1、高中数学专题训练五三个二次问题doc高中数学专题训练 三个二次问题（二次函数、不等式、方程）1. 解关于 x 的不等式： (1) x2 (a 1)x a 0， (2) 2x2mx 2 0 2 设集合 A= x|x23k2 2k(2x 1) ， B= x|x2 (2x 1)kk2 0 ，且 AB，试求 k 的取值范围3不等式 (m2 2m 3)x2 (m 3)x1 0 的解集为 R，求实数 m 的取值范围4已知二次函数 y x2 px q，当 y 0 时，有 1 x 1 ，解关于 x 的不等式 qx2 px2 31 05若不等式 1 x 2 qx p 0的解集为 x | 2 x 4 ，求实数 p
2、 与 q 的值p6. 设 f x ax2 bx c a 0 ，若 f 0 1， f 1 1， f 1 1 , 试证明：对于5任意 1 x 1，有 f x .47（. 经典题型， 非常值得训练）设二次函数 fx ax2bx c a0，方程 f x x 0的两个根 x1 , x2 满足 0 x110,x1时，证明 xfx x1 .x2. 当 xa8. 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间 ( 1， 0)内，另一根在区间 (1， 2)内，求 m 的范围 .(2)若方程两根均在区间 (0， 1)内，求 m 的范围 .9. 已知二次函数 f(x)=ax
3、2+bx+c 和一次函数 g(x)= bx，其中 a、b、c 满足 abc,a+b+c=0,(a,b,c R ).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点 A、 B；(2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围 .ty(a0 且 a 1)10.已知实数 t 满足关系式 log alog aa 3a3(1)令 t= ax,求 y=f(x)的表达式；(2)若 x (0,2 时， y 有最小值8，求 a 和 x 的值 .11.如果二次函数 y=mx2+(m 3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m的取值范围 .pqr12.二次函数 f(x)=px2+qx+
4、r 中实数 p、 q、 r 满足m 1=0,其中 m0,求证：m 2m(1)pf( m)0 的解集是 x|ax (0a ),求不等式 cx2+bx+a0的解集 .答案：1.解： (1) 原不等式可化为：( x a)( x1)0, 若 a 1 时，解为1 xa，若 a1 时，解为 a x 1，若 a=1 时，解为(2) = m216 当 m 2160即m4或m4时 ， 0方程 2x 2mx20 有二实数根： x1mm216 , x2mm 216 .44原不等式的解集为x | xmm216 或 xmm216 .44当 m =4 时， =0，两根为 x1x2m .4若 m 4, 则其根为1，原不等式
5、的解集为x | xR, 且x1 若 m4, 则其根为1，原不等式的解集为x | xR,且 x1 当 4 m4 时，方程无实数根原不等式的解集为R2解： A x | x(3k1) x (k1)0 ，比较 3k1, k1的大小 ,因为 (3k1)(k1)2( k1),(1)当 k 1 时， 3k 1 k1， A= x|x 3k1 或 xk1.(2)当 k=1 时， xR .(3)当 k 1 时， 3k 1 k1， A=x | xk1或 x 3k 1 .B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式4k 24(k 2k)4k ，(1)当 k=0 时，0, x R .(2)当 k 0 时， 0， xR .(
6、3)当 k 0 时，0, xkk或 xkk .故：当 k0 时，由 B=R ，显然有 AB ，当 k0 时，为使 A3k 1kkk1 ，于是 k1时，A B.B ，需要1kkk综上所述， k 的取值范围是： k 0或 1 k 0.3.解： ( )当 m22m 3 0，即 m 3 或 m 1 时，若 m 3，原不等式解集为 R若 m 1，原不等式化为 4x 1 014( )若 m2 2m 30，依题意有m22m301 m3(m3)24(m 22m即133) 0m5 1 m 35综上，当1 m 3 时，不等式 (m2 2m 3)x2( m 3)x 10 的解集为 R .51 ， x214.解： 由
7、已知得x1是方程 x2 pxq=0 的根，23 p=11q=112323 p 1 ，q 1 ，不等式 qx2 px 106 6即 1 x2 1 x 1 066x2 x 60， 2 x 3.即不等式 qx2 px 10 的解集为 x 2 x 3 .5.解：由不等式1 x2qxp0 的解集为 x | 2 x4，得p2和 4是方程 1x2qxp0 的两个实数根，且10(如图 )pp1y0P2 4pqp0.o24x2 4 p 2解得 P 2 2 ,q3 2.26. 解： f1abc, f 1 a bc, f 0c , a1 ( f1f12 f 0 ), b1 ( f (1)f ( 1), cf 0,2
