1、微分几何第三版第二章课后题答案1第二章曲面论 1曲面的概念1.求正螺面 r = u cos v ,u sin v , bv 的坐标曲线.解 u-曲线为 r =u cos v0 ,u sin v0 ,bv 0 = 0,0 , bv0 + u cos v0 , sin v0 ,0, 为曲线的直母线；v-曲线为r = u0 cos v , u0 sin v ,bv 为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r = a (u+v) , b (u-v ) ,2uv 的坐标曲线就是它的直 母线。证 u-曲线为 r = a (u+v。), b (u-v。)，2uvo= av。，bv。，0+ ua,b,2 v。表示过点
2、 a v。，b v。,。以a,b,2 v。为方向向量的直线;v-曲线为= a ( u0 +v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0 v = au。，bu。，。 +va,-b,2 u。 表示过点(au。, b u。，。)以a,-b,2 u。为方向向量的直线。3.求球面r =acos ；：sin,a cos；： sin ;:, a si n二上任意点的切平面和法线方程。saa. n解 r = -a sin 二 cos，-a sinsin ：:,acos： , r .匸-a cossin ：:, a coscos,0x - a cos、： cos y - a cos 二 sin z - a
3、sin 二任意点的切平面方程为 - a sin 二 cos ： -a sinsin a cos=0a cos、： sin a cos、： cos 0即 xcos ：cos + ycos ：sin + zsin 二-a = 0 ；x a cos、： cos y a cos、： sin z a sin 二。cos 二 cos cossin sin 二2 24.求椭圆柱面 令 斗=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 a b曲面只有一个切平面 。2 2解椭圆柱面二yr =1的参数方程为x = cos： , y = asin二，z = t a br d - -a sin 二，b cos ,
4、00 =0，即 x bcos ： + y asin ： a b = 0此方程与t无关，对于二的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而 二的每一数值 对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。35.证明曲面r =u,v,的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常UV数。 2曲面的第一基本形式ru 二a, b,2v, rv 二a, b,2u,F - ruTv2 2 亠 2 2=a - b 4uv,G=rv a b2 4u2,(a 2 b 2 4v2)du 2 2(a 22 2 2 2 2b 4uv)dudv (a b 4u )dv 。,bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互解
5、ru =cos v, sin v,0, = -u sin v, u cos v, b ， E 二打=1 ， F =山 讥=0 ，G =l2 =u 2 b2，二 I = du 2 (u 2 - b2)dv2 , VF=O,A坐标曲线互相垂直。3 .在第一基本形式为I =du2 sinh 2 udv 2的曲面上，求方程为u = V的曲线的弧长。解 由条件ds 2 = du 2 - sinh 2 udv 2 ,沿曲线u = V有du=dv，将其代入ds ?得ds2 = du 2 - sinh 2 udv 2 = cosh 2 vdv 2 , ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上，从
6、v1 至U v2 的v 2弧长为 | cosh vdv |=|sinh v2 -sinh v1 |。vi4.设曲面的第一基本形式为I = du 2 (u2 a2)dv2，求它上面两条曲线u + v =0 ,u - v = 0的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变 量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 E =1，Fv =o , G u2 a2， 曲线u + v = 0与u - V = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为 E = 1， Fv =0， G =a2。曲线u + v =
