1、版高中物理必修2优化设计第五章曲线运动第5节第 5 节 向心加速度学习目标 核心提炼1.理解匀速圆周运动中的速度变化量和向心加速度的概念。1个概念 向心加速度2.知道向心加速度和线速度、角速度v242n2n 的关系式。4个表达式 aran rTra2anv3.能够运用向心加速度公式求解有关问题。一、匀速圆周运动中加速度的方向阅读教材第 20 页的内容，知道向心加速度的概念，知道向心加速度方向的变化特点。1.任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心。 这个加速度叫做向心加速度。2.由于匀速圆周运动中向心加速度的方向时刻发生变化， 所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀加速运动，而是变加速运动
2、。思维拓展如图 1 所示，地球绕太阳做匀速圆周运动， 小球系在细线的另一端在水平面内做匀速圆周运动，请思考：图 1(1)图甲中地球受什么力的作用？这个力沿什么方向？加速度方向呢？地球的运动状态发生变化吗？向心加速度的作用是什么？(2)图乙中的小球受几个力的作用？合力沿什么方向？加速度方向呢？小球的运动状态变化吗？向心加速度的作用是什么？答案 (1)地球受太阳的引力作用。这个力由地球指向太阳，加速度沿半径指向圆心，地球的运动状态发生了变化，向心加速度的作用是改变其运动方向。(2)小球受重力、支持力和绳子的拉力三个力作用。合力和产生的加速度沿半径指向圆心，小球的运动状态发生了变化，向心加速度的作用
3、是改变其运动方向。二、向心加速度的大小阅读教材第 21 页的内容，了解向心加速度与线速度、角速度及半径的几个关系表达式。向心加速度公式2v 2(1)基本公式 an r r。4 2(2)拓展公式 an T2 r v。(3)向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。思维拓展n v2n2(1)有人说：根据 a r 可知，向心加速度与半径成反比，根据a r 可知，向心加速度与半径成正比，这是矛盾的。你认为呢？(2)试分析做变速圆周运动的物体，其加速度的方向是否指向圆心。答案 (1)不矛盾。说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下；说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下
4、，所以二者并不矛盾。(2)做变速圆周运动的物体，加速度的方向并不指向圆心。预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中问题 1问题 2问题 3向心加速度的理解 要点归纳 1.物理意义： 描述线速度改变的快慢，只表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。2.方向：不论向心加速度 an 的大小是否变化， an 的方向始终指向圆心， 是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变， 圆周运动是一种变加速曲线运动。3.无论是匀速圆周运动， 还是变速圆周运动都有向心加速度， 且方向都指向圆心。 精典示例 例 1 (多选 )关于向心加速度，以下说法正确的是 ( )A. 向心加速度的方向始终与
5、速度方向垂直B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心解析 向心加速度的方向沿半径指向圆心， 速度方向则沿圆周的切线方向， 所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直， 只改变线速度的方向， 选项 A 、B 正确；物体做匀速圆周运动时， 只具有向心加速度， 加速度方向始终指向圆心，选项 D正确；物体做变速圆周运动时， 物体的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心，选项 C 错误。答案 ABD针对训练 1 下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是 ( )A. 向心加速度表示做圆周运动
6、的物体速率改变的快慢B.向心加速度表示角速度变化的快慢C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢D.匀速圆周运动的向心加速度不变解析 匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然 A 项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以 B 项错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化， 加速度作为反映速度变化快慢的物理量， 向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以 C 项正确；向心加速度的方向是时刻变化的，所以 D 项错误。答案 C向心加速度公式的理解和应用 要点归纳 1.向心加速度表达式 anv22r，an r2.由于 vr，所以向心加速度也可以是nv。a22223.由于 T 2
7、f，所以向心加速度也可以是4an T2 r 4f r 。 精典示例 例 2 (多选 )一个小球以大小为 a4 m/s2 的向心加速度做匀速圆周运动，半径 r 1 m，则下列说法正确的是 ( )A. 小球运动的角速度为 2 rad/sB.小球做圆周运动的周期为 s C.小球在 t 4 s 内通过的位移大小为 20 mD.小球在 s 内通过的路程为零解析由 a2得角速度 a，对；周期2B对； ，rr2 rad/sATs1小球在 t 4s 内通过 4圆周，位移大小为2r2 m， C 错；小球在 s 内通过的路程为一个圆周的长度2r2 m，D 错。答案AB向心加速度公式的应用技巧(1)先确定各点是线速
