1、学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义12空间几何体的三视图和直视图 1231.2.3空间几何体的直观图学习目标1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图知识点斜二测画法思考1边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，AB与CD有何关系？AD与BC呢？在原图与直观图中，AB与AB相等吗？AD与AD呢？答案ABCD，ADBC，ABAB，ADAD.思考2正方体ABCDA1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？答案 没有都画成正方形梳理(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(2)立体图形直观图的画法规则画立体图形
2、的直观图，在画轴时，要多画一条与平面xOy垂直的轴Oz，且平行于Oz的线段长度不变，其他同平面图形的画法类型一平面图形的直观图例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系画出相应的x轴和y轴，使xOy45，如图(1)(2)所示(2)在x轴上截取OBOB，在y轴上截取ODOD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点C使得DCDC.连接BC，如图(2)(3)所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)引申探究例1中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解画法：(1)如图所
3、示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系xOy，使xOy45.(2)以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点画出CDx轴，并使CDCD.(3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图反思与感悟(1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后
4、，只需把这些顶点顺次连接即可跟踪训练1用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图解(1)如图所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系(2)画出对应的x轴、y轴，使xOy45.在x轴上截取OBOC2 cm，在y轴上截取OAOA，连接AB，AC，则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图，如图所示类型二直观图的还原与计算例2如图所示，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形解画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OAOA，即CACA；过B作BDy轴，交x轴于点D，在OA上取ODOD，过D作DBy轴，且使DB2D
5、B；连接AB，BC，得ABC.则ABC即为ABC对应的平面图形，如图所示反思与感悟由直观图还原平面图形的关键：(1)平行x轴的线段长度不变，平行y轴的线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x、y轴平行的顶点可通过作x轴，y轴平行线变换确定其在xOy中的位置跟踪训练2如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，CD2 cm，则原图形是_答案菱形解析如图所示，在原图形OABC中，应有OD2OD224 (cm)，CDCD2(cm)，OC6(cm)，OAOC，故四边形OABC是菱形例3如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图若A1D1Oy，A1B1
6、C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12.在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12.在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12.连接BC，即得到了原图形由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰的长度AD2，所以面积为S25.反思与感悟(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高(2)若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积
7、为S，则SS.跟踪训练3如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形ABO，若OB1，那么原三角形ABO的面积是()A. B. C. D2答案C解析直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积比为4，所以原图形的面积为，故选C.类型三空间几何体的直观图例4用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图(尺寸自定)解如图所示画轴画出x轴，y轴，z轴，使 xOy45，xOz90.画底面画出正六边形的直观图ABCDEF.画侧棱过A，B，C，D，E，F各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长度相等的线段AA，BB，CC，DD，
8、EE，FF.连线成图顺次连接A，B，C，D，E，F，并加以整理，就得到底面为正六边形，侧面为矩形的正六棱柱反思与感悟简单几何体直观图的画法(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点(4)连线成图跟踪训练4用斜二测画法画出六棱锥PABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)解画法：(1)画出六棱锥PABCDEF的底面在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，画出相应的x轴、y
9、轴、z轴，三轴相交于O，使xOy45，xOz90，如图(2)；在图(2)中，以O为中点，在x轴上取ADAD，在y轴上取MNMN，以点N为中点，画出BC平行于x轴，并且等于BC，再以M为中点，画出EF平行于x轴，并且等于EF；连接AB，CD，DE，FA得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF.(2)画出正六棱锥PABCDEF的顶点，在z轴正半轴上截取点P，点P异于点O.(3)成图连接PA，PB，PC，PD，PE，PF，并擦去x轴、y轴和z轴，便可得到六棱锥PABCDEF的直观图PABCDEF，如图(3)1利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()答案C解析正
10、方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为21.2如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()答案C解析在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的，并注意到xOy90，xOy45，因此由直观图还原成原图形为选项C.3若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()A.倍 B2倍 C.倍 D.倍答案A4如图，水平放置的ABC的斜二测直观图是图中的ABC，已知AC6，BC4，则AB边的实际长度是_答案10解析在原图中，AC6，BC428，AOB90，AB10.5画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上
11、、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)解(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图ABC，其中O为ABC的重心，BC2 cm，线段AO与x轴的夹角为45，AO2OD.(2)过O作z轴，使xOz90，在z轴上截取OO2 cm，作上底面等边三角形的直观图ABC，其中BC1 cm，连接AA，BB，CC，得正三棱台的直观图1画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点确定点的位置，可采用直角坐标系建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上2用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图
12、形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成Ox、Oy轴，使xOy45或135.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”课时作业一、选择题1在用斜二测画法画水平放置的ABC时，若A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中A等于()A45 B135C90 D45或135答案D解析因为A的两边分别平行于x轴、y轴，故A90，在直观图中，按斜二测画法规则知xOy45或135，即A45或135，故选D.2下面每个选项的2个边长为1的正ABC的直观图不是全等三角形的一组是()答案C解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论3如图所示，ABC是水平放置的A
13、BC的斜二测直观图，其中OCOA2OB，则以下说法正确的是()AABC是钝角三角形BABC是等腰三角形，但不是直角三角形CABC是等腰直角三角形DABC是等边三角形答案C4关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B正方形的直观图为平行四边形C梯形的直观图不是梯形D正三角形的直观图一定为等腰三角形答案B解析由直观图的性质知B正确5下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是()答案A解析由题意应看到正方体的上面、前面和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知A正确6已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正
14、方形的面积为()A16 B64C16或64 D无法确定答案C解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.7如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()答案A解析直观图中正方形的对角线长为，故在平面图形中平行四边形的高为2，只有A项满足条件，故A正确8已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A2 cm B3 cm C2.5 cm D5 cm答案D解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高
15、，故两顶点间距离为235(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选D.二、填空题9在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M，则点M的坐标为_答案(4,2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M的坐标为(4,2)10在如图所示的直观图中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为_(填形状)，面积为_ cm2.答案矩形8解析由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA2 cm，OC4 cm，四边形OABC的面积为S248(cm2)11如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45的等
16、腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图OABC，则在直观图中，梯形的高为_答案1解析作CD、BEOA于点D、E，则ODEA2(cm)，ODCD2 cm，在直观图中梯形的高为21(cm)三、解答题12如图所示，画出水平放置的四边形OBCD的直观图解(1)过点C作CEx轴，垂足为E，如图(1)所示画出对应的x轴，y轴，使xOy45，如图(2)所示(2)如图(2)所示，在x轴正半轴上取点B，E，使得OBOB，OEOE；在y正半轴上取一点D，使得ODOD；过E作ECy轴，使ECEC.(3)连接BC，CD，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形OBCD就是所求作的直观图13如图所示，
17、在ABC中，AC12 cm，AC边上的高BD12 cm，求其水平放置的直观图的面积解方法一画x轴，y轴，两轴交于O，使xOy45，作ABC的直观图如图所示，则ACAC12 cm，BDBD6 cm，故ABC的高为BD3 cm，所以SABC12318 (cm2)即水平放置的直观图的面积为18 cm2.方法二ABC的面积为ACBD121272(cm2)由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得ABC水平放置的直观图的面积是7218 (cm2)四、探究与拓展14水平放置的ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形ABC，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D任意三角形答案C解析将ABC还原，由斜二测画法知，ABC为钝角三角形15由下列几何体的三视图画出直观图解由几何体的三视图，知这个几何体是一个三棱柱(1)画轴如图，画出x轴，y轴，z 轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)画底面作水平放置的三角形(俯视图)的直观图ABC.(3)画侧棱过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA，BB，CC.(4)成图顺次连接A，B，C，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图
