1、空间向量和立体几何练习题及答案1.如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面ABCD为正方形，平面 PAD丄平面ABCD 点 M 在线段 PB上, PD/平面 MAC, PA=PD= ., AB=4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B - PD - A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【分析】(1)设AC n BD=O，则0为BD的中点，连接OM，利用线面平行的 性质证明OM / PD，再由平行线截线段成比例可得 M为PB的中点；(2)取AD中点G，可得PG丄AD，再由面面垂直的性质可得 PG丄平面ABCD， 则PG丄AD，连接OG,贝U PG丄OG,再证明OG丄AD
2、.以G为坐标原点，分 别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面 PBD 与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角 B- PD - A的 大小；(3)求出丫的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得 直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【解答】(1)证明：如图，设ACn BD=O , ABCD为正方形，二O为BD的中点，连接 OM , PD/平面 MAC, PD?平面 PBD，平面 PBDn 平面 AMC=OM , PD/ OM，贝U ，即M为PB的中点；dD Dr(2)解：取AD中点G, PA=PD，二 PG 丄 AD ,平面PAD
3、丄平面ABCD，且平面 PAD G平面 ABCD=AD , PG丄平面ABCD，贝U PG丄AD，连接OG，贝U PG丄OG ,由G是AD的中点，O是AC的中点，可得 OG / DC,则OG丄AD .以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐 标系,由 PA=PD=V，AB=4，得 D( 2, 0，0)，A (- 2, 0, 0)，P (0，0,血)，C(2, 4, 0) , B (- 2, 4, 0), M (- 1, 2,设平面PBD的一个法向量为取平面PAD的一个法向量为二面角B- PD - A的大小为60 ;（3）解:尿（3 乜 孚），平面BDP的一个法
4、向量为二灶，1,血）.直线 MC与平面 BDP所成角的正弦值为|cos 【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中 档题.2.如图，在三棱锥 P- ABC中，PA丄底面ABC, / BAC=90 .点D , E, N分 别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2 .(I)求证：MN /平面BDE ;(U)求二面角C- EM - N的正弦值；(川)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为.，求线段AH的长.【分析】(I)取AB中点F,连接MF、NF，由已知可证 MF /平面BDE，NF/平面BDE .得至U平面 MFN
5、/平面BDE，贝U MN /平面BDE ;(U)由PA丄底面ABC，/ BAC=90.可以A为原点，分别以 AB、AC、AP 所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面 MEN与平面CME的一 个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角 C-EM-N的余弦值，进一步 求得正弦值；(川)设AH=t，则H (0, 0, t)，求出丽、U的坐标，结合直线 NH与直线 BE所成角的余弦值为耳列式求得线段AH的长.【解答】(I)证明：取AB中点F，连接MF、NF, M 为 AD 中点，二 MF / BD , BD?平面 BDE , MF?平面 BDE，二 MF / 平面 BDE . N 为 BC
6、 中点，二 NF / AC,又 D、E 分别为 AP、PC 的中点，二 DE / AC,贝U NF / DE .v DE?平面 BDE，NF?平面 BDE，二 NF / 平面 BDE .又 MF A NF=F .平面 MFN /平面BDE，贝U MN /平面BDE ;(U)解：v PA丄底面 ABC, / BAC=90.以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标 系.v PA=AC=4，AB=2， A (0, 0, 0)，B (2, 0，0)，C (0, 4, 0)，M (0, 0，1)，N (1, 2, 0)，E(0, 2, 2),则rj -：k l.一，一，设
7、平面MEN的一个法向量为由图可得平面CME的一个法向量为J, | . (川)解：设 AH=t，则 H (0, 0, t),両二G1, -2, t)，豆厶 2).解得:或t=-当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为二，此时线段AH的【点评】本题考查直线与平面平行的判定， 考查了利用空间向量求解空间角， 考 查计算能力，是中档题.3如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD (及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120。得到的，G 是 F；的中点.(I)设P是卜上的一点，且 AP丄BE，求/ CBP的大小；(U)当AB=3，AD=2时，求二面角E - AG - C的大小.【分析】
