1、重点高中数学竞赛 历届IMO竞赛试题146届完整中文版第1届IMO1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.设(x+(2x-1)+(x-(2x-1)=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a) A=2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0,试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平
2、均值。 5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证 AF、BC相交于N点； （b.) 求证 不论点M如何选取 直线MN 都通过一定点 S； (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO1. 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且
3、 N/11等于N的各位数字的平方和。 2. 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - (1 + 2x)2 = 43 A. 并求出等号何时成立。3. 解方程 cosnx - sinnx = 1, 其中n是一个自然数。 4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。 5. 作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，锐角AMB = ,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是 b tan(/2) = c 1/2.3. 正方体 ABCDABCD（ABCD、ABCD分别
4、是上下底）。一点 x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形BCCB的边界以方向BCCBB运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B开始运动。求线断XY的中点的轨迹。 4. 解方程cos2x + cos22x + cos23x = 1。 5. 在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。 6. 一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为 r，求证这两个圆的圆心的距离是(R(R-2r)。 7. 求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切； 反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是
5、正四面体。第5届IMO1. 找出下列方程的所有实数根（其中 p是实参数）： (x2-p)+2(x2-1) = x. 2. 给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足 角APX是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。 3. 在一个 n边形中，所有内角都相等，边长依次是 a1 = a2 = . = an，求证：所有边长都相等。4. 设 y是一个参数，试找出方程组 xi + xi+2 = y xi+1 (i = 1, . , 5)的所有解 x1, . , x5。 5. 求证 cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.6. 五个同学A、B、C、D
6、、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何？ 第6届IMO1. (a) 求所有正整数 n 使得 2n - 1 能被 7整除； (b) 求证不存在正整数 n 使得 2n + 1 能被 7 整除。2. 假设a、b、c是某三角形的三边长，求证： a2(b +
7、c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) 2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有n条。 第8届IMO1. 在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。请问有多少学生只答对B？ 2. 三角形ABC，如果， BC + AC = tan C/2 (BC tan A + AC tan B).则该三角形为
8、等腰三角形。3. 求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之和。 4. 对任何自然数 n以及满足 sin 2nx 不为 0 的实数x，求证： 1/sin 2x + 1/sin 4x + . + 1/sin 2nx = cot x - cot 2nx.5. ai （i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4） |ai - a1| x1 + |ai - a2| x2 + |ai - a3| x3 + |ai - a4| x4 = 1。 6. 在三角形ABC的边BC、CA、AB上分别任选三内点K、L、M，求证三角形AML、BKM、CLK之
9、中至少有一个的面积小于活等于三角形ABC的四分之一。 第9届IMO1. 平行四边形ABCD，边长 AB = a, AD = 1, 角 BAD = A, 已知三角形ABD是一个锐角三角形，求证以A,B,C,D为圆心半径为1的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要条件是 a cos A + 3 sin A. 2. 若四面体有且仅有一边大于1，求证其体积 1/8. 3. k, m, n 是自然数 且 m + k + 1 是一个大于 n+1 的素数，令cs = s(s+1)，求证 (cm+1 - ck)(cm+2 - ck) . (cm+n - ck)可被乘积 c1c2 . cn整除。 4. 任意两个锐角三
10、角形 A0B0C0 和 A1B1C1 。考虑所有与三角形 A1B1C1相似且外接于三角形 A0B0C0 的所有三角形ABC（即BC边包含A0，CA边包含B0，AB边包含 C0），试构造出满足此条件的面积最大的三角形ABC。 5. a1, . , a8 是不全为0的实数，令 cn = a1n + a2n + . + a8n ( n = 1, 2, 3, . )，如果数列 cn 中有无穷多项等于0，试求出所有使 cn0 的自然数n。 6. 在一次运动会中，连续 n 天内（n1）一共颁发了 m 块奖牌。在第一天，颁发了一块奖牌以及剩下 m-1 个中的 1/7；在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的 1/7
11、；依此类推。在最后一天即第 n 天，剩下的n块奖牌全部颁发完毕。问该运动会共进行了几天，一共颁发了多少块奖牌？ 第10届IMO1. 求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另外一个角的两倍。 2. 试找出所有的正整数 n，其各位数的乘积等于 n2 - 10n - 22。 3. a, b, c 是不全为0的实数。x1, x2, . , xn 是满足下述方程组的未知数： axi2 + bxi + c = xi+1, 对于 i=1,2,.,n-1； axn2 + bxn + c = x1；若设 M= (b - 1)2 - 4ac ，求证： a. 若 M0，则方程组不止有一个解。 4.
