1、谈如何从事数学科专题研究 談如何從事專題研究 高雄師範大學數學系 左太政壹、緒言:數學科專題研究的內涵1. 數學科專題研究是學生數學課外活動之一;2. 學生選取專題研究題材可能與下列有關:(1) 解釋數學的理論;(2) 解決數學問題;(3) 利用不同的數學概念探討遊戲。貳、參與數學科專題研究活動的重要性:專題研究是推展數學教育活動之一,其重要性如下:一、 專題研究應是數學教育之一部份,可訓練學生敏銳的觀察力、創造力及思考力。藉觀察去發掘一些問題,並能使用數學的方法來解決問題,期使能透過數學方法使學生獲得一些知識。二、 學生個人從事專題研究 (科展)工作,期望自老師處獲得指導、建議並評估其正確性
2、,尤其是在思考、觀察、創造及作品結構方面。三、 專題研究(科展)是教師在教學過程中,指導學生如何學習自生活經驗取材或加深加廣教材,使學生瞭解數學生活的連結,也是一種學習活動。四、學生可自科專題研究過程中獲得解題思考的表達能力。五、學生可自專題研究過程中獲得組織數學知識的能力。簡言之,學生在教師指導下,以類似科學研究的方法去從事專題研究以獲取知識、應用知識和解決問題;從而能掌握知識的內容,使學生能體驗、理解和應用科學的方法,培養創新的精神和實踐的能力。參、如何尋找專題研究(科展)之題材:科展題材應以學生所學習教材內容所做之數學研究為主;老師可協助學生尋找具挑戰性題材,使其與教材結合。專題研究題材
3、及內容須考慮下列因素:一、選擇何種類型的專題研究的問題(適合學生程度)(例如:幾何、數論、組合、益智數學遊戲、代數等題型)二、自何處找問題:請老師提供題材(目)或引導學生去發掘題材,或由學生間經由討論或發掘題材,最好能隨時記錄所查到資料並註明出處。可考慮自下列尋找題材:1. 國內外競賽試題的推廣或修改。2. 數學或科學類課本、書籍、國內外期刊、雜誌等。 (例如:Mathematics Teachers, Arithmatics teachers, Monthly Mathematics 等)3.已發表的作品之修改、推廣或利用不同方法(強調一題多解):例如有關魔方陣、黃金分割、商高定理、河內塔(
4、Hanoi Tower)、費瑪點及拿破崙定理、點燈問題等問題。4. 利用網際網路資源-國內外數學各領域相關資源網站等。5. 結合電腦的應用:利用軟體輔助解決問題如動態幾何(GSP)等,或先用電腦實驗尋求解答在輔以數學方法來驗證。6. 自周遭環境中尋找問題或與其他學科的連結。肆、如何蒐集研究資料及文獻探討:題目確定後,下一個步驟是學生自行蒐集相關資料,可請教師長、同學、家人或到校內外圖書館、上網及到附近的大學數學系尋找資料。 資料來源:一、歷屆全國科展得獎作品或各縣市參展作品。二、科學教育月刊、科教季刊、數學傳播、牛頓等科教方面雜誌。三、科技及科教叢書。四、大學相關科學書籍。五、國內外有關數學及
5、科學教育期刊雜誌, 如 Mathematics Teachers, Arithmatics Teachers, Monthly Mathematics 等。六、國內外競賽試題。七、網際網路教學及競賽題材資源-例如網址:(1) http:/www.utm.edu/research/primes/(2) http:/www.utm.edu/research/primes/largest.html(3) http:/problems.math.umr.edu/index.htm(4) 國內外各大學數學系網站。(5) 各搜尋器搜尋題材如:Fermat point, Hanoi Tower, Fibon
6、acci sequence, etc.(6) 歷屆國際奧林匹亞數學競賽試題。七、課本及參考書籍。伍、如何整理資料編製好的數學專題研究問題,可引發研究其解題策略,可能就是一個專題研究的好題材,亦即專題研究本身就是解題活動,並可培養學生數學的能力。陸、如何撰寫研究報告作品說明需用 WORD 檔以 A4 格張直式橫書,並需繳交電腦檔。一、摘要(三百字以內)二、研究動機:敘述問題如何發生,並需說明作品與教材的教學單元相關性。三、研究目的:具體明確簡潔地說明待答(待解決)的問題。四、研究設備器材:例如使用個人電腦、列表機、硬紙板及較具模型等。五、研究過程或方式:依據研究目的將待答的問題有步驟且分段的一一
