1、人教版九年级数学知识点汇总 第十六章 二次根式16.1二次根式二次根式的概念：形如a的式子叫二次根式,a称为被开方数(式),称为二次根号。二次根式的条件：应有被开方数a可以是一个数或一个含有字母的式子。但开方数一定是非负数。二次根式a有意义的条件：a0,无意义的条件：a0。二次根式a的双重非负性：a0和a0。（a）2=a a0,a2=a, a0, a2=-a a0。注意（a）2和a2是不同的。代数式：有基本的运算符号，把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。16.2二次根式的乘除二次根式的乘法：ab=ab，a0、b0。abc=abc a0、b0、c0。2a2b=22ab 、a0、b0。二次根
2、式的乘法的逆用：ab=ab，a0、b0。二次根式的除法：a/b=a/b，a0、b0。4a/2b=4/2a/b，a0、b0。二次根式的乘法的逆用：a/b=a/b, a0、b0。最简二次根式：被开方数不含分母（分母不能有根号）。被开方数中不含有能开方的因数或因式。计算结果表明不是最简二次根式要化成最简二次根式。化最简二次根式的方法：带分数化成假分数。小数化成分数。分子分母同乘分母。被开方数是多项式先进行因式分解。通常方法是利用平方米差公式。16.3二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。被开方数不同的二次根式不能合并，它是结果的一部分。二次根
3、式混合运算顺序与实数混合运算顺序一样，先乘方，后乘除，再加减，有括号先算括号里的，或先去括号。第十七章 勾股定理17.1勾股定理命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2=c2这个命题经证明是正确的，所以它是定理，叫勾股定理。勾股定理的先决条件是直角三角形，它提示三角形三边之间的关系。（在直角三角形中，已知二边应用勾股定理求第三边时，要分清哪条边是直边哪条是斜边，不能确定时，要分类讨论）。勾股定理的验证：方格纸法验证。用四个全等的直角三角形拼图验证。用二个全等的直角三角形拼图验证。勾股定理的应用：已知二边求第三边（记得开方，分清哪是直角边哪是斜边）。勾股定理转
4、化为数学问题。求无理线段。17.2勾股定理的逆定理互逆命题:如果两个命题的题设和结论正好相反,这样的两个命题叫互逆命题。其中一个叫原命题，另一个叫逆命题。命题都有逆命题，命题有真有假，逆命题也有真有假。互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理。这两个定理称互逆定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理。不是所有定理都有逆定理。定理一定是真命题。勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b、 c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。判定三角形是否是直角三角形的步骤：比较三边找出最长边。计算最长边和平方和较短两边的平方和比较结果，相等是直角三角形，不相等不是直角三
5、角形。三角形三边的关系可以判断三角形的形状：（假定c为最长边），如果a2+b2c2是锐角三角形 a2+b2c2纯角三角形。勾股数：勾股数必须是正整数。M2-n2、2mn、m2+n2可以求勾股数。一组勾股数的各数的相同整数倍也是一组新的勾股数。常见的勾股数有：3，4，5。6，8，10。5，12，13。8，15，17等。第十八章 平等四边形18.1平等四边形平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形（定义判定）。用表示。18.1.1平行四边形的性质：性质1：平行四边形对边相等。性质2：平行四边形对角相等。性质3：平行四边形的对角线互相平分。性质4：两条平行线之间的距离处处相等。18.1
6、.2平行四边形的判定：判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定）。：判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。判定4：两组对角线互相平分的四边形是平行四边形。判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形（定义判定）。性质1：矩形是平行四边形角的特殊化，所以，矩形也是平行四边形。所以具有平行四边形所有性质。性质2：矩形的四个