12、求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。 5. 令f是定义在所有实数并取值实数的函数，并且对于某个 a0及任何 x0 有 f(x + a) = 1/2 +f(x)-f(x)2 求证 f 是周期函数，并且当 a=1时请给出一个非常值函数的例子。 6. 对任何自然数 n，试计算下式的值 (n+1)/2 + (n+2)/4 + (n+4)/8 + . + (n+2k)/2k+1 + . 其中x表示不超过 x 的最大整数。 第11届IMO1. 对任意正整数 n，求证有无穷多个正整数 m 使得 n4 + m 不是质数。 2. 令 f(x) = cos(a1 + x) +
13、 1/2 cos(a2 + x) + 1/4 cos(a3 + x) + . + 1/2n-1 cos(an + x), 其中 ai 是实数常量，x是实数变量。现已知 f(x1) = f(x2) = 0，求证 x1 - x2 是 的整数倍。 3. 对每一个k = 1, 2, 3, 4, 5，试找出 a0 应满足的充要条件使得存在一个四面体，其中 k个边长均为 a，其余 6-k个边的长度均为 1。 4.以AB为直径的半圆弧，C是其上不同于A、B的一点，D是C向AB作垂线的垂足。K1 是三角形ABC的内切圆， 圆K2 与CD、DA以及半圆都相切，圆K3 与CD、DB及半圆相切。求证：圆K1、 K2
14、 、 K3 除AB外还有一条公切线。 5.平面上已给定了 n4个点，无三点共线。求证至少有 (n-3)(n-4)/2 个凸四边形，其顶点都是已给点集中的点。 6. 给定实数x1, x2, y1, y2, z1, z2, 满足 x1 0, x2 0, x1y1 z12, x2y2 z22，求证： 8 1 +1 (x1 + x2)(y1 + y2) - (z1 + z2)2x1y1 - z12x2y2 - z22并给出等号成立的充分必要条件。 第12届IMO1. M 是三角形ABC的边AB上的任何一点，r、r1、r2 分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q 是AB外旁切圆的半径（即与
15、AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆），类似的， q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的圆心。求证： r1r2q = rq1q2。 2. 已知0 xi 0, xn-1 0。如果 ab，xnxn-1.x0 是数A在a进制下的表示、也是B在b进制下的表示，则 xn-1xn-2.x0 表示了 A在a进制下的表示、B在b进制下的表示。求证：ABAB。 3. 实数 a0, a1, a2, .满足 1 = a0 = a1 = a2 = .，并定义 bn =(1 - ak-1/ak)/ak其中求和是k从1到n。a. 求证0 bn2； b. 设c满足0c c成立。 4. 试找出所有的正整数 n 使得集合
16、n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5 可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。 5. 四面体ABCD，角BDC是直角，D向平面ABC作垂线的垂足恰好是三角形ABC的垂心。求证： (AB + BC + CA)2 6(AD2 + BD2 + CD2). 并问何时等号成立？ 6. 平面上给定100个点，无三点共线，求证：这些点构成的三角形中至多70% 是锐角三角形。 第13届IMO1.令 En = (a1 - a2)(a1 - a3) . (a1 - an) + (a2 - a1)(a2 - a3) . (a2 - an) + . + (an - a1)(an - a2)
17、. (an - an-1). 求证 En = 0 对于n=3或5成立，而对于其他自然数n2不成立。 2. 凸多边形 P1 的顶点是 A1, A2, . , A9，若将顶点 A1 平移至Ai 时则 P1 平移成了多边形 Pi ，求证 P1, P2, . , P9 之中至少有两个具有一共同内点。 3. 求证能够找到一个由形式 2n - 3 （n是正整数）的整数构成的集合并满足任何两个元素互质。 4.四面体ABCD的所有面都是锐角三角形，在线段AB上取一内点X，现在BC上取内点Y，CD上取内点Z，AD上内点T。求证： a. 如果 DAB+BCD CDA+ABC，则没有一条闭路径XYZTX具有最小值；