8、度大小相等，还是角速度相同。(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。v2 2(3)向心加速度公式 an r 和 anr 不仅适用于匀速圆周运动， 也适用于变速圆周运动。针对训练 2 (2017 徐州高一检测 )如图 2 所示，一球体绕轴 O1O2 以角速度 旋转， A、B 为球体上两点。下列说法中正确的是 ( )图 2A. A、 B 两点具有相同的角速度B.A、 B 两点具有相同的线速度C.A、 B 两点具有相同的向心加速度D.A、 B 两点的向心加速度方向都指向球心解析 A、B 都随球体一起绕轴 O1O2 旋转，转一周所用时间相等， 故角速度
9、相等，有 AB，A 正确； A 做圆周运动的轨道平面与轴垂直，交点为圆心，设球半径为 R，故 A 的轨道半径 r A Rsin 60，B 的轨道半径 r B Rsin 30，所以两者31的线速度 vAr A2 R， vBr B2R，显然， vA vB，B 错误；两者的向232212心加速度 aAr A 2R，aB rB R ，显然，两者的向心加速度也不相2等， C 错误；又两者的向心加速度指向各自的圆心，并不指向球心，所以D 错误。答案A1.(对向心加速度的理解 )下列关于向心加速度的说法正确的是 ( )A. 向心加速度越大，物体速率变化越快B.向心加速度越大，物体转动得越快C.向心加速度方向
10、始终与速度方向垂直D.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的答案 C2.(对向心加速度公式的理解 )(多选 )一小球被细绳拴着在水平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，向心加速度为 an，那么 ( )anA. 小球运动的角速度 RB.小球在时间 t 内通过的路程 st anRC.小球做匀速圆周运动的周期TRanD.小球在时间 t 内可能发生的最大位移为 2R解析 由 an 2，可得 an，正确；由2可得n ，所以时AanvvtRRRa R42R，间内通过的路程 s vtt anR， B 正确；由 anR2T2 R，可知 T 2an故 C 错误；位移用由初位置指向末位置的有向线段来描述，对于做圆周运
11、动的小球而言，位移大小即为圆周上两点间的距离，最大值为 2R，D 正确。答案 ABD3.(向心加速度公式的应用 )(2017 广州高一检测 )(多选 )如图 3 所示的皮带传动装置，主动轮的半径与从动轮的半径之比 R1R221，A、B 分别是两轮边缘上的点，假定皮带不打滑，则下列说法正确的是 ( )图 3A. A、 B 两点的线速度之比为 vAvB12B.A、 B 两点的线速度之比为 vAvB11C.A 、B 两点的加速度之比为AaB 12aD.A、 B 两点的加速度之比为AaB21a2v解析 皮带不打滑，两轮边缘线速度的大小相等，A 错误， B 正确；由 a r知两轮上 A、 B 点的向心加
12、速度跟两轮的半径成反比，故C 正确， D 错误。答案 BC4.(向心加速度公式的应用 )如图 4 所示，定滑轮的半径 r 2 cm。绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度 a2 m/s2 向下做匀加速运动。在重物由静止下落 1 m 的瞬间，滑轮边缘上 P 点向心加速度多大？图 4解析 由 v22ah 得重物下落 1 m 的速度v 221m/s2 m/s，P 点线速度 vP v2 m/s，v 2由 a r 得v22222a r0.02m/s 200 m/s。答案200 m/s2基础过关1.关于向心加速度，下列说法正确的是 ( )A. 向心加速度是描述线速度大小变化快慢的
13、物理量B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C.向心加速度的大小恒定，方向时刻改变D.向心加速度是平均加速度，大小可用avv0来计算t解析 向心加速度只改变线速度的方向， 不改变线速度的大小， 它是描述线速度方向变化快慢的物理量，选项 A 错误， B 正确；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，选项 C 错误；公式 avv0t适用于平均加速度的计算，向心加速度是瞬时加速度， D 错误。答案 B2.关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是 ( )A. 线速度大，加速度一定大B.角速度大，加速度一定大C.周期大，加速度一定大D.加速度大，速度一定变化快224 r解析由 anv 2r
14、一定时， n 与线速度v的平方成正比，2 可知，当rrTa与角速度 的平方成正比，与周期T 的平方成反比， A 、B、C 错误；加速度是描述速度变化快慢的物理量，加速度越大，速度变化越快，D 正确。答案D3.(多选 )(2017石家庄高一检测 )“摩天转轮”可以在竖直平面内转动，其直径达98 m。游人乘坐时，转轮始终不停地做匀速转动，每转动一圈用时 25 min，则( )A. 每时每刻，每个人受到的合力都不等于零B.每个乘客都在做加速度为零的匀速运动C.乘客在乘坐过程中，向心加速度并不是零，只是很微小D.乘客在乘坐过程中的速度始终不变解析 “ 摩天转轮 ”匀速转动，其上的人随之做匀速圆周运动，