7、角都是直角。性质3：矩形的对角线相等。由矩形的性质延伸出来的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。矩形的判定：判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）。判定2：对角线相等的平行四边形是矩形。判定3：有三个角是直角的四边形是矩形。18.2.2菱形：菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形（定义判定）。性质1：菱形是平行四边形边的特殊化，所以，菱形也是平行四边形。所以具有平行四边形所有性质。性质2：菱形的四条边相等。性质3：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。菱形的判定：判定1：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形（定义判定）。判定2：对角线互相垂直的平行四边
8、形是菱形。判定3：四条边相等的四边形是菱形。18.2.3正方形：正方形四条边相等，四个角是直角。所以，正方形既是矩形又是菱形。它具有矩形的性质又具有菱形的性质。第十九章 一次函数19.1函数19.1.1变量与函数：变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量。常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫常量。两者的区别：变量是可以变化的，常量是已知的。函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有一个唯一的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数。当x=a时，y=b，那么b是自变化量x= a时的函数值。注意：变化过程中是否存在两个变量。自变量x取一个值，变量y
9、是否有唯一确定的值。函数是等式，等号左边表示函数，右边是含自变量的代数式。函数的解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫解析式。如y=b+kx。自变量的取值范围：等号右边是整式：自变量取全体实数。等号右边是分式：分母不能为0.等号右边有偶次根的式子，根号内不能小于0.等号右边有分式和偶次根式的要使它们都有意义。还要结合实际情况。19.1.2函数的图象:定义：一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。画函数图象的步骤：列表、描点、连线。函数的表示方法：解析式法列表法图象法。19.2一次函
10、数19.2.1正比例函数:形如:y=kx(k是常数,k0)的函数,叫正比例函数。其中k叫比例系数。正比例函数图象：正比例函数:y=kx(k是常数,k0)的图象是经过原点和（1，k）的直线。正比例函数y=kx(k是常数,k0)的性质：当k0时，直线经过原点和第一第三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大。当k0时，直线经过原点和第二第四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小。求正比例函数的解析式的步骤：设含有待定系数k的函数解析式y=kx k0把已知的条件代入解析式，得到含有系数k的方程。解方程求k值。将k值代入设定的解析式。19.2.2一次函数：形如:y=kxb(k、b是常数,k0)的函数,叫
11、一次函数。当b=0时，y=kxb为:y=kx。所以正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数。也就是说正比例函数是一次函数的特殊情况。一次函数的图象：一次函数y=kxb k0的图象是经过（0，b）,重合或平行y=kx k0的一条直线。一次函数的图象的画法：两点法：一次函数y=kxb一定是经过（0，b）和（-b/k,0）两点的直线。平移法：一次函数y=kxb的图象可以看成是y=kx的图象平移b个单位。b0向上平移，b0向下平移。一次函数y=kxb k0的性质：k0时，b=0经过一三象限。b0经过三二一象限。b0经过三四一象限。（图象左低右高，y随x的增大而增大）。k0时，b=0经过二四
12、象限。b0经过二一四象限。b0经过二三四象限。（图象左高右低，y随x的增大而减小）。求一次函数解析式的步骤：（待定系数法）：设一次函数解析式y=kxb根据条件列出关于k和b的二元一次方程组解方程组，求k和b的值，用求得的值代入解析式，得到一次函数。19.2.3一次函数与方程、不等式、二元一次方程组：一次函数与方程：一元一次方程可以看成是一次函数y=kxb k0函数值为零时，求自变量x的值。即x=-b/k。也就是直线与x轴的交点。 一次函数已知x求y，或已知y求x都可化成一元一次方程来解。一次函数与不等式：一元一次不等式可以看成是一次函数y=kxb函数值大于或小于0时自变量x 的取值范围。也可以
13、把一次函数y=kxb在x轴上方或下方的点所对应的x的取值范围。一次函数与二元一次方程组：一次函数可以看成是一个二元一次方程，一次函数图象（直线）上的无数个点的坐标也是二元一次方程的无数个组解。二元一次方程组的解其实就是两个一次函数的图象（直线）的交点的坐标。19.3课题学习 选择方案用数学方法选择方案一般分为三步：找出函数关系确定自变量的取值范围或针对自变量的取值进行讨论由函数的性质或比较得出最佳方案。第二十章 数据的分析20.1数据的集中趋势20.1.1平均数:一般地,对于n个数X1、X2、X3、XN我们把1/n（X1+X2+X3+XN）叫这组数据的算术平均数，简称平均数，用/x表示，读作X