18、 b. 如果 DAB+BCD CDA+ABC，则有无穷多最短路径XYZTX，它们的长度是 2AC sin(k/2)，其中 k=BAC+CAD+DAB。 5. 对任何自然数 m ，求证存在平面上一有限点集 S，满足：对S中的每一个点 A，存在S中的恰好 m 个点与 A的距离为单位长。 6. 设 A = (aij),其中 i, j = 1, 2, . , n，是一个方阵，元素 aij 都是非负整数。若 i、j使得aij = 0，则第i行和第j列的元素之和 大于或等于 n。求证：该方阵中所有元素之和 大于或等于n2/2。 第14届IMO1.有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使
19、得这两个子集中的元素之和相等。 2.设 n4， 求证每一个圆内接四边形都可以分割成 n 个圆内接四边形。 3. m,n是任意非负整数，求证下式是一整数。 (2m)!(2n)! m!n!(m+n)!4. 试找出下述方程组的所有正实数解： (x12 - x3x5)(x22 - x3x5) = 0 (x22 - x4x1)(x32 - x4x1) = 0 (x32 - x5x2)(x42 - x5x2) = 0 (x42 - x1x3)(x52 - x1x3) = 0 (x52 - x2x4)(x12 - x2x4) = 0 5. f、g都是定义在实数上并取值实数的函数，并且满足方程 f(x + y
20、) + f(x - y) = 2f(x)g(y)，又已知 f 不恒等于0且 |f(x)| = 1 。求证对所有x同样有 |g(x)| = 1.2. 问能否在空间中找到一个不共面的有限点集M使得，对M中的任何两点A、B，都可以再在M中寻找到两点C、D，而直线AB、CD是不相同的并且是互相平行的。 3. 考虑所有这样的实数a、b使得方程 x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0至少有一个实根。试找出 a2 + b2 的最小值。4. 一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什
21、么样的路径？ 5. G是具有下述形式且非常值的函数的集合： f(x) = ax + b，其中a,b,x都是实数。并且已知G具有这些性质： 如果f,g都属于G，则 fg(x) = f(g(x) 也属于G； 如果f属于G，则 f-1(x) = x/a - b/a 也属于G； 对任何f属于G，存在一个实数 xf 使得 f(xf) = xf成立。求证：存在实数 M 使得 f(M)=M对所有G中的函数f都成立。6. a1, a2, . , an 是正实数，实数 q 满足0 q 1，试求出n格实数 b1, b2, . , bn 使得： a. ai bi ，i = 1, 2, . , n； b. q bi+
22、1/bi 1/q ， i = 1, 2, . , n-1； c. b1 + b2 + . + bn (a1 + a2 + . + an)(1 + q)/(1 - q). 第16届IMO1. 三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数，并且每张牌上的数都不相同。在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码。当游戏进行时，玩家手上的筹码自然是越来越多。假设游戏至少进行了两轮以上。在最后一轮结束时，第一个玩家有筹码20个，第二个玩家有10个，第三个玩家有9个。又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码。试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码？ 2. 三角形ABC，求证在边AB上存在一点D使得CD是AD、DB的几何平均值的充要条件是 sin A sin B 0的整系数多项式，n是P(X)=1或-1的不同整根的个数，则有 n = x2 = . = xn, 以及y1 = y2 = . = yn 都是实数，求证 若z1 ,z2 ,.,zn 是
