1、排列组合典型题大全包括答案排列组合典型题大全一可重复的排列求幂法： 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客 ，能重复的元素看作“店 ，那么通过“住店法可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例 1】 1有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，那么有多少种不同投法？【解析】：1 34 2 43 3 43【例2】把 6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少
2、种不同方法？【解析】：完成此事共分6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7 种不同方案， 依次类推， 由分步计数原理知共有76种不同方案.【例3】 8 名同学争夺3 项冠军，获得冠军的可能性有 A、83B 、38C 、A83D 、3C8【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把 8 名学生看作 8 家“店，3 项冠军看作 3 个“客，他们都可能住进任意一家“店 ，每个“客有 8 种可能，因此共有 83 种不同的结果。所以选 A1、 4 封信投到 3 个信箱当中，有多少种投法？2、 4 个人争夺 3 项冠军，要求冠军不能并列，每
3、个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、 4 个同学参加 3 项不同的比赛（1每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、 5 名学生报名参加 4 项比赛，每人限报 1 项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这 4 项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分 10 瓶汽水的方法有多少种？6、全国 II 文 5位同学报名参加两个课外活动小组 , 每位同学限报其中的一个小组 , 那么不同的报名方法共(A)10 种 (B) 20 种 (C) 25 种 (D) 32 种7、 5 位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个
4、兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，那么不同的负责方法有多少种？8、 4 名不同科目的实习教师被分配到 3 个班级，不同的分法有多少种？思考： 4 名不同科目的实习教师被分配到 3 个班级， 每班至少一个人的不同的分法有多少种？二相邻问题捆绑法 ： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 .高考资源 网? 【例 1】 A, B,C , D , E 五人并排站成一排，如果A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把 A, B 视为一人， 且 B 固定在 A 的右边， 那么此题相当于 4人的全排列， A4424 种例 2. 7 人站成一排
5、 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 .解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A55 A22 A22480种不同的排法甲 乙丙 丁要求某几个元素必须排在一起的问题 , 可以用捆绑法来解决问题 . 即将需要相邻的元素合并为一个元素 , 再与其它元素一起作排列 , 同时要注意合并元素内部也必须排列 .【例 2】2021 四川卷理 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，假设男生甲不站两端， 3位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是 A. 360B.
6、288C. 216D. 96【解析】 ： 间接法6位同学站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C32A 22 A 42A 22 =432种高考资源网?其中男生甲站两端的有A 12 C32A 22 A 32A 22 =144 ，符合条件的排法故共有 288例 2、6 名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有 C 种。A720 B 360 C 240 D 120三相离问题插空法 ：元素相离即不相 ，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把 定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 .【例 1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必 不相 ，那么不同的排法种数是【解析】：除
7、甲乙外，其余 5 个排列数 A55 种，再用甲乙去插 6 个空位有 A62 种，不同的排法种数是 A55 A62 3600 种【例 2】 架上某 有 6 本 ，新 3 本插 去，要保持原有 6 本 的 序，有 种不同的插法具体数字作答【解析】： A 17 A18A 91 =504 或分 【例 3】 高三一班学要安=排 晚会的 4 各音 目， 2 个舞蹈 目和 1 个曲 目的演出 序，要求两个舞蹈 目不 排， 不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数 A55 A62 3600【例 4】 某工程 有 6 工程需要 独完成，其中工程乙必 在工程甲完成后才能 行，工程丙必 在工程乙完成后才能 行，又工
8、程丁必 在工程丙完成后立即 行。那么安排 6 工程的不同排法种数是【解析】：依 意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5 个空中，可得有 A52 20 种不同排法。【例 5】某市春 晚会原定 10 个 目， 演最后决定添加3 个与“抗冰救灾有关的 目，但是 灾 目不排在第一个也不排在最后一个，并且已 排好的10 个 目的相 序不 ， 晚会的 目 的 排 数 种.【解析】： A 1 A1A 1 =99091011【例 6】. 路上有 号 1，2，3， 9 九只路灯， 要关掉其中的三 ，但不能关掉相 的二 或三 ，也不能关掉两端的两 ，求 足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此