14、拔。算术平均数表示这组数据的每一个数同等重要的平均数。 平均数反映了一组数据的集中趋势，它是一组数据的“重心”，是度量一组数据波动大小的基准。平均数的大小与这组数据中的每一个数有关。如果一组数据的每一个数都加（或减）同一个数，所得的平均数，等于原平均数加（或减）这个数。如果一组数据的每一个数都扩大相同的倍数，所得的平均数，等于原平均数扩大相同的倍数。两组数据和的平均数等于这两级数据平均数的和。加权平均数：实际上一组数据的每一个数的重要程度并不同，数据的重要程度在这组数据中占的比重叫做权，用w表示。加权平均数的计算：/X=W1X1+W2X2+W3X3+WnXn/W1+W2+W3+Wn。权一般用比
15、例、百分比、频数，个数等表现出来。几种加权平均数计算：权用比例表示：比例乘数据的和除以比例总和。权用百分比表示：百分比乘数据的和除以百分比的和。权用频数表示：组中值乘频数的和除以频数的和。以个数表示，组中值乘个数的和除以个数的和。20.1.2中位数和众数中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数据为这组数据的中位数。如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为中位数。它的求法如定义所述。众数：一组数据中出现次数最多的数据称为众数。（注意：众数是数据不是出现的次数，如果有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，则这些数都是众数）。平均数、
16、中位数、众数都是表示数据的集中趋势。平均数充分利用数据提供的信息，但受极端数据的影响。众数不易受极端数据的影响（当数据大致相等时，它没有特别意义）。中位数不受极端数据的影响（不能充分利用数据）。20.2数据的波动程度平均数、中位数、众数是刻画数据集中趋势的量，刻画数据波动（离散）的程度的量是方差。方差：用一组数据中各个数据与它们的平均数的差的平方的平均数来衡量这组数据的波动程度不同，这个量就是这组数据的方差。记作:S2公式：S2=1/n (x1-/x)2+(x2-/x)2+(x3-/x)2+(xn-/x)2 方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要量,反映的是数据在它的平均数附近波动的情况,方差
17、越大,数据波动越大,方差越小,数据波动越小.注意：一组数据的每一个数据都加上（或减少）同一个常数，所得的一组数据的方差不变。一组数据的每一个数据都变为原来的K倍，所得的新数据的方差变为原来数据方差的K2倍。用样本的方差来估计总体方差。方差非负数。刻画数据波动程度的量还有：极差、平均差、方差、标准差。极差：数据最大值与最小值的差。平均差：1/n |(x1-/x)|+|(x2-/x)|+|(x3-/x)|+|(xn-/x)|方差：S2=1/n (x1-/x)2+(x2-/x)2+(x3-/x)2+(xn-/x)2标准差：S=1/n (x1-/x)2+(x2-/x)2+(x3-/x)2+(xn-/x
18、)220.3课题学习 数据分析的步骤：收集数据整理数据描述数据分析数据写调查报告交流。第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫一元二次方程。它的一般形式ax2+bx+c=0。（a0）。其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。一元二次方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。21.2解一元二次方程21.2.1配方法: 一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0,（a0）。当 b=0时，ax2+c
19、=0，x2=-c/a, x=-c/a。当-c/a0时，方程有两个不等的实数根，x1=-c/a，x2=-c/a。当-c/a=0时，方程有两个相等的实数根，即x1= x2=0，当-c/a0时，方程无实数根。当c=0 时，ax2+bx=0，x(ax+b)=0, x1=0, x2=-b/a。解一元二次方程的实质是把这个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程。配方法:将一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0,（a0），配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫配方法。配方法的一般步骤：当a=1时，x2+bx+c=0，将c移到等号的右边，x2+bx=-c,应配一次项系数的1/2的
