1、版高考数学新增分大一轮复习第五章三角函数解三角形专题突破三高考中的三角函数与解三角形问题讲义含解高考专题突破三高考中的三角函数与解三角形问题题型一三角函数的图象和性质例1已知函数f(x)5sinxcosx5cos2x(其中xR)，求：(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调区间；(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心解(1)因为f(x)sin2x(1cos2x)55sin，所以函数的最小正周期T.(2)由2k2x2k(kZ)，得kxk (kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调递减区间为(kZ)(3)由2
2、xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称轴方程为x(kZ)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称中心为(kZ)思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为yAsin(x)k的形式，然后将tx视为一个整体，结合ysint的图象求解跟踪训练1(2018“七彩阳光联盟”期初联考)已知f(x)2cos2xsin2x1(xR)，求：(1)f(x)的单调递增区间；(2)当x时，求f(x)的值域解由题意得f(x)sin2x(2cos2x1)1sin2xcos2x12sin1.(1)由2k2x2k(kZ)，得2k2x2k(kZ)，kxk(kZ)，函数f(x)的单
3、调递增区间为，kZ.(2)x，2x，sin，f(x)0,3故f(x)的值域为0,3题型二解三角形例2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAcosA0，a2，b2.(1)求角A和边长c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解(1)sinAcosA0，tanA，又0A，A，由余弦定理可得a2b2c22bccosA，即284c222c，即c22c240，解得c6(舍去)或c4，故c4.(2)c2a2b22abcosC，16284222cosC，cosC，CD，CDBC，SABCABACsinBAC422，SABDSABC.思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定
4、理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍跟踪训练2(2018浙江省第二次联盟校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinBasinA(ca)sinC.(1)求B；(2)若3sinC2sinA，且ABC的面积为6，求b.解(1)由bsinBasinA(ca)sinC及正弦定理，得b2a2(ca)c，即a2c2b2ac.由余弦定理，得cosB，因为B(0，)，所以B.(2)由(1)得B，所以ABC的面积为acsinBac6，得ac24.由3sinC2sinA及正弦定理，得3c2a，所以a6，c4.由余弦定理，得b2a2c2
5、2accosB36162428.所以b2.题型三三角函数和解三角形的综合应用例3已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanB(tanC1)tanC.(1)求角A的大小；(2)若a，ab，求bc的取值范围解(1)由tanB(tanC1)tanC得tanBtanC(tanBtanC1)，tan(BC)，tanA，0A，A.(2)由正弦定理得2，得b2sinB，c2sinC，bc2sinBsinC2sinBsinsinBcosBsin.ab，B，B0，所以b3.1在ABC中，A60，ca.(1)求sinC的值；(2)若a7，求ABC的面积解(1)在ABC中，因为A60，ca，所以由
6、正弦定理得sinC.(2)因为a7，所以c73.由余弦定理a2b2c22bccosA，得72b2322b3，解得b8或b5(舍去)所以ABC的面积SbcsinA836.2(2018温州适应性测试)已知函数f(x)4cosxcos1.(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间解(1)f4coscos14coscos1412.(2)f(x)4cosxcos14cosx12cos2xsin2x1sin2xcos2x2sin.所以f(x)的最小正周期为，当2k2x2k(kZ)，即kxk，(kZ)时，f(x)单调递增，即f(x)的单调递增区间为(kZ)3(2018浙江省金华市名校第二次统
7、练)已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，S为ABC的面积，且2Sc2.(1)证明：；(2)若，求tanB.(1)证明根据三角形的面积公式及2Sc2得，absinCc2，根据正弦定理得，sinAsinBsinC.又在ABC中，ABC，sin(AB)sin(C)sinC，sinAsinBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，两边同时除以sinAsinB，得1.根据正弦定理，得sinA，sinB，代入化简得，.(2)解由，得c2a2bcb2，根据余弦定理得，cosA，又A(0，)，sinA，又由(1)知sinAsinBsinAcosBcosAsinB，sinBco
8、sBsinB，故tanB.4(2018浙江省六校协作体期末联考)已知f(x)cosxsin1.(1)求f(x)在0，上的单调递增区间；(2)在ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(B)，sinAsinCsin2B，求ac的值解f(x)cosxsin1cosx1sin2x1sin2xcos2xsin.(1)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，又x0，f(x)在0，上的单调递增区间是和.(2)由f(B)sin，得sin1.又B是ABC的内角，2B，B，由sinAsinCsin2B及正弦定理可得acb2.在ABC中，由余弦定理b2a2c22accosB，得ac(ac)22acac，
9、则ac0.5.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acosCasinCbc0.(1)求A；(2)若AD为BC边上的中线，cosB，AD，求ABC的面积解(1)acosCasinCbc0，由正弦定理得sinAcosCsinAsinCsinBsinC，即sinAcosCsinAsinCsin(AC)sinC，亦即sinAcosCsinAsinCsinAcosCcosAsinCsinC，则sinAsinCcosAsinCsinC.又sinC0，所以sinAcosA1，所以sin(A30).在ABC中，0A180，则30A300)，则在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcosB，
10、即25x249x225x7x，解得x1(负值舍去)，所以a7，c5，故SABCacsinB10.6已知函数f(x)cos2xsin2xt(0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点(0,0)(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数yg(x)的图象，若函数F(x)g(x)k在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围解(1)f(x)cos2xsin2xt2sint，f(x)的最小正周期为，2，f(x)的图象过点(0,0)，2sint0，t1，即f(x)2sin1.令2k4x2k，kZ，求得x，kZ，故f(x)的单调增区间为，kZ.(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得y2sin12sin1的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)2sin1的图象x，2x，sin，故g(x)2sin1在区间上的值域为.若函数F(x)g(x)k在区间上有且只有一个零点，由题意可知，函数g(x)2sin1的图象和直线yk有且只有一个交点，根据图象(图略)可知，k1或1k1.故实数k的取值范围是1(1，1