9、 当作一个排 模型，在 6 亮灯的 5 个空隙中插入 3 不亮的灯 C53 种方法 ,所以 足条件的关灯方案有 10 种 . 明 ：一些不易理解的排列 合 ，如果能 化 熟悉的模型如填空模型，排 模型，装盒模型可使问题容易解决 .【例 7】 3 个人坐在一排8 个椅子上， 假设每个人左右两边都有空位，那么坐法的种数有多少种？【解析】： 解法 1、先将 3 个人各带一把椅子进行全排列有A33 ， * * * ，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A14 种，所以每个人左右两边都空位的排法有A 14 A 33 =24 种 .解法 2：先拿出 5 个椅子排成一排，在5 个椅子中间出现 4
10、个空， * * * * * 再让 3 个人每人带一把椅子去插空，于是有A34 =24 种 .【例 8】 停车场划出一排12个停车位置，今有 8 辆车需要停放 . 要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？【解析】：先排好 8 辆车有 A8种方法，要求空车位置连在一起，那么在每2 辆之间及其两端的 98个空档中任选一个，将空车位置插入有C1 种方法，所以共有C1A8 种方法 .998注：题中 * 表示元素，表示空 .例 3. 一个晚会的节目有4 个舞蹈 ,2个相声 ,3个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场, 那么节目的出场顺序有多少种？解 : 分两步进行第一步排2 个相声和 3 个独唱共有 A5
11、5种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的6 个元素中间包含首尾两个空位共有种A64不同的方法 , 由分步计数原理 , 节目的不同顺序共有A55 A 64种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端四元素分析法位置分析法 ：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。【例 1】 2021 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，假设其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，那么不同的选派方案共有高考资源?网A. 36 种B. 12种C. 18种D.
12、48种【解析】： 方法一：从后两项工作出发，采取位置分析法。A 32 A3336方法二：分两类：假设小张或小赵入选，那么有选法C 1 C1 A324 ；假设小张、小赵都入选，那么有223选法 A22 A3212 ，共有选法 36种，选 A.【例 2】 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，假设老师不站两端那么有不同的排法有多少种？【解析】： 老师在中间三个位置上选一个有 A31 种， 4 名同学在其余 4 个位置上有 A44 种方法；所以共有 A31 A4472 种。 .【例 3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【解析】法一： A 15 A663600法
13、二：A62 A553600法三： A77A66A663600五多排问题单排法： 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。高考资源?网【例 1】 1 6 个不同的元素排成前后两排，每排3 个元素，那么不同的排法种数是A 、 36 种B、 120种C 、 720种D、 1440种 2把 15 人分成前后三排，每排5 人，不同的排法种数为 A A155A105 B A155 A105 A55 A33 C A1515 D A155 A105 A55A33 3 8 个不同的元素排成前后两排，每排4 个元素，其中某2 个元素要排在前排，某1 个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】 ： 1 前
14、后两排可看成一排的两段，因此此题可看成6 个不同的元素排成一排，共A66720种，选 C .高考 资源 ?网 2 答案： C 3 看成一排，某2 个元素在前半段四个位置中选排2 个，有 A42 种，某 1个元素排在后半段 的 四 个 位 置 中选 一 个 有 A41 种 ， 其 余 5 个 元 素 任 排 5 个位 置 上 有 A55 种 ，故 共 有A41 A42 A555760 种排法 .例7.8 人排成前后两排 , 每排 4 人, 其中甲乙在前排 , 丙在后排 , 共有多少排法解:8 人排前后两排 , 相当于 8 人坐 8 把椅子 , 可以把椅子排成一排 . 个特殊元素有 A24 种 ,
15、 再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 A14 种, 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A55 种 , 那么共有 A 24 A14 A 55 种前 排后 排一般地 , 元素分成多排的排列问题 , 可归结为一排考虑 , 再分段研究 .练习题：有两排座位，前排11 个座位，后排 12 个座位，现安排2 人就座规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是346六 . 环排问题线排策略例 6. 8 人围桌而坐 , 共有多少种坐法 ?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44 并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有 8-1 ！种
16、排法即 7 ！CDBEAA B C D E F G H AFHG一般地 ,n 个不同元素作圆形排列 , 共有 (n-1)!种排法 . 如果从 n 个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1 A nmn练习题： 6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120五定序问题缩倍法等几率法 ：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 .【例 1】. A, B,C , D , E 五人并排站成一排，如果B 必须站在 A 的右边 A, B 可以不相邻那么不同的排法种数是高考资源网?【解析】 ： B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，
