1、小学奥数典型题1 归一问题【含义 】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】 总量份数1份数量 1 份数量所占份数所求几份的数量另一总量（总量份数）所求份数【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例 1 ：买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？解（ 1 ）买 1 支铅笔多少钱？ 0.6 5 0.12（元）（ 2 ）买 16 支铅笔需要多少钱？0.12 16 1.92（元）列成综合算式 0.6 5 16 0.12 16 1.92（元）答：需要 1.92 元。例 2
2、 ：3 台拖拉机 3 天耕地 90公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？解（ 1 ）1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？ 90 3 3 10 （公顷）（ 2 ）5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 10 5 6 300 （公顷）列成综合算式 90 3 3 5 6 10 30 300（公顷）答：5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。例 3： 5辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的 7 辆汽车运送 10 5吨钢材，需要运几次？解 （ 1 ）1 辆汽车1 次能运多少吨钢材？ 100 5 4 5 （吨）（ 2 ）7 辆汽车1 次能运多少吨钢材？ 5 7 35 （吨）（ 3
3、）105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？ 105 35 3 （次）列成综合算式 105 （100 5 4 7 ） 3 （次）答：需要运 3 次。 归总问题【含义 】 解题时，常常先找出“总数量 ” ，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量 ” 是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】 1 份数量份数总量 总量1 份数量份数总量另一份数另一每份数量【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8 米。原来做 791 套衣服的布，现
4、在可以做多少套？解 （ 1 ）这批布总共有多少米？ 3.2 791 2531.2（米）（ 2 ）现在可以做多少套？ 2531.22.8 904 （套）列成综合算式 3.27912.8 904 （套）答：现在可以做 904 套。例 2 小华每天读 24 页书，12天读完了红岩一书。小明每天读 36 页书，几天可以读完红岩？解 （ 1 ）红岩这本书总共多少页？ 24 12 288（页）（ 2 ）小明几天可以读完红岩？ 288 36 8 （天）列成综合算式 24 12 36 8 （天）答：小明 8天可以读完红岩。例 3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大
5、家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？解 （ 1 ）这批蔬菜共有多少千克？ 50 30 1500（千克）（ 2 ）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500 （ 50 10 ） 25 （天）列成综合算式 50 30 （ 50 10 ）1500 60 25 （天）答：这批蔬菜可以吃 25 天。 和差问题【含义】 】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】 大数（和差） 2 小数（和差） 2【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例 1 甲乙两班共有学生 98人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？解 甲班人
6、数（ 98 6 ） 2 52 （人）乙班人数（ 98 6 ） 2 46 （人）答：甲班有 52人，乙班有 46 人。例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积。解 长（ 18 2 ） 2 10 （厘米） 宽（ 18 2 ） 2 8 （厘米）长方形的面积 10 8 80 （平方厘米）答：长方形的面积为 80 平方厘米。例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克 ，甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（ 32 30 ）2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知：甲袋化肥
7、重量（ 22 2 ） 2 12 （千克）丙袋化肥重量（ 22 2 ） 2 10 （千克）乙袋化肥重量 32 12 20 （千克）答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10千克。例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3筐，两车原来各装苹果多少筐？解“从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3 筐 ” ，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（ 14 2 3 ），甲与乙的和是 97 ，因此 甲车筐数（ 97 14 2 3 ） 2 64 （筐）乙车筐数 97 64 33 （筐）答：甲车原来装苹果 64 筐，
8、乙车原来装苹果 33 筐。 和倍问题【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】 总和（几倍 1 ）较小的数 总和较小的数 较大的数较小的数 几倍较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的3 倍，求杏树、桃树各多少棵？解 （ 1 ）杏树有多少棵？ 248 （ 3 1 ） 62 （棵）（ 2 ）桃树有多少棵？ 62 3 186（棵）答：杏树有 62棵，桃树有 186 棵。例 2东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西
9、库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？解 （ 1 ）西库存粮数 480 （1.4 1 ）200（吨）（ 2 ）东库存粮数480 200 280 （吨）答：东库存粮 280吨，西库存粮 200 吨。例 3 甲站原有车 52辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站28 辆 ，从乙站开往甲站 24 辆，几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍？解 每天从甲站开往乙站28 辆，从乙站开往甲站 24辆，相当于每天从甲站开往乙站（ 28 24 ）辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆总数（ 52 32 ）就相当于（ 2 1 ）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少