20、平方即（b/2）2。x2+bx+（b/2）2=-c+（b/2）2,(x+b/2)2=-c+（b/2）2，化简，(x+b/2)2=b2-4c/4, (x+b/2)=b2-4c/4,x1=-b/2+b2-4c/4,化简x1=(-b+b2-4c )/2,x2=-b/2-b2-4c/4,化简x2=(-b-b2-4c )/2。当a1时，ax2+bx+c=0, 将c移到等号的右边，ax2+bx=-c,方程两边同时除以a. x2+b/ax=-c/a, 应配一次项系数的1/2的平方（b/2a）2,x2+bx+（b/2a）2=-c/a+（b/2a）2, (x+b/2a)2=-c/a+（b/2a）2, 化简，(x
21、+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2, (x+b/2a)=(b2-4ac)/4a2,x1=-b/2a+(b2-4ac)/4a2,化简x1=(-b+b2-4ac)/2a, x2=(-b-b2-4ac)/2a。总结：一般地：（x+n）2=p,p0时，有x1=-n-p x2=-n+p p0时x1= x2=-np0时，方程无根。21.2.2公式法：从配方法可将一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0,（a0）化简成(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2，a0,4a20,(b2-4ac)/4a2的大小取决于b2-4ac。当b2-4ac0时，方程有两个不等的实数根。当b2-4ac=0时，方程有
22、两个相等的实数根。当b2-4ac0时，方程无根。b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0,（a0）的判别式，通常用表示。即=b2-4ac。当=b2-4ac0时，方程有两个实数根：X1=(-b+b2-4ac)/2a,X2=(-b-b2-4ac)/2a。当=b2-4ac=0时，方程有两个相等实数根：X1=,X2=-b/2a。当=b2-4ac0时，方程无根。当一元二次方程的二次项系数为1时，方程的根可以简化为X1=(-b+b2-4c)/2,X2=(-b-b2-4c)/2。X1=,X2=-b/2。X=(-bb2-4ac)/2a 叫做方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。21.
23、2.3因式分解法：概念：不用开方降次，而是先因式分解，将一元二次方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分另等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。21.2.4一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0，（a0），的求根公式X=(-bb2-4ac)/2a，表示方程的系数决定了根的值，也反映了根与系数的关系。从因式分解法可知，（x-a）(x-b)=0,x1=a,x2=b。x2-(a+b)x+ab=0,可以看出两个根的和的相反数等于方程一次项的系数。两个根的积等于方程的常数项(二次项系数为1)。从求根公式可知x1+x2=(-b-b2-4ac)/2
24、a+(-b+b2-4ac)/2a=-b/a ,x1x2=(-b-b2-4ac)/2a(-b+b2-4ac)/2a=c/a。这表明两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。x1+x2=-b/a，,x1x2=c/a21.3实际问题与一元二次方程按一定量增长：原始（1+增长率）2=现量。按一定量递减：原始（1-增长率）2=现量。列方程解应用题的一般步骤：审设列解验答.第二十二章 二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.1二次函数:如y=ax2+bx+c(a、b、c都是常数，a0)。的函数就是二次函数。a、b、c分别是解析式的二次项系数、一次项系数和
25、常数项，x是自变量。 y=ax2+bx+c a0,是二次函数的一般式，它的特殊形式有y=ax2b=0、c=0。y=ax2+bx c=0。y=ax2+c b=0。22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质：一元二次函数的图象曲线叫抛物线。抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点。 函数y=ax2图象特点和性质：当a0时，抛物线开口向上，对称轴是y轴顶点是原点，也是抛物线的最低点，a值越大，抛物线的开口越小。对称轴左边的抛物线（即x0）y随x增大面减小。对称轴右边的抛物线（即x0）y随x增大而增大。a0时，抛物线开口向下，对称轴是y轴顶点是原点，也是抛物线的最高点