17、即 1560种2A5【例 2】 书架上某层有6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有6 本书的顺序，有多少种不同的插法？高考资源?网【解析】 ：法一：319A9法二：6 A9A6【例 3】将 A、B、C、 D、 E、F 这 6 个字母排成一排，假设 A、B、C 必须按 A 在前， B 居中， C 在后的原那么 A、 B、C 允许不相邻，有多少种不同的排法？【解析】 ：法一： A63法二： 16A33 A6例 4. 7 人排队 , 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解 :( 倍缩法 ) 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几
18、个元素之间的全排列数, 那么共有不同排法种数是：A77 / A33( 空位法 ) 设想有 7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A74 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，那么共有 A74种方法。思考 : 可以先让甲乙丙就坐吗 ?插入法 ) 先排甲乙丙三个人 , 共有 1 种排法 , 再把其余4 四人依次插入共有方法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理练习题 :10 人身高各不相等 , 排成前后排，每排 5 人 , 要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？C105六标号排位问题不配对问题 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，
19、依次即可完成 .【例 1】 将数字 1，2， 3， 4 填入标号为 1， 2，3， 4 的四个方格里，每格填一个数，那么每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6 种 B、 9 种 C、 11 种 D、 23 种 高考资 源? 网 【解析】 ：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格， 又有三种方法； 第三步填余下的两个数字， 只有一种填法， 共有 3 3 1=9种填法，选 B .【例 2】 编号为 1、2、 3、 4、 5 的五个人分别去坐编号为 1、 2、 3、 4、 5 的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 A
20、 10 种 B 20 种 C 30 种 D 60 种答案： B【例 3】：同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么 4 张贺年卡不同的分配方式共有 ( ) A 6 种 B 9 种 C 11 种 D 23 种【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为 a、 b、 c、 d。第一步，甲取其中一张，有 3 种等同的方式；第二步，假设甲取 b，那么乙的取法可分两类：（1乙取 a，那么接下来丙、丁取法都是唯一的，（2乙取 c 或 d 2 种方式，不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法原理和乘法原理，一共有3 (1 2) 9种分配
21、方式。应选 B【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有 ()高考资源?网 A 60 种 B 44 种 C 36 种 D 24 种答案： B 4*2+4*3*3六不同元素的分配问题先分堆再分配 ：注意平均分堆的算法【例 1】 有 6 本不同的书按以下分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ 1分成 1本、 2 本、 3 本三组； 2分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2 本，一个人3 本； 3分成每组都是 2 本的三个组； 4分给甲、乙、丙三人，每个人2 本； 5分给 5人每人至少 1 本。高考资源 网? 【解析】： 1 C61C52 C33
22、 2 C61 C52C33 A33 3 C62C42 C22 4 C62 C42C22 5 A33C52C51 C14C13C12C11A 55A 44【例 2】将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，那么不同的分配方案有种用数字作答 高考资源? 网 【解析】：第一步将4 名大学生按， 2， 1， 1 分成三组，其分法有C42 C21 C11;A22第二步将分好的三组分配到3 个乡镇，其分法有A33所以满足条件得分配的方案有C42 C21 C11A3336A22说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.【例 3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学
23、校至少去一名志愿者，那么不同的分派方法共有 A 150种(B)180 种(C)200 种(D)280 种【解析】：人数分配上有1,2,2与 1,1,3两种方式，假设是C53C21C1131,2,2 ，那么有A3 60 种，A22假设是 1,1,3，高考资源网?C51C42C223那么有A3 90 种，所以共有 150 种，选 AA22【例 4】 将 9个含甲、乙平均分成三组，甲、乙分在同一组，那么不同分组方法的种数为 A 70B 140C 280D 840答案 ： A【例 5】 将 5名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，那么不同的分配方案有 A种 B种 C种 D种【解析】：将 5 名实习教师分配到高一年级的3 个班实习，每班至少1 名，最多2 名，那么将 5C1 C 2名教师分成三组， 一组 1 人，另两组都是2 人，有5415 种方法， 再将 3 组分到 3 个班，A22共有 15 A3390 种不同的分配方案，选B.【例 6】某外商方案在四个候选城市投资3 个不同的工程 , 且在同一个城市投资的工程不超过 2 个, 那么该外商不同的投资方案有种高考资源?网A 16 种B 36
