1、完整版初中数学几何模型大全+经典题型含答案初中数学几何模型大全 + 经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角均分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共极点旋转对称全等模型说明：以角均分线为轴在角两边进行截长补短也许作边的垂线，形成对称全等。两边进行边也许角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。第 1 页 共 44 页对称半角模型说明：上图依次是 45 、30 、22.5 、15 及有一个角是 30 直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形也许等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型半角：有一个角含 1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构
2、造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接搜寻旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段变换成旋转全等问题第 2 页 共 44 页旋转半角模型说明：旋转半角的特色是相邻等线段所成角含一个二分之一角，经过旋转将别的两个和为二分之一的角拼接在一起， 成对称全等。自旋转模型构造方法：遇60 度旋 60 度，造等边三角形遇90 度旋 90 度，造等腰直角第 3 页 共 44 页遇等腰旋极点，造旋转全等遇中点旋 180 度，造中心对称第 4 页 共 44 页共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形， 第三边所成的角是一个经常察看的内容。经过“ 8”字模型可以证明。模型变形第 5 页 共 44 页说明：模型变形主若是
3、两个正多边形也许等腰三角形的夹角的变化，别的是等腰直角三角形与正方形的混用。第 6 页 共 44 页当遇到复杂图形找不到旋转全等时， 先找两个正多边形也许等腰三角形的公共极点， 围绕公共极点找到两组相邻等线段， 分组组成三角形证全等。中点旋转：说明：两个正方形、 两个等腰直角三角形也许一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形极点连线的中点， 证明别的两个极点与中点所成图形为等腰直角三角形。 证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的素来角边， 转变为要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（也许正方形）公旋转极点，经过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。第 7 页 共
4、44 页几何最值模型对称最值 (两点间线段最短 )对称最值 (点到直线垂线段最短 )第 8 页 共 44 页说明：经过对称进行等量代换， 变换成两点间距离及点到直线距离。旋转最值 (共线有最值 )说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段， 定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。剪拼模型第 9 页 共 44 页三角形四边形四边形四边形说明：剪拼主若是经过中点的 180 度旋转及平移改变图形的形状。第 10 页 共 44 页矩形正方形说明：经过射影定理找到正方形的边长， 经过平移与旋转完成形状改变第 11 页 共 44 页正方形 + 等腰直角三角形正方形面积均分旋转相似模型第 12
5、页 共 44 页说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是 300 角的直角三角形成旋转相似。实行：两个任意相似三角形旋转成必然角度，成旋转相似。第三边所成夹角吻合旋转“ 8”字的规律。相似模型第 13 页 共 44 页说明：注意边和角的对应， 相等线段也许相等比值在证明相似中起到经过等量代换来构造相似三角形的作用。说明：（ 1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30 度、 45度、 60 度形式出现的居多。（2 ）内外角均分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不相同之处。别的，相似、射影定理、订交弦定理（可以实行到圆第 14 页 共 44 页幂定理）之间的比值可以变换成乘积，经过
6、等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明获取需要的结论。说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行， 依照题目的条件也许结论的比值来做相应的平行线。第 15 页 共 44 页第 16 页 共 44 页第 17 页 共 44 页第 18 页 共 44 页第 19 页 共 44 页第 20 页 共 44 页第 21 页 共 44 页初中数学经典几何题（附答案）经典难题（一）1、已知：如图， O 是半圆的圆心， C、 E 是圆上的两点， CD AB ，EFAB ， EG CO第 22 页 共 44 页求证： CD GF（初二）CEGA BD O F2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PAD P