8、(I)由已知利用线面垂直的判定可得 BE丄平面ABP，得到BE丄BP，结合/ EBC=120。求得/ CBP=30;(U)法一、取 的中点H，连接EH , GH , CH，可得四边形BEGH为菱形， 取AG中点M，连接EM , CM, EC,得至U EM丄AG , CM丄AG，说明/ EMC为 所求二面角的平面角.求解三角形得二面角 E- AG-C的大小.法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间 直角坐标系.求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面 AEG与平面ACG的 一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 E - AG - C的大小.【解答】 解：
9、(I)v API BE，AB 丄 BE,且 AB，AP?平面 ABP，ABA AP=A， BE丄平面 ABP, 又 BP?平面 ABP, BE丄 BP,又/ EBC=120,因此/ CBP=30;(U)解法一、取的中点H，连接EH , GH , CH ,vZ EBC=120,A四边形BECH为菱形， AE=GE=AC=GC=J/ + 2j 启.取AG中点M，连接EM , CM , EC,则 EM 丄 AG , CM 丄 AG ,Z EMC为所求二面角的平面角.又 AM=1 , EM=CM=丨 -:;.在厶BEC中，由于Z EBC=120,由余弦定理得：EC2=22+22- 2X2X2X cos
10、120 =12 , ；，因此 EMC为等边三角形，故所求的角为60解法二、以B为坐标原点，分别以BE, BP, BA所在直线为x.间直角坐标系.由题意得：A (0, 0, 3), E (2, 0, 0), G (13, 3), C (-y, z轴建立空1,；, 0),面角E - AG - C的大小为60设 in二（ky * z i ）为平面AEG的一个法向量,训练了线面角【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力, 的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题.4如图，在以A ,B,C,D ,E ,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD ,/ AFD=90,且二面角
11、 D - AF- E 与二面角 C- BE - F 都是 60 .(I)证明平面 ABEF丄平面EFDC ;【分析】(I)证明AF丄平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF丄平面EFDC ;(U)证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系， 求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角 E - BC- A的余弦值.【解答】(I)证明：ABEF为正方形，二AF丄EF.vZ AFD=90,. AF 丄 DF,v DFn EF=F , AF丄平面 EFDC ,v AF?平面 ABEF ,平面ABEF丄平面EFDC ;(U)解：由 AF 丄 DF
12、 , AF 丄 EF,可得Z DFE为二面角D - AF - E的平面角；由ABEF为正方形，AF丄平面EFDC ,v BE丄 EF, BE丄平面EFDC即有CE丄BE, 可得/ CEF为二面角C- BE - F的平面角.可得/ DFE= / CEF=60. AB/ EF, AB?平面 EFDC , EF?平面 EFDC, AB/平面 EFDC ,平面 EFDC G 平面 ABCD=CD , AB?平面 ABCD, AB/ CD, CD/ EF,四边形EFDC为等腰梯形.以E为原点，建立如图所示的坐标系，设 FD=a , 则 E (0, 0, 0), B (0, 2a, 0) , C (一，0
13、 ,ID=_ _ =龙yn=血巧话416 = 19 ,【点评】本题考查平面与平面垂直的证明， 考查用空间向量求平面间的夹角， 建 立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.5.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O, AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD 上, AE=CF=_，EF交于BD于点H，将 DEF沿EF折到 4D EF 的位置，0D = I.(I)证明： D H 丄平 BABCD;(U)求二面角B- D A-C的正弦值.【分析】(I)由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF / AC， 再由ABCD是菱形，得 AC丄BD，进一步得到EF