10、为 （ 52 32 ）（ 2 1 ） 28 （辆）所求天数为 （ 52 28 ）（ 28 24 ） 6 （天）答：6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。例 4 甲乙丙三数之和是 170 ，乙比甲的2 倍少 4 ，丙比甲的3倍多 6 ，求三数各是多少？解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1 倍量。因为乙比甲的 2 倍少 4 ，所以给乙加上 4 ，乙数就变成甲数的 2倍；又因为丙比甲的 3倍多 6 ，所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍；这时（ 170 4 6 ）就相当于（ 1 2 3 ）倍。那么，甲数（170 4 6 ）（ 1 2 3 ） 28乙数 28 2 4 52丙数 28 3
11、6 90答：甲数是 28 ，乙数是 52 ，丙数是 90 。 差倍问题【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】 两个数的差（几倍 1 ）较小的数较小的数几倍较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124棵。求杏树、桃树各多少棵？解 （ 1 ）杏树有多少棵？ 124 （ 3 1 ） 62 （棵）（ 2 ）桃树有多少棵？ 62 3 186（棵）答：果园里杏树是 62棵，桃树是 186 棵。例 2 爸爸比儿子大 27
12、岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子二人今年各是多少岁？解 （ 1 ）儿子年龄 27 （ 4 1 ） 9 （岁）（ 2 ）爸爸年龄 9 4 36 （岁）答：父子二人今年的年龄分别是 36岁和 9岁。例 3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元 ，又知本月盈利比上月盈利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？解 如果把上月盈利作为1 倍量，则（ 30 12 ）万元就相当于上月盈利的（ 2 1 ）倍，因此 上月盈利（ 30 12 ）（ 2 1 ） 18 （万元）本月盈利 18 30 48 （万元）答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是 48 万元。例
13、 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨 ，问几天后剩下的玉米是小麦的 3倍？解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138 94 ）。把几天后剩下的小麦看作 1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（ 138 94 ）就相当于（ 3 1 ）倍，因此剩下的小麦数量（ 138 94 ）（ 3 1 ） 22 （吨）运出的小麦数量 94 22 72 （吨）运粮的天数 72 9 8 （天）答：8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。 倍比问题【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数
14、，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】 总量一个数量倍数 另一个数量倍数另一总量【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。例 1 100 千克油菜籽可以榨油40 千克，现在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？解 （ 1 ）3700千克是 100 千克的多少倍？ 3700100 37 （倍）（ 2 ）可以榨油多少千克？ 40 37 1480（千克）列成综合算式 40 （3700100） 1480 （千克）答：可以榨油 1480 千克。例 2 今年植树节这天，某小学300 名师生共植树 400棵，照这样计算，全县 48000名师生共植树多少棵？解 （
15、 1 ）48000 名是 300名的多少倍？ 48000 300 160（倍）（ 2 ）共植树多少棵？ 400 16064000（棵）列成综合算式 400 （48000 300 ）64000（棵）答：全县 48000 名师生共植树 64000 棵。例 3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111元，照这样计算，全乡800 亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？解 （ 1 ）800 亩是 4 亩的几倍？ 800 4 200（倍）（ 2 ）800 亩收入多少元？ 11111 200 2222200（元）（ 3 ）16000 亩是 800 亩的几倍？16000
16、800 20 （倍）（ 4 ）16000 亩收入多少元？ 2222200 20 44444000（元）答：全乡 800 亩果园共收入 2222200 元，全县 16000亩果园共收入44444000 元。 相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】相遇时间总路程（甲速乙速）总路程（甲速乙速）相遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1 南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行 28千米，从上海开出的船每小时行 21 千米 ，经过几小时两船相遇？
17、解 392 （ 28 21 ） 8 （小时）答：经过 8小时两船相遇。例 2 小李和小刘在周长为 400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑 5 米 ，小刘每秒钟跑 3 米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？解 “第二次相遇 ” 可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为 400 2相遇时间（ 400 2 ）（ 5 3 ） 100 （秒）答：二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在距中点 3 千米处相遇，求两地的距离。解 “两人在距中点3 千米处相遇 ” 是正确理解本
18、题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点 3 千米，乙距中点 3千米，就是说甲比乙多走的路程是（ 3 2 ）千米，因此，相遇时间（ 3 2 ）（ 15 13 ） 3 （小时）两地距离（ 15 13 ） 3 84 （千米）答：两地距离是 84 千米。 追及问题【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】 追及时间追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及时间【解题思路和方法】简单的题目
19、直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 好马每天走 120千米，劣马每天走75 千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？解 （ 1 ）劣马先走 12 天能走多少千米？ 75 12 900（千米）（ 2 ）好马几天追上劣马？ 900 （ 120 75 ） 20 （天）列成综合算式 75 12 （ 120 75 ） 900 45 20 （天）答：好马 20 天能追上劣马。例 2 小明和小亮在 200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40 秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200 米，