7、 0 的方向为du = -dv , u - v = 0 的方向为S u=S v ,设两曲线的夹角为:，则有cos = Edu亠Gdu -二*Edu 2 + Gdv GEdu+Gdv? 1 + a5.求曲面z = axy上坐标曲线x = x。,y = y。的交角.解 曲面的向量表示为r =x,y,axy, 坐标曲线x = x。的向量表示为r = x,y,ax y ，其切向量口=0，1, ax。；坐标曲线y = y。的向量表示为r =x ,y。,ax y。，其切向量rx =1，0，ay ，设两曲线x = x 0与y = y。的夹角为;：，则2有 cos= rx Ty a X。y。|rx |ry 1
8、 . 1 a2x： 1 a2y026.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为S u: S v，则有EduS u + F(du S v + dv S u)+ G d v S v = 0,将 dv =0 代入并消去 du 得 u-曲线的 正交轨线的微分方程为ES u + F S v = 0 .同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为 FS u + G S v = 0 .7.在曲面上一点,含du ,dv的次方程Pdu 2 + 2Q dudv + R dv 2 = 0,确定两个切方向(du : dv)和(S u : S v),证明这两个方向垂直的充要条件是
9、 ER-2FQ+GP=O.证明 因为du,dv不同时为零，假定dv= 0,则所给二次方程可写成为P(巴)2 +dvdu du 、.u du 、.u R du 、.u 2Q又根据二方2Q + R=0 ,设其二根一，一， 则 =, +一 二一一dv dv 、.v dv 、.v P dv 、.v P向垂直的条件知E巴兰+ F(巴+兰)+ G = 0 dv & dv 6v将代入则得ER - 2FQ + GP = 0 .8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为 Edu 2 =Gdv证 用分别用S、厂、d表示沿u 曲线，v曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u 曲线S u= 0, S v=0，沿v 曲
10、线、u=0,、v= 0.沿二等分角轨线方向为du:dv，根据题设条件,又交角公式得u=-av展开并化简得E(EG-f 2) du 2 =G(EG-F 2) dv 2,而EG-F 2 0,消去EG-F 2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu 2 =Gdv9.设曲面的第一基本形 du 2 (u 2 a2)dv2，求曲面上三条曲线 v =1相交所成的三角形的面积。解三曲线在平面上的图形(如图) 线围城的三角形的面积是0 1 a 1S= . u 亠 a彳 du dv , U a2 du dv_a u 0 ua 1 a=2 . u $ a $ du dv =2 (1 - h u2 du0 u 0 a
11、a2 2= (u3a32 2 2 2 2 -2 2 a-a ) u u a a ln( u u a ) |010.求球面r =a cos 今 sin 申，a cos 今 sin 申，a sin 创 的面积。解 r _= sin 9 cos 申，一a sin 3 sin , a cos , r = -a cos 9 sin , a cos 9 cos ,0E = r 2 = a 2 ,F= r - r := 0 , G = r； = a 2 cos 2 二.球面的面积为：2-. :S = 2_.d、： . a4cos2、：d =2二a2 2_.cos、：d、： =2:a2sin、：|2 =4二a
12、J 兀 J J JI Ji2 0 一2 211. 证明螺面 r =ucosv,usinv,u+v 和旋转曲面 r =tcos ： ,tsin - , . t2 -1(t1, 0 二 2 二)之间可建立等距映射 二=arctgu + v , t= . u 2 1分析根据等距对应的充分条件，要证以上两曲面可建立等距映射 二=arctgu+ v , t= . u2 1 ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数，然后证明在新的参数下，两曲面具有相同的第一基本形式证明 螺面的第一基本形式为I=2 du 2+2 dudv+(u2+1)dv2,旋转曲面的第一2基本形式为I= (
13、 2 )dt2十不：，在旋转曲面上作一参数变换 二=arctgu + v ,t -1t = U2 - 1 ,则其第一基本形式为2 2u+1u 2 2 1 2(1 2 )2 du (u 1)( 2 du dv)u u +1 1 +u2u - 1 2 1 2=( 2 1)du -du 2dudvu 1 u+ (u? +1)dv 2 =2du 2 +2 dudv+( u 2 +1) dv 2 = I .所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 二=arctgu + v , t = . u2 1 3曲面的第二基本形式1.计算悬链面r =coshucosv,coshusinv,u 的第一基本形式,第二基本形