15、 而匀速圆周运动属于变速运动，必定有加速度 (向心加速度 )，根据牛顿第二定律，人所受合力一定不为零；同时，人在竖直平面内做匀速圆周运动， 向心加速度的方向随时改变，22982442242但大小一定， an r T2 r（ 2560）2m/s8.610 m/s ；另外，乘客随转轮做匀速圆周运动，其速度的大小不发生变化，但速度的方向时刻变化。所以选项 A 、C 正确。答案 AC4.自行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分 (如图 1)，行驶时( )图 1 A. 大齿轮边缘点比小齿轮边缘点的线速度大B.后轮边缘点比小齿轮边缘点的角速度大C.大齿轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于
16、它们半径的反比D.后轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比答案 C5.(多选 )如图 2 所示，一圆环以直径 AB 为轴做匀速转动， P、 Q、R 是环上的三点，则下列说法正确的是 ( )图 2A. 向心加速度的大小 aPaQ aRB.任意时刻 P、Q、R 三点向心加速度的方向相同C.线速度 vPvQvRD.任意时刻 P、Q、R 三点的线速度方向均不同解析 R、Q、P 三点的轨道圆心都在轴 AB 上，且它们的轨道平面互相平行，因此三点的角速度相同，由于向心加速度方向也相同且指向轴n2AB，由 ar 可知： aPaQaR，又由 vr可知 vP vQvR，选项 A 错误， B、C
17、 正确；三点的线速度方向都沿轨迹的切线方向，故它们的线速度方向相同，选项 D 错误。答案 BC6.一轿车以 30 m/s 的速率沿半径为 60 m 的圆形跑道行驶，当轿车从 A 运动到 B时，轿车与圆心的连线转过的角度为 90，求：(1)轿车的周期多大？(2)此过程中轿车通过的路程是多少？(3)轿车运动过程中的向心加速度是多大？2r解析 (1)由 v T 得轿车的周期2r 2 60T v 30 s4 s(2)轿车通过的路程即轿车通过的弧长，轿车与圆心的连线转过的角度为 90，即1经过的时间 t4T s所以 svt30 m30 m(3)向心加速度v230222a r60m/s 15 m/s答案(
18、1)4 s(2)30 m (3)15 m/s2能力提升多选图3 为 P、Q两物体做匀速圆周运动的向心加速度n 的大小随半径 r 变7.()a化的图象，其中 P 为双曲线的一个分支，由图可知 ()图 3A. P 物体运动的线速度大小不变B.P 物体运动的角速度不变C.Q 物体运动的角速度不变D.Q 物体运动的线速度大小不变v2解析 由 an r 知，做匀速圆周运动的物体线速度大小不变时， 向心加速度与半径成反比，故 A 正确， B 错误；由 an 2r 知，角速度不变时，向心加速度与半径成正比，故 C 正确， D 错误。答案 AC8.(2017 南宁高一检测 )如图 4 所示，半径为 R 的圆环
19、竖直放置， 一轻弹簧一端固2定在环的最高点 A，一端系一带有小孔穿在环上的小球，弹簧原长为 3R。将小球从静止释放，释放时弹簧恰无形变，小球运动到环的最低点时速率为 v，这时小球的向心加速度大小为 ( )图 4v2v2A. RB.2R3v23v2C. 2RD. 4R解析 小球沿圆环运动， 其运动轨迹就是圆环所在的圆， 轨迹的圆心就是圆环的圆心，运动轨迹的半径就是圆环的半径， 小球运动到环的最低点时， 其向心加速v2度的大小为 R，加速度方向竖直向上。选项 A 正确。答案 A9.(2017大理高一检测)如图 5所示的皮带传动装置中，1 为轮子 A 和 B 的共同O转轴， O2 为轮子 C 的转轴
20、， A、B、 C 分别是三个轮子边缘上的点，且半径RARC2RB，则 A、B、C 三点向心加速度之比 aAaBaC 等于 ()图 5A.4 21 B.2 1 4C.221 D.2112解析 由于皮带不打滑， vBvC，av ，故 aBRC 2；由于右边两轮共轴转动，r aC RB 1aA RA2 2AB，故 aB RB2 1。所以 aAaBaC 4 2 1， A 正确。答案 A10.(2017黄石高一检测)如图 6所示，A、B为咬合传动的两齿轮，A2RB，则RA、B 两轮边缘上两点的关系正确的是 ()图 6A. 角速度之比为 2 1B.向心加速度之比为 12C.周期之比为 12D.转速之比为
21、21解析 两轮边缘线速度相同， RA2RB，v1由 R知， A2B，AB12。选项 A 错误；由 av21R知， a ，故 aAaB12。选项 B 正确；R2R由 T v 知， TATB21，转速之比为 12。故选项 C、 D 错误。答案 B11.如图 7 甲所示，某汽车以恒定的速率驶入一个狭长的 90圆弧形水平弯道，弯道两端连接的都是直道。 有人在车内测量汽车的向心加速度随时间的变化关系如图 7 乙所示。求：图 7(1)汽车转弯所用的时间；(2)汽车行驶的速率。解析 (1)由题图乙可得汽车转弯所用的时间为 t 10 s。(2)汽车在转弯过程中做圆周运动的周期 T4t40 s，24由 an T
22、2 r ，可得 r 63.7 m，2v由 an r ，解得 v 10 m/s。答案 (1)10 s (2)10 m/s12.如图 8 所示，压路机大轮半径 R 是小轮半径 r 的 2 倍，压路机匀速行驶时，大轮边缘上 A 点的向心加速度为 0.12 m/s2，那么图 8(1)小轮边缘上 B 点的向心加速度为多大？R(2)大轮上距轴心的距离为 3的 C 点的向心加速度为多大？解析 (1)压路机匀速行驶时， vBvA2v aB r A由 a r 得， aAr B2得 aB2aA 0.24 m/s22(2)由 AC 和 a r，得 aCr C1ArA3a12得 aC3aA 0.04 m/s答案(1)0.24 m/s2(2)0.04 m/s2