7、DA 15 0 求证：PBC 是正三角形（初二）A DPB C3、如图，已知四边形 ABCD 、A 1B 1 C1D 1 都是正方形， A 2 、B2 、C2、 D 2 分别是 AA 1 、BB 1、CC1 、DD 1 的中点求证：四边形 A 2 B2 C2D 2 是正方形（初二）第 23 页 共 44 页A DA2 D2A1D1B1C1B2 C2B C4、已知：如图，在四边形 ABCD 中， AD BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点， AD 、BC 的延长线交 MN 于 E、FF求证：DEN FEN CDA BM经 典 难 题（二）1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点）
8、 ，O 为外心，且OM BC 于 M （1）求证： AH 2OM ；（2）若BAC 60 0，求证： AH AO （初二）AO H EB M D C第 24 页 共 44 页2、设 MN 是圆 O 外素来线，过 O 作 OA MN 于 A ，自 A 引圆的两条直线， 交圆于 B 、C 及 D 、E，直线 EB 及 CD 分别交MN 于 P、 Q求证： AP AQ （初二）CGEOB DM NP A Q3、若是上题把直线 MN 由圆外平移至圆内， 则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN的中点 A 任作两弦 BC、DE ，设 CD 、 EB 分别交 MN 于 P、Q 求证： AP
9、AQ （初二）ECMAQNPOBD第 25 页 共 44 页4、如图，分别以 ABC 的 AC 和 BC 为一边，在 ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG ，点 P 是 EF 的中点求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半（初二）DGCEPFA Q B经 典 难 题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形， DE AC ，AE AC ，AE 与CD 订交于 F求证： CECF（初二）ADFEB C第 26 页 共 44 页2、如图，四边形 ABCD 为正方形， DE AC ，且 CE CA ，直线EC 交 DA 延长线于 F求证： AE AF （初二）FA DB C
10、E3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PF AP ， CF均分DCE 求证： PA PF（初二）A DFB P C E4、如图， PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径， PEF 为圆的割线， AE 、AF 与直线 PO 订交于 B、D 求证：AB DC ，BC AD （初A第 27 页 共 44 页B O DP三）经 典 难 题（四）1、已知：ABC 是正三角形， P 是三角形内一点， PA 3，PB4 ，PC5 求：APB 的度数（初二）AP2 、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且 PBA PDA 求证：PAB PCB （初二）B CA DPB C3 、
11、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证： AB CD AD BC AC BD （初三）AD第 28 页 共 44 页B C4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC 、AB 上的一点， AE 与 CF 订交于 P，且AE CF求证： DPA DPC （初二）A DFPB E C经 典 难 题（五）1、设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点， LPA PB PC，求证： L2 2、已知： P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA PBPC 的最小值A A DPB CPB C第 29 页 共 44 页3、P 为正方形 ABCD内的一点，并且 PA a，PB 2a ，P
12、CDA3a ，求正方形的边长PB C4、如图，ABC 中，ABC ACB 80 0 ， D、 E 分别是 AB 、 AC 上的点， DCA 30 0 ，EBA 20 0 ，求BED 的度数AEDB C经 典 难 题（一）第 30 页 共 44 页1.以以下图做 GH AB, 连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFH OEG,即 GHF OGE, 可 得 EO = GO = CO , 又 CO=EO ， 所 以GF GH CDCD=GF 得证。2.以以下图做DGC 使与ADP 全等，可得 PDG 为等边，从而可得DGC APD CGP,得出 PC=AD=DC, 和DCG= PCG15 0
13、所以DCP=30 0 ，从而得出 PBC 是正三角形第 31 页 共 44 页3.以以下图连接 BC 1 和 AB 1 分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A 2E 并延长订交于 Q 点，连接 EB2 并延长交 C2Q 于 H 点，连接 FB2 并延长交 A 2 Q 于 G点，由 A 2 E= 12 A 1B 1 = 12 B1 C1 = FB 2 ，EB2 = 12 AB= 12 BC=FC 1 ，又GFQ+ Q=90 0 和GEB2 + Q=90 0 ,所以GEB 2 = GFQ 又B2FC2= A 2EB2 ，可得B2 FC2 A2EB2 ，所以 A 2 B2 =B 2C2 ，又GF
