) ( X10n)= 1021【答案】D.214化简(anbn)n,结果正确的是 ( )(A) a2nbmn (B) an2bmn (C) an2bmn (D) a2nbm【答案】C.15.若ab,下列各式中不能成立的是 ( )(A) (a+ b) =( a b) (B) (a+ b) (a b) = ( b + a) (b a)(C) (a b) 2n =(b a) 2n (D) (a b) 3=( b a) 3【答案】B.16.下列各组数中，互为相反数的是( )(A) (-2) 3与 23 ( B) (-2) 2与 2-2(C)- 33与(-1) 3 ( D
11、) (-3) -3与(-)33 3【答案】D.17 .下列各式中正确的是 ( )2 2(A) (a+ 4) (a-4)= a -4 ( B) (5x 1) (1-5x)= 25x - 1(C) (-3x + 2) 2= 4- 12x + 9x2 (D) (x 3) (x-9)= x2-27【答案】C.18.如果 x2- kx- ab= (x-a) (x+ b),则 k 应为 ( )(A) a+ b (B) a b (C) b a (D) a b【答案】B.(3)计算(每题4分，共24分)19. (1) (-3xy2) 3 (丄 x3y) 2; 【答案】一3x9y8.6 422/2433 152
12、 16 4(2)4a x ( axy)*( axy )；【答案】一 axy.5 2 5(3)(2a-3b) 2 (2a + 3b) 2；【答案】16a4-72a2b2 + 81b4.(4) (2x + 5y) (2x-5y) (-4x2-25y2); 【答案】625y4- 16x4.(5)(20an2bn- 14an-1bn+1+ 8a2nb)宁(-2an 3b)；【答案】一10abn 1+ 7a2bn-4an+3.(6) (x 3) (2x + 1)- 3 (2x- 1)【答案】10x2 + 7x- 6.20用简便方法计算：（每小题3分，共9分）2（1） 98 ;【答案】(100-2) 2=
13、 9604.(2)899X901+1;2【答案】(900- 1) (900+ 1)+ 1 = 900 = 810000.,、 ，10、 2002 , 、 1000(3)( - ) ( 0.49)7（四）解答题（每题6分，共24分）【答案】-41.a2 b222.已知 a+ b= 5, ab= 7,求 ,a2-ab+ b2的值.2【答案】a2 b2 1 2 1 z _ . x 2 . 11一 (a+ b) 2ab 一 (a+ b) ab一2 2 2 22a -2 2ab+ b =( a+ b) 3ab = 4.23.已知(a+ b) 2= 10, (a-b) 2= 2,求 a2 + b2, ab
14、 的值.【答案】a2 + b2= 1 (a+ b) 2+( a b) = 6,2ab= 1 (a+ b)+(a b) 2 = 2.424.已知 a2 + b2 + c2 = ab+ bc+ ac，求证 a= b= c.【答案】用配方法，a2 + b2 + c2 ab bc ac = 0,二 2 (a2 + b2 + c2 ab ac bc) = 0,即(a b) 2 +(b c) 2+(c a) 2 = 0.a a= b= c.(5)解方程组与不等式(25题3分，26题4分，共7分)25 (x 1)(y 5) x(y 2) 0 .(x 4)(y 3) xy 3.7【答案】x 3 y 2.26. (x + 1) (x2 x+ 1) x (x 1) 2v( 2x 1) (x 3).【答案】x 1 .3