7、解決。若有必要,需先舉特例說明,再予以推廣至一般情形。研究內容需以學生在學期間之教材內容所做之科學研究為主;研究對象以住家附近區域所接觸之環境、事、物為主。六、研究結果:七、結論:依據各項研究結果提出總結,並可提出進一步待解的研究問題。八、討論:對研究結果作進一步的探討或推廣。九、參考資料及其他:與作品有關的資料儘量列,並依規定格式列出中英文文獻及參考網站,如下列範例:康明昌著(1987),幾個有名的數學問題,臺北:中研院數學研究所。Larson, R. E.(1994),Calculus, MA: D.C. Heath and Company.十、 附錄-圖形、實驗數據、電腦列印結果、模型等
8、。柒、科展作品內容應注意事項如下:須注意參展作品之內容是否為已知的結果,例如:商高定理的證明、魔方陣、費瑪點、河內塔、點燈問題等。1. 作品需依規定格式撰寫,必要時附上實驗數據及草稿。2. 展覽內容以學生在學期間之教材內容所做之科學研究為主。3. 強調題材與教材的相關性。4. 對作品的要求:(1). 如何引起動機(2). 強調創意及鄉土性(3). 是否由同學們自行做(4). 思考的程序(5). 研究方法之嚴密性及完整性(是否只歸納結果而缺驗證)(6). 不得只以電腦處理結果呈現而不用數學驗證(7). 研究日誌或數據之詳實性(8). 參考資料來源與主題之相關性(9). 學生表達能力及生動程度(操
9、作技術)(10). 學術性或實用性價值(11). 主題與教材之相關性評審作品之流程1. 各區承辦科展學校將收齊之參展作品說明書,於參展日的前一星期送至評審教授(或教師)處;2. 評審委員審查參展作品,標記作品疑問之處,必要時須找尋相關資料及確認是否為已知結果;3. 設計評審當天的問題。捌、結語一般而言,從事科學專題研究可使學生從中學習思考、創造及解決問題之能力等。同時,若作品能在科展獲得獎勵優勝者,則有助於推薦甄選或申請進入高中或大學。 附錄: 國外教學資源及競賽題庫網站第一部分:中小教學資源網站1.www.cut-the-2.cedar.evansville.edu/ck6/tcenters
10、 (triangle centers)3.math.rice.edu/lanius/Lessons (Math lessons)4.www.utm.edu/research/primes5.www.utm.edu/research/primes/largest.html6.forum.swarthmore.edu/teachers/high/ (High school teachers place)7.www.ee.surrey.ac.uk/Personal/P.Knott/Fibonacci/fibpuzzles2.html 第二部分:競賽題庫資源網站 1.math.rice.edu/lan
11、ius/Geom/quiza.html (SAT-type test)2.www.unl.edu/amc/problems.html (AMC Problems, Problems, Problems)3.problems.math.umr.edu/index.html (Index and Journal problems)簡介:題目難度高,適合作為專題研究題材。4. (Internet center for mathematics problems)5.forum.swarthmore.edu/mathsites/problems.html (Internet center for mat
12、hematics problems)6.www.ualberta.ca/ahsmc/links.html (AHSMC Links for math contests)7.olympiads.win.tue.nl/imo/ (International Mathematics Olympiad-IMO) 自競賽題中尋找可能的專題研究題材一、翻紙杯問題1.有 7 個紙杯(或硬幣等)開口都朝上。(1) 規定每一次運動時,正好翻動其中任意四個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下?(2) 同上,規定每一次運動時,正好翻動其中任意六個, 試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下?(提示:可考慮
13、從杯子數少時如 2, 3, 4, 5, 6 個分別討論並記錄其結果)2.有 8 個紙杯(或硬幣等)開口都朝上。每一次運動時,正好翻動其中任意七個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下?3.如何推廣上述問題?即什麼情形下可以做到,什麼情形下不可以做到?二、從鐘面數談起-將整數分組的概念1.(1)已知鐘面上有 12 個數分別為 1, 2, 3, 12. 今將 這些數中間用加號或減號連起來,使結果為零,試問應如何填法?共有幾種不同填法?(2)能否所有可能正整數使得,能被分成三組且每組之數的和相同?(3)如何將上述問題的結果推廣至個數分別為,?2.(1)如何在這2005個數前面加上“”或“”號,