14、式.解 ru =sinhucosv,sinhusinv,1, rv=-coshusinv,coshucosv,0ruu =coshucosv,coshus inv, 0, ruv =-s in hus inv,sin hucosv,0,rvv =-coshucosv,-coshus inv, 0,2 2 2 2所以 II = - du 2 + dv 22.计算抛物面在原点的2x3 =5x； 4X1X2 2x；第一基本形式，第二基本形式.一 C解曲面的向量表示为r二 X! , X2 , - X： 2x! X2 x：,2r x1 - 1,0 ,5 X1 2 X2 (0,0) =1,0,0 , rx
15、2 - 0,1,2 x1 2x 2 (0 ,0) - 0,1 ,0 , Lx =0,0,5,E = ru = cosh u, F = ru 5 =0, G = =COSh u.Lx2 =0,0,2 , .X2 =0,0,2, E = 1, F = 0 , G = 1 丄=5 , M = 2 , N =2 ,_ 2 2 _ 2 2= dxi 亠 dx 2, 11= 5dxi 亠 4dx 1 dx 2 亠 2dx 23.证明对于正螺面 r=ucosv,us in v ,bv,- s u,v x处处有 EN-2FM+GL=。解 ru =cos v, sin v,0, rv = _u sin v, u
16、 cos v, b , ruu =0,0,0,ruv =-uucosv,cosv,0,rvv =-ucosv,-usinv,0, E 二山2 =1， F r0，G = rv = u 亠 b ， L= 0, M -,N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 .u2 b214.求出抛物面z (ax2 by2)在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.2解X =1,0, ax(0,0)=1,0,0 , ry =0,1,by(0,0)=0,1,0,匚=0,0, a , q =,0,5.已知平面二到单位球面(S)的中心距离为d(0d (s) t : (s) - t( ) = (1 t.)
17、： t ， t = ， 6 t - -t心亠(1 t.)p x P在曲线:上, t = 0 , d 二,曲面的单位法向量 n - s = =，即n =，Veg -f2所以曲线-在它的主法线曲面上是渐近线.10.证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数，y=常数构成共轭网.证 曲面的向量表示为r=x,y,f(x)+g(y),x= 常数,y=常数是两族坐标曲线。X =1,0, f , ry0,1, g .XX =0, 0, f ,xy =0, 0, 0,yy =0, 0, g ,11.确定螺旋面r =ucosv,u sin v ,bv上的曲率线12.得两族曲率线为 ln( a 1 a 2
18、x2 ) = In( ay 1 a2 y 2) c .13.求曲面r = ? (u - v), * (u - v), 上的曲率线的方程.2 2 2丄=0,222 2 2 2 2 2a+b+v _a+b+uv a+b+uE , F , G = abM=2,N=0 代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是vEG -F 2 (a2 b2 u2)dv 2 =(a2 b2 v2)du 2,积分得-2 2 2 J 2 2 2ln( u - a b u ) = In(v a b v ) c .14.给出曲面上一曲率线L,设L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成 定角,求证L是一平面曲线.证法一：因L是曲
19、率线,所以沿L有dn丄- dr ,又沿L有?n =常数,求微商得 nI n = 0,而n / dn / dr与 正交，所以 n = 0 ,即-|： n =0,则有.=0,或 n =0 .若 =0,则L是平面曲线；若1n =0 , L又是曲面的渐近线，则沿L , n =0 , 这时dn=0 , n为常向量，而当L是渐近线时， =_ n，所以 为常向量，L是一 平面曲线证法二：若 _ n，则因n _ dr ,所以n，所以dn，由伏雷 内公式知dn | (_=.-)而L是曲率线，所以沿L有dn | :,所以有 =0,从而 曲线为平面曲线；若 不垂直于n，则有?n=常数，求微商得n n=0,因为L是曲