20、此时小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间 。又知小明跑 200 米用 40秒，则跑500 米用 40 （500 200 ）秒，所以小亮的速度是 （ 500 200 ） 40 （ 500 200） 300 100 3 （米）答：小亮的速度是每秒 3米。例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑，解放军在晚上22 点接到命令，以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人？解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（ 22 16 ）小时，这
21、段时间敌人逃跑的路程是 10 （ 22 6 ）千米，甲乙两地相距 60 千米。由此推知追及时间 10 （ 22 6 ） 60 （ 30 10 ） 220 20 11 （小时）答：解放军在 11 小时后可以追上敌人。例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（ 16 2 ）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为 16 2 （ 48 40 ） 4 （小时）所以两站间的距离为 （ 48 40 ） 4
22、 352 （千米）列成综合算式 （ 48 40 ） 16 2 （ 48 40 ） 88 4 352（千米）答：甲乙两站的距离是 352 千米。例 5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90 米，妹妹每分钟走60 米 。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180 米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180 2 ）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（ 90 60 ）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为180 2 （ 90 60 ） 12 （分钟）家离学校的距离为 90 1
23、2 180 900 （米）答：家离学校有 900 米远。例 6 孙亮打算上课前5 分钟到学校，他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校，当他走了 1 千米时，发现手表慢了 10 分钟，因此立即跑步前进 ，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。求孙亮跑步的速度。解 手表慢了 10 分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（ 10 5 ）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（ 10 5 ）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少 9 分钟，由此可知 ，行 1千米，跑步比步行少用 9 （ 10 5 ）分钟。所以步行
24、 1 千米所用时间为 1 9 （ 10 5 ）0.25（小时） 15 （分钟）跑步 1 千米所用时间为 15 9 （ 10 5 ） 11 （分钟）跑步速度为每小时 1 11 60 1 60 11 5.5（千米）答：孙亮跑步速度为每小时 5.5 千米。 植树问题【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。【数量关系】 线形植树 棵数距离棵距 1环形植树 棵数距离棵距方形植树 棵数距离棵距 4三角形植树 棵数距离棵距 3面积植树 棵数面积（棵距行距）【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。例 1 一条河堤
25、136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解 136 2 1 68 1 69 （棵）答：一共要栽 69 棵垂柳。例 2 一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？解 400 4 100（棵）答：一共能栽 100棵白杨树。例 3 一个正方形的运动场，每边长 220 米，每隔 8 米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？解 220 4 8 4 110 4 106 （个）答：一共可以安装 106 个照明灯。例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是 60厘米和 40厘米，问至少需要多少块地板砖？解
26、 96 （0.60.4） 96 0.24 400 （块）答：至少需要 400块地板砖。例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50 米有一个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？解 （ 1 ）桥的一边有多少个电杆？ 500 50 1 11 （个）（ 2 ）桥的两边有多少个电杆？ 11 2 22 （个）（ 3 ）大桥两边可安装多少盏路灯？ 22 2 44 （盏）答：大桥两边一共可以安装 44 盏路灯。 年龄问题【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄
27、问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变 ” 这个特点。【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题 ” 的解题思路和方法。例 1 爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？解 35 5 7 （倍） （35+1）（5+1） 6 （倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。例 2 母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁，几年后母亲的年龄是女儿的4 倍？解 （ 1 ）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37 7 30 （岁）（ 2 ）几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？ 30 （ 4 1 ） 7
28、3 （年）列成综合算式 （ 37 7 ）（ 4 1 ） 7 3 （年）答：3 年后母亲的年龄是女儿的4 倍。例 3 3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4 倍，父子今年各多少岁？解 今年父子的年龄和应该比 3 年前增加（ 3 2 ）岁，今年二人的年龄和为 49 3 2 55 （岁），把今年儿子年龄作为 1 倍量，则今年父子年龄和相当于（ 4 1 ）倍，因此 ，今年儿子年龄为 55 （ 4 1 ） 11 （岁）今年父亲年龄为 11 4 44 （岁）答：今年父亲年龄是 44 岁，儿子年龄是 11岁。例 4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁 ” 。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61岁 ” 。求甲乙现在的岁数各是多少？解：这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：过去某一年 今 年 将来某一年甲 岁 岁 61 岁乙 4 岁 岁 岁表中两个 “” 表示同一个数，两个“ ” 表示同一个数。因为两个人的年龄差总相等： 4 61 ，也就是 4 ， ，61成