14、丄BD，由EF丄DH，可得EF 丄D H,然后求解直角三角形得 D H丄0H，再由线面垂直的判定得D H丄 平面ABCD ;(U)以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的 坐标，得到的坐标，分别求出平面 ABD与平面ADC的一个 法向量：，设二面角二面角B- D A- C的平面角为求出|cos|B则二面角B- D A-C的正弦值可求.【解答】（I）证明：ABCD是菱形， AD=DC，又 AE=CF十, ，贝U EF/ AC,EA FC又由ABCD是菱形，得 AC丄BD，贝U EF丄BD , EF丄 DH，贝U EF丄 D H， AC=6， AO=3，又 AB=5，AO 丄
15、OB， OB=4， OH= f1，贝U DH=d H=3,AD w ， ，I OD | 2f|OH| 2+| DH 12,则 D H OH， 又 OH A EF=H , D H丄平面ABCD ;(n)解：以h为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,T AB=5 , AC=6 , B (5, 0, 0), C (1, 3, 0), D( 0, 0, 3), A (1,- 3, 0),同理可求得平面ADC的一个法向量: I ,平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题.设二面角二面角B- D A-C的平面角为9,九5訂 _|3X3+X1| 硒6.在三棱柱ABC - AiBiCi中
16、，CA=CB，侧面ABBA 是边长为2的正方形，点E, F 分别在线段 AAi、A1B1 上，且 AE，AiFL，CE丄 EF.2 4(I)证明：平面 ABBiAi丄平面ABC;(U)若CA丄CB,求直线ACi与平面CEF所成角的正弦值.【分析】(I)取AB的中点D，连结CD，DF，DE 计算DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出 DE丄EF，由三线合一得 CD丄AB，故而 CD丄平面ABBiAi，从而平面 ABBiAi丄平面ABC;(II)以C为原点建立空间直角坐标系，求出|和平面CEF的法向量I,则直线ACi与平面CEF所成角的正弦值等于【解答】证明：(I)取AB的中点D，连结CD,
17、DF , DE . AC=BC , D 是 AB 的中点，二 CD 丄AB .侧面ABBiAi是边长为2的正方形，AE=丄,AiF=.:AiE=, EF= “ DE= ：二,DF=j， EF2+DE2=DF2,A de 丄EF, 又 CE丄EF, CE A DE=E , CE?平面 CDE, DE?平面 CDE , EF丄平面 CDE , 又 CD?平面 CDE , CD丄 EF,又CD丄AB , AB?平面ABBiAi , EF?平面ABBiAi , AB , EF为相交直线, CD丄平面 ABBiAi ,又 CD? ABC ,平面 ABBiAi X平面 ABC.(II )v 平面 ABBi
18、Ai X平面 ABC ,三棱柱ABC- AiBiCi是直三棱柱，二CGX平面ABC.v CAX CB , AB=2 , / AC=BC=.以C为原点,以CA , CB , CCi为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示：则 A (.二,0 , 0), C (0 , 0 , 0) , Ci (0 , 0 , 2) , E (.二,0,亍),F ( _ , _ ,2).呢=(-血,0 , 2), CE=(並,0, |), CF=(誓,半,2).8f n CR 二 Cl设平面CEF的法向量为口 = (x , y, z),贝卜 Ln*CF=0直线ACi与平面CEF所成角的正弦值为 .【点评】本题考查了面面
19、垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中 档题.7.如图，在四棱锥中 P ABCD，PA丄平面 ABCD，AD / BC，AD丄CD，且AD=CD=2 :，BC=4 .t, PA=2 .(1)求证：AB丄PC;(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M - AC - D的大小为45 , 如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.【分析】(1)利用直角梯形的性质求出AB，AC的长，根据勾股定理的逆定理得出AB丄AC,由PA丄平面 ABCD得出AB丄PA,故AB丄平面PAC，于是AB丄 pc；(2)假设存在点M，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出 M到平面
20、ABCD 的距离从而确定M的位置，利用棱锥的体积求出B到平面MAC的距离h,根据 勾股定理计算BM，则丄即为所求角的正弦值.【解答】解：(1)证明：四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=2 :, BC=4 .t, AC=4 , AB=&皤扭)2+即2=血西=4, ABC是等腰直角三角形，即AB丄AC, PA丄平面 ABCD , AB?平面 ABCD , PA 丄 AB, AB丄平面 PAC, 又 PC?平面 PAC, AB 丄 PC.(2)假设存在符合条件的点 M,过点M作MN丄AD于N，则MN / PA, MN 丄平面 ABCD，二 MN 丄 AC.过点M作MG丄AC于G,连接NG，则AC丄平面MNG , AC丄NG，即/ MGN是二面角M - AC - D的平面角.若/ MGN=45，贝U NG=MN , 又 AN= . :NG= : ：MN , MN=1，即M是线段PD的中点.