20、率线，所以沿L有dn | dr _ ，所以 n = 0，所以n = 0，即-.： n =0，若.=0，则问题得证；否则 1 n =0，则因 n : =0，有 n | ， dn | d |( - . )| :矛盾。15.如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。证曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量 成定角，由上题结论知正确。16 .求正螺面的主曲率。解设正螺面的向量表示为r =u cos v ,u sin v ,bv.解 ru 二cos v, sin v,0, r= _u sin v, u cos v, b , ruu =0,0,0,G=rv2=
21、u22 , L= 0, M = 一-b , N = 0, 代入主曲率公式j 2 2.u b2 2 2(u - a )所以主曲率为17.确定抛物面z=a（ x2 y2）在（0, 0）点的主曲率.解 曲面方程即 ryy =0, 0, 2a , r 二x, y,a(x2 - y2) , r 1,0, 2ax 二0,1, 2 ay, rxx 二0, 0, 2a , rxy 二0, 0,0, =0, 0, 2a 。在 (0, 0)点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0,N=2a .所以N -4a n +4a2 =0，两主曲率分别为 j = 2 a , - 2 = 2 a .18.证明在曲面上
22、的给定点处，沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证曲面上的给定点处两主曲率分别为冷、 2，任给一方向二及与其正交的方 向二+二2，则这两方向的法曲率分别为“（；：）八1 cos2；：空s in2；：, .二 2） =5 cos 2 C；.二 2） 2 sin 2 （二.二 sin 八 - 2 cos 八 ，即n G：） -r n （；逬：2）=1 r 2 为常数。19.证明若曲面两族渐近线交于定角，则主曲率之比为常数证由n =cos 2 M亠j2 sin 2得tg I： = _ ,即渐进方向为瓷2二1 = arctg 一 1 ,宀=-arctg，.又-二2 +门=2二1为常数,所以为；M为常数
23、，即 V 瓷 2 V K2二为常数.220.求证正螺面的平均曲率为零.证由第3题或第16题可知.21.LG - 2 FM NE2(EG - F 2)求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率证 在点 x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=K =LN2-M =. 2EG2-Fa22.证法一:证明极小曲面上的点都是双曲点或平点由 H= =0 有 jh.2=0 或,5=八2 = 0 .2若 = 2=0,则沿任意方向二,- n （二）二-1 cos 2 1亠5 sin 2二=0 ,即对于任意的若i=-2二0,则2 0 ,即LN-M2 0 ,G 0 , 所
24、以 LN 0。若 ln - M 2 =0,则 L = M = N=0，曲面上的点是平点，若LN - M 1 0,则曲面上的点是双曲点23.证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.证法一：如果曲面的平均曲率为零，由上题曲面上的点都是双曲点或平点 若为平点，则任意方向为渐近方向，任一曲线为渐近曲线，必存在正交的渐近曲线网 若为双曲点,则曲面上存在渐近曲线网.由19题,渐近方向二满足tg 二丄 =1,瓷2ddu、. uN du 2 uM-N = ,0所以 =-,-dvd7：. vL d v v证法二：；H =0. LG 2FM NE=0 渐近线方程为 Ldu 2 2Mdudv Ndv 0所以
25、L(U)-d vF d u、： v) d v :. G - vU I(d-V Ed v6 v d 6v，所以渐近网为正交网=dv、vE N F ( 一2) G = 0证法三:L L 圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-%申?,曲面上的点为双曲点,即圆环 面内侧的点为双曲点；当 申二少2或 手时，LN - M 2=0，为抛物点，即圆环面上、 下两纬圆上的点为抛物点。25. 若曲面的第一基本形式表示为I = 2 (u, v)( du 2 dv 2)的形式，则称这个曲面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面 = g(t) cos ；：, g(t) s in ：,f(t)上存在等温网。证 旋转曲面r = g (t) cos二，g (t) s in二，f(t)的第一基本形式为2 + f 2 /_2 十 f 2I =g2(t)( 2 dt彳.di，)，做参数变换u dt ， v=：,则在新参数g g下，I = g 2 t(u)( du 2 - dv 2),为等温网。26.两个曲面S1、S2交于一条曲线(C)，而且(C)是S1的一条曲率线，则(C) 也是S2的一条曲率线的充要条件为S1、S2沿着(C)相交成固定角。证 两个曲面S1、