14、使其和為最小的非負整數? (2)如何在這2005個數前面加上“”或“”號,使其和為最小的非負整數?3.(1)已知有 128 個數分別為,.今將這些數分為四組,使每組皆有 32 個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法?(2)已知有 81 個數分別為,今將這些數分為三組,使每組皆有 27 個數且每組 的數之和都相等,試問應如何分法?【註】:問題 3 若改為下列問題時,可形成專題研究(科展)題材:4.已知有個數分別為,.今將這.些數分為組,其中為之因數,使每組皆有個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法?三、河內塔(Hanoi Tower)數學歸納法及遞迴關係式教學所使用的教具1. 已知一河內塔上
15、有 3 根小木條,最左一根木條排列著 n個大小不同的圓盤,由小而大且由上而下排列; 若規定一次只能移動一個圓盤且小的圓盤必須在大的圓盤的上面, 試問至少須移動多少次才能將此 n 個圓盤依原來的排列次序全部移至中間那一根小木條上?(解): 設 f(n) 表示 n 個圓盤依原來的排列次序全部移至另一根小木條上所需最少次數,則我們得知 f(1)=1, f(2)=3, 且由操作過程中得到f(n)=2 f(n-1) +1 (遞迴關係式),故f(n)=2n-1, n=1, 2, 3, 。2. 承上題,已知一河內塔上有3 根小木條,最左一根木條排列著 n 個大小不同的圓盤,由小而大且由上而下排列,若規定一次
16、只能移動一個圓盤,小的圓盤必須在大的圓盤的上面,且僅能將圓盤移動至旁邊位置(不可跳著移動)的小木條上,試問至少須移動多少次才能將此 n 個圓盤依原來的排列次序全部移至中間的小木條上? (提示: .)3. 將河內塔上的3 根小木條依序排列在一圓周上,分別標上號碼 1, 2, 3,如果 1 號一根木條排列著 n 個大小不同的圓盤,由小而大且由上而下排列,且規定一次只能依順時針方向移動一個圓盤,試問至少須移動多少次才能將此 n 個圓盤依原來的排列次序全部移至 3 號小木條上? 2 號小木條上? 4. 已知一河內塔上有 n 根小木條,最左一根木條排列著 n 個大小不同的圓盤,由小而大且由上而下排列,若
17、規定一次只能移動一個圓盤,試問至少須移動多少次才能將此 n 個圓盤依原來的排列次序全部移至另一根小木條上?5. 試分別討論上述問題中 n 個大小不同的圓盤改成 n 個大小一樣但塗上兩種、三種等不同顏色的圓盤。6. 河內塔與九連環之相關性。(九連環之遞迴關係式為)四、整數三角形(Integer Triangle)預備知識:三角函數及其性質、正弦定理、餘弦定理、面積公式、海龍公式。定義:凡是三邊長都是正整數的三角形稱為整數三角形。海龍公式(Heron formular)Alexandria 城的數學家 Heron(或稱為 Hero, 西元 10-75),他專長於幾何及力學, 於西元 60 年時發表
18、海龍公式。1.設三角形的三邊長分別為 a, b, c, 試導出海龍公式。2.設四邊形內接於一圓,若其四邊長分別為 a, b, c, d, 試求此四邊形的面積。(Brahmagupta 公式)3.設四邊形 ABCD 的四邊長分別為 a, b, c, d, 試求此四邊形的面積。 4.已知三角形的三邊長分別為 10, 17, 21, 試求其三高長。 5.設 a, b, c 為一個三角形的三邊長,且s=( a+b+c)/2.試問滿條件 s(s-c)=(s-a)(s-b) 的三角形是何種三角形?海龍三角形(Heron Triangle) 定義:凡是面積仍是正整數的整數三角形稱為海龍三角形。例如:三角形的
19、三邊長分別為 3, 4, 5 是海龍三角形。1.已知海龍三角形的兩邊長分別為 9, 10, 試求其第三邊長。2.設 a, b, c 為一直角三角形的三邊長,其中 c 為斜邊長,已知 a, b, c 皆為正整數,且其和等於 1000,試求所有可能$(a, b, c) 的值。3.已知一直角整數三角形的三邊長為兩兩互質,若其面積值為 630,且周長為 126, 試求此三角形的三邊長。4.設 a, b, c 為一直角三角形的三邊長,其中 c為斜邊長,已知 $a, b, c 皆為正整數,且其和等於 1000,試求所有 (a, b, c) 的值。5.如果三角形的三邊長分別為 3, 4, 5,則面積為 6,
