1、数学平方差公式导学案课件数学平方差公式导学案课件(一)教学知识点1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.(二)能力训练要求1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.平方差公式的推导和应用.用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.探究与讲练相结合.使学生在计算的过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规律，并探索出平方差公式的结构特点，在老师的讲解和学生的练习中学会应用.师你能用简便方法计算下列各题
2、吗？(1)XX1999；(2)9921生可以.在(1)中XX1999=(XX+1)(XX1)=XX2XX+XX11=XX212=40000001=3999999,在(2)中9921=(1001)21=(1001)(1001)1=1002100100+11=10000200=9800.师很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的XX，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，XX和1999，一个比XX大1，于是可写成XX与1的和，一个比XX小1，于是可写成XX与1的差，所以XX1999就是XX与1这两个数的和与差的积，即(XX+1)(XX1)；
3、再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：XX212，恰为这两个数XX与1的平方差.即(XX+1)(XX1)=XX212.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？我们不妨看下面的做一做.师出示投影片( A)做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x2);(2)(1+3a)(13a);(3)(x+5y)(x5y);(4)(y+3z)(y3z).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？生上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.生上面四个算式每个因式都是两项.生除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“
4、x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.师我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.生解：(1)(x+2)(x2)=x22x+2x4=x24；(2)(1+3a)(13a)=13a+3a9a2=19a2；(3)(x+5y)(x5y)=x25xy+5xy25y2=x225y2；(4)(y+3z)(y3z)=y23yz+3zy9z2=y29z2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与
5、多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想)生从刚才这位同学的运算，我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.即师你还能举两个例子验证你的发现吗？生可以.例如：(1)10199=(100+1)(1001)=1002100+10012=100212=100001=9999；(2)(x+y)(xy)=(x)(x)+xyxyy2=(x)2y2=x2y2.即上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.师为什么会有这样的特点呢？生因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数
6、互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.师很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？生可以.上述规律用符号表示为：(a+b)(ab)=a2b2 其中a,b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式.利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即(a+b)(ab)=a2ab+abb2=a2b2师同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.你能给我们发现的规律(a+b)(ab)=a2b2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.生我们可以把(a+b)(ab)=a2b2叫做平方差公式.师大家同意吗？生同意.师好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的
7、.你能用语言描述这个公式吗？生可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.师平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.例1(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )A.(x+1)(1+x) B.( a+b)(b a)C.(a+b)(ab) D.(x2y)(x+y2)E.(ab)(ab) F.(c2d2)(d2+c2)(2)利用平方差公式计算：(5+6x)(56x);(x2y)(x+2y);(m+n)(mn).生(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因为B.( a+b)(b a)利用加法交换律可得( a+
8、b)(b a)=(b+ a)(b a),表示b与 a这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(ab)(ab),同样可利用加法交换律得(ab)(ab)=(ba)(b+a),表示b与a这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c2d2)(d2+c2)利用加法和乘法交换律得(c2d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2d2)，表示c2与d2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点.师为什么A、C、D不能用平方差公式呢？生A、C、D表示的不是两个数的和与差的积的形式.师下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.生(5+6x)(56x)是5与6x这两个数
9、的和与差的形式；(x2y)(x+2y)是x与2y这两个数的和与差的形式；(m+n)(mn)是m与n这两个数的和与差的形式.师很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式.生(5+6x)(56x)=52(6x)2=2536x2;(x2y)(x+2y)=x2(2y)2=x24y2;(m+n)(mn)=(m)2n2=m2n2.师这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.出示投影片(记作 C)例2利用平方差公式计算：(1)( xy)( x+y);(2)(ab+8)(ab8);(3)(m+n)(mn)+3n2.师同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.生解：(1)
10、( xy)( x+y)( x)与y的和与差的积=( x)2y2利用平方差公式得( x)与y的平方差= x2y2运算至最后结果(2)(ab+8)(ab8)ab与8的和与差的积=(ab)282利用平方差公式得ab与8的平方差=a2b264运算至最后结果(3)(m+n)(mn)+3n2据运算顺序先计算m与n的和与差的积=(m2n2)+3n2利用平方差公式=m2n2+3n2去括号=m2+2n2合并同类项至最简结果生刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平
11、方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.生还需注意最后的结果必须最简.师同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题.1.计算：(1)(a+2)(a2);(2)(3a+2b)(3a2b);(3)(x+1)(x1);(4)(4k+3)(4k3).2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a2)=a222=a24;(2)(3a+2b)(3a2b)=(3a)2(2b)2=9a24b2;(3)(x+1)(x1)=(x)212=x21;(4)(4k+3)(4k3)=(4k)23
12、2=16k29.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(ab)(a+b)=a2b2;(a+b)(a+b)=(b+a)(ba)=b2a2;(ab)(a+b)=a(a+b)b(a+b)=a2ababb2=a22abb2(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导)师同学们有何体会和收获呢？生今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式平方差公式即(a+b)(ab)=a2b2.生应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.生公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式.生有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.师同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算9921，现在想一想，能使它运算更简便吗？生可以.9921可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：9921=99212=(99+1)(991)=10098=9800.师我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了.