8、2 f xf 1 x2xf 1 x 2xf 0 1 x2. 当1 x 0 时，22f xf1x2xf1x2xf 01x222x2xx2x1 x2x2xx2x(1 x2 )2222x2x 1( x1 ) 25 5.244当 0 x1时， f xf 1x2xf 1x22xf 0 1 x22x2xx2x1x2x2xx2x(1 x2)2222x2x 1( x 1 )25 5 .2447. 证明：由题意可知f ( x)xa(xx1 )( xx2 ) .0xx1x21,a(xx1 )( xx2 ) 0 ,a 当 x0, x1 时， f (x)x .又 f ( x)x1a( x x1 )( x x2 )x
9、x1( x x1 )(ax ax21) ,x x10, 且ax ax21 1 ax20, f ( x) x1 ,综上可知，所给问题获证 .8. 解： (1) 条件说明抛物线f(x)= x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间( 1， 0)和 (1， 2)内，画出示意图，得m1f ( 0)2m10,2mR,f ( 1)20,1 ,f (1)4m20,mf ( 2)6m5025m6516m.2f ( 0)0,f (1) 0,(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间 (0， 1)内，列不等式组0,0 m 1m1 ,2m1 ,(这里 0mbc, a0,c0, 0,即两函数的图象交于不同的两点.4
10、(2)解：设方程2的两根为2bcax +bx+c=0x 和 x ,则 x +x =,x x = .121212aa|A1B1|2=(x1 x2 )2=(x1+x2)2 4x1x2(2b24c4b24ac 4(ac) 24ac)aa 2a2a4( c ) 2c1 4( c1) 23aaa24abc,a+b+c=0,a0,ca cc,解得 c ( 2, 1 )a2 f ( c )4( c ) 2c1 的对称轴方程是c1.aaaa2c ( 2, 1 )时，为减函数a 2 |A1B1|2 (3,12), 故 |A1B1 |( 3,2 3 ).10. .解： (1）由 log atlogty得 log
11、at 3=log ty 3log taa 3a 3log a y3由 t=ax 知 x=log at，代入上式得 x 3=,xxlogay=x2 3x+3，即 y=a x2 3x 3 (x 0).(2)令 u=x2 3x+3=( x 3 )2+ 3 (x 0),则 y=au2 4若 0 a 1,要使 y=au 有最小值 8，则 u=(x 3 ) 2+ 3 在 (0，2 上应有最大值，但 u 在 (0， 2 上不存在最大值 .2 4若 a1,要使 y=au 有最小值8，则 u=(x 3 )2+3 ,x (0,2 应有最小值243 时， umi n33当 x=mi n424,y = a3由 a 4
12、 =8 得 a=16.所求 a=16,x= 3 .211.解： f(0)=10(1)当 m0 时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意.0(2）当 m0 时，则 3 m解得 0 m 1m0综上所述， m 的取值范围是 m|m 1 且 m 0.12.证明： (1) pf ( m ) p p(m) 2q(m) r m1m 1m 1pmpmqr pmpmp(m 1) 2m 1 m( m 1) 2m2m( m2) (m1) 2p2 m( m1) 2 ( m2)pm21,由于 f(x)是二次函数，故p 0,又 m0, 所以， pf(m) 0.( m 1) 2 (m 2)m1(2)由
13、题意，得 f(0)= r ,f(1)= p+q+r当 p 0 时，由 (1）知 f(m) 0m1若 r0, 则 f(0)0, 又 f(m) 0,所以 f(x)=0m在(0，)内有解 ;m 1m1若 r 0,则 f(1)= p+q+r=p+(m+1)=( prpr2)+r =20,mmmm又 f(m) 0,所以 f(x)=0 在 (m,1)内有解 .m1m1当 p 0 时同理可证 .13.解： (1）设该厂的月获利为y,依题意得y=(160 2x)x (500+30x)= 2x2+130 x500由 y 1300 知 2x2+130x 500 1300x2 65x+900 0， (x20)( x
14、45) 0，解得 20 x45当月产量在 2045 件之间时，月获利不少于1300 元.(2）由 (1）知 y= 2x2+130 x500= 2(x 65 )2 +2 x 为正整数， x=32 或 33 时， y 取得最大值为1612 元，当月产量为 32 件或 33 件时，可获得最大利润1612 元 .14. 解 (1)|c|f(0)|1(因为 0 1， 1)所以当 1x1 时，15. 解： 由题意 f x x ax 2 (b 1) x c .它的对称轴方程为 x b 12a由方程 fxx0 的两个根 x1 , x2 满足0x1x21,可得b11b1b1a0 x1x2x1x22a, 且2a,a2a b 1x1x2b 11 b 1 ，2a2aa2a