20、我們發現此三角形的三邊長與面積恰好是連續整數。試求滿足這種條件的所有海龍三角形。6.試求周長是 12的所有海龍三角形。7.試求周長一定但至少有兩種不同的海龍三角形之最小周長。8.試求周長是100 單位的五個不同的海龍三角形。9.試求周長是 84的所有海龍三角形。10.能否找出所有的海龍三角形?尤拉三角形(Eulerian Triangle)定義:凡是三中線長都是正整數的整數三角形稱為尤拉三角形。例如:三角形的三邊長分別為 136, 170, 174時,其三中線長為 158, 127, 131。1.設三角形的三邊長分別為a, b, c,若三中線長為x, y, z,試以 a, b, c 表示 x,
21、 y, z.2.能否找出所有的尤拉三角形?思考題:1. 試找出所有的整數直角三角形使其面積數值等於周長數值。2. 試找出所有的整數三角形使其面積數值等於周長數值。3. 試找出所有的整數三角形使其周長數值是面積數值兩倍(或其它倍數)。4. 試找出四邊之長都是整數且其面積數值等於周長數值的所有矩形。5. 試找出四邊之長都是整數,其周長數值是面積數值兩倍(或其它倍數)的所有矩形。整數多邊形及海龍三角形一整數三角形的面積是整數值則稱之為海龍三角形。1. 試找出三邊之長都是整數,其面積數值等於周長數值的所有直角三角形。2. 試找出三邊之長都是整數,其面積數值等於周長數值的所有三角形。3. 試找出三邊之長
22、都是整數,其周長數值是面積數值兩倍(或其它倍數)的所有三角形。4. 試找出四邊之長都是整數,其面積數值等於周長數值的所有矩形。5. 試找出四邊之長都是整數,其周長數值是面積數值兩倍(或其它倍數)的所有矩形。6. 上述結論是否可推廣至多邊形?7. 試找出三邊長為連續整數的所有的海龍三角形。五、從一題幾何作圖題談起例題 1.是否存在一個凸1990邊形,具有下列二個性質:(1) 所有內角的度數都相等;(2) 1990條邊的邊長分別為的一個排列。 資料來源:中學數學競賽導引(1993)。上海教育出版社。p 644649【提示】:1.先從邊數較少的偶數邊形開始,是否可能存在凸四邊形且滿足性質(1)及邊長
23、是1,2,3,4的一個排列? 2.必可存在凸六邊形滿足性質(1)及邊長是1,2,3,6的一個排列如右圖所示。(為什麼?)【證明】略。請參閱中學數學競賽導引(1993)。上海教育出版社。p 645 由上題的解法可做如下的推廣:【推廣】對任意正整數,必存在同時滿足下列兩個條件的凸邊形:(1)所有內角的度數都相等;2條邊的邊長分別為的一個排列。【提示】:可以用下列方法安排各邊的長度: 將各邊依序編號,再將奇數號碼的邊長依序取為 其餘各邊之邊長取其對應邊邊長再加上,如圖為六邊形及十邊形之構圖。 【證明】略。 例題 2.是否存在一個凸1990邊形,具有下列二個性質:(1)所有內角的度數都相等;(2)19
24、90條邊的邊長分別為的一個排列。 (1990年第31屆IMO試題,荷蘭提供)【證明】略。請參閱資料:中學數學競賽導引(1993)。上海教育出版社。p 647648【註】:因為1990=25199,且5和199都是互質的奇數,可做如下的推廣:【推廣】對於任意二個互質的奇數和,必存在同時滿足下列兩個條件的凸邊形:(1)所有內角的度數都相等;2將其各邊依序邊號,奇數號碼的邊長分別為的一個排列,偶數號碼的邊長分別為的一個排列。 【註】:滿足以上條件的最小值為30。【習題】:邊長都是有理數且滿足內角都相等的八邊形是中心對稱的。 【證明】略。請參閱資料:中學數學競賽導引(1993)。上海教育出版社。p 660661六、數學命題的推廣1. 正三角形 ABC 一邊的中點到其它兩邊距離之和必為定值。2. 承上題,一邊的中點改為一邊上任意一點。3. 承上題,一邊的中點改為正三角形內任意一點。4. 承上題,正三角形 改為等腰三角形;另外,底邊的中點改為 底邊上任一點或等腰三角形內任一點。5. 承上題,正三角形 改為正多邊形;另外,一邊的中點改為一邊上任一點或正多邊形內任一點。6. 承上題,正三角形 改為邊長相等的凸多邊形;另外,一邊的中點改為一邊上任一點或凸多邊形內任一點。7. 承上題,正三角形 改為內角相等的凸多邊形;另外,一邊的中點改為一邊上任一點或凸多邊形內任一點。8. 試問如何繼續推廣上題?