26、，a值越大，抛物线的开口越大。对称轴左边的抛物线（即x0）y随x增大面增大。对称轴右边的抛物线（即x0）y随x增大而减小。22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质：函数y=ax2+c的图象和性质：它是y=ax2的图象向上（c0）或向下(a0）移动c个单位。顶点的坐标是（0，c）。其它的性质和函数y=ax2相同。二次函数y=a(x-h)2的图象和性质：它是y=ax2的图象向左（h0、y=a(x+h)2）或向右(h0、y=a(x-h)2）移动h个单位。顶点坐标为（h，0）,对称轴为x=h。其它的性质和函数y=ax2相同。二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质：它是y=a（x-h）
27、2的图象向上（k0）或向下（k0）移动k个单位。对称轴是x=h。顶点坐标是（h，k）。当a0、xh时（即在x=h对称轴左边）y随x增大而减小、xh时（即在x=h对称轴右边）y随x增大而增大。当a0、xh时（即在x=h对称轴左边）y随x增大而增大、xh时（即在x=h对称轴右边）y随x增大而减小。22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质：先将y=ax2+bx+c配方，一二次项提取a,得y=a(x2+b/ax)+c,括号内配(b/2a)2,括号外应减a(b/2a)2,得y=a(x2+b/ax+(b/2a)2)+c- a(b/2a)2,得y=a(x+b/2a)2+(4a2c-b2)/4a。
28、对称是x=-b/2a。 顶点坐标（-b/2a，(4a2c-b2)/4a）。当a0，x-b/2a，y随x增大而减小，当x-b/2a时，y随x的增大而增大；当a0，x-b/2a时，y随x增大而增大，当x-b/2a时，y随x的增大而减小。二次函数y=ax2+bx+c解析式的求法：用图象上三点的坐标组成一个三元一次方程组，求出a、b、c的值，代入一般式，就可得到函数的解析式。22.2二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的联系：解一元二次方程可以看成是二次函数函数值y为0时，求自变量x。二次函数的图象与x轴的位置关系有三种情况：有两个公共点，即方程有两个不同的实数根。有一个公共点即方程有两个相
29、等的实数根。没有公共点。即方程没有实数根。利用图象方法求一元二次方程的根，结果一般是近似的。22.3实际问题与二次函数用二次函数解决实际问题一般都是列出二次函数的一般式，当a0时，函数有最小值，即x=-b/2a时，函数有最小值4ac-b2/4a。当a0时，函数有最小值，即x=-b/2a时，函数有最大值4ac-b2/4a。用建立适当坐标系的方法，求出这条抛物线表示的二次函数，各个点得到相应的坐标，然后求值。第二十三章三 旋转 23.1图形的旋转旋转的有关定义：把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度叫图形的旋转。点0叫做旋转中心。旋转的角叫旋转角。图形上的点P经过旋转变为P，那么这两个点叫做
30、这个旋转的对应点。注意：旋转是在平面内旋转。图形旋转三要素是旋转中心、旋转方向、旋转角度。旋转的性质：总的说：旋转不改变图形的大小和形状。性质1：对应点到旋转中心的距离相等。性质2：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。性质3：旋转前、后的图形全等。旋转、平移、轴对称的区别和联系：区别：平移前后两个图形的对应线段平行或在同一直线上。旋转前后两个图形的任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角。成轴对称图形的对应线段或其延长线的交点在对称轴上，两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分。联系：都在平面内进行，都是只改变图形的位置，不改变图形的形状大小，都是把一个已知图形变换后得到另个图形。旋
31、转作图：先确定图形的对应点，将每个对应点绕旋转中心按规定的方向旋转一定的角度得到新的对应点，再根据对应点作图。23.2中心对称23.2.1中心对称:定义:把一个图形绕着某一个点旋转1800，如果它能够与另个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫对称中心（简称中心）。这两个图形中的对应点叫关于中心的对称点。注意：中心对称是两个图形的一种位置关系。中心对称必须是把其中一个图形绕对称中心旋转1800。旋转后，两个图形能够完全重合。中心对称和轴对称的区别：对称中心是一个点和一条直线，图形绕中心旋转1800，图形沿对称轴对折。图形旋转后与另一个图形重合，对折后与另一个图形重合。对应点方向相反（上变下左变右，下变上右变左）对应点方向相同。 中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对称点所连线段都过对称中心，而且被对称中心平分。成中心对称的两个图形是全等图形。（对应线