14、Q+ HB 2 F=90 0 和GFQ= EB2A 2 , 从而可得 A 2 B2 C2=90 0 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形 A 2 B2C2D 2 是正方形。第 32 页 共 44 页4.以以下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM ，所以可得QMF= F，QNM= DEN 和QMN= QNM ，从而得出 DEN F。经 典 难 题（二）1.(1) 延长 AD 到 F 连 BF，做 OG AF,又F= ACB= BHD ，可得 BH=BF, 从而可得 HD=DF ，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB ，OC, 既
15、得BOC=120 0 ，从而可得 BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证。第 33 页 共 44 页3. 作 OF CD ，OG BE，连接 OP ，OA ，OF ，AF ，OG ，AG ，OQ 。由于AD = AC = CD = 2FD = FD ，AB AE BE 2BG BG由此可得ADF ABG ，从而可得 AFC= AGE 。又由于 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得 AFC= AOP 和AGE= AOQ ，AOP= AOQ ，从而可得 AP=AQ 。第 34 页 共 44 页4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH 。可得 PQ=E
16、G + FH 。2由EGA AIC ，可得 EG=AI，由BFH CBI ，可得 FH=BI 。从而可得 PQ=AI + BI=AB，从而得证。22经 典 难 题（三）1. 顺时针旋转 ADE ，到ABG ，连接 CG.第 35 页 共 44 页由于ABG= ADE=90 0 +45 0 =135 0从而可得 B，G，D 在一条直线上，可得 AGB CGB 。推出 AE=AG=AC=GC ，可得AGC 为等边三角形。AGB=30 0 ，既得EAC=30 0 ，从而可得 A EC=75 0。可证： CE=CF 。2.连接 BD 作 CH DE ，可得四边形 CGDH 是正方形。由AC=CE=2G
17、C=2CH ，可得CEH=30 0 ，所以CAE= CEA= AED=15 0，又FAE=90 0 +45 0 +15 0=150 0，从而可知道 F=15 0 ，从而得出 AE=AF 。第 36 页 共 44 页3.作 FGCD ， FEBE，可以得出 GFEC 为正方形。令AB=Y ， BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。tan BAP=tan EPF= X = Z ，可得 YZ=XY-X 2+XZ ，Y Y - X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出ABP PEF ，获取 PA PF ，得证 。第 37 页 共 44 页经 典 难 题（四）1. 顺时
18、针旋转 ABP 60 0 ，连接 PQ ，则PBQ 是正三角形。可得PQC 是直角三角形。所以APB=150 0 。2.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 AE DC ，BEPC.可以得出 ABP= ADP= AEP ，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等） 。可得BAP= BEP= BCP ，得证。第 38 页 共 44 页3. 在 BD 取一点 E，使BCE= ACD ，既得BECADC ，可得：BE = ADBC AC，即 AD BC=BE AC ， 又ACB= DCE ，可得ABC DEC ，既得AB = DE ，即 AB CD=DE AC ， AC DC由 + 可得
19、 : AB CD+AD BC=AC(BE+DE)= AC BD ，得证。4. 过 D 作 AQ AE ， AG CF ，由 SV ADE = SY ABCD = SVDFC ，可得：2AEgPQ = AEgPQ ，由 AE=FC 。2 2可得 DQ=DG ，可得DPA DPC （角均分线逆定理） 。第 39 页 共 44 页经 典 难 题（五）1.（1 ）顺时针旋转 BPC 60 0 ，可得PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP ，PE， EF 在一条直线上，即以以下图：可得最小 L= ；（2 ）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，
20、 F。由于APD ATP= ADP ，推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FCPC 又 DF=AF 由可得：最大 L 2 ；由（ 1 ）和（ 2）既得： L2 。第 40 页 共 44 页2.顺时针旋转 BPC 60 0 ，可得PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP ， PE，EF在一条直线上，即以以下图：可得最小 PA+PB+PC=AF 。既得 AF=1 + ( 3 + 1)2=2 + 3=4 + 2 3422=( 3 + 1)226 + 22=。2( 3 + 1)2第 41 页 共 44 页3. 顺时针旋转 ABP 90 0 ，可得以以
21、下图：既得正方形边长 L = (2 +2 ) 2 + (2 )2 ga = 5 + 2 2 ga 。22第 42 页 共 44 页4.在 AB 上找一点 F，使BCF=60 0 ，连接 EF，DG ，既得BGC 为等边三角形，可得DCF=10 0 , FCE=20 0 , 推出ABE ACF ，获取 BE=CF ， FG=GE 。推出 ： FGE 为等边三角形 ，可得AFE=80 0 ，既 得 ： DFG=40 0又 BD=BC=BG ， 既 得 BGD=80 0 ， 既 得 DGF=40 0推得： DF=DG , 获取：DFE DGE ，第 43 页 共 44 页从而推得： FED= BED=30 0 。第 44 页 共 44 页
