1、实用文库汇编之深圳杯数模比赛A题最新答案*实用文库汇编之深圳人口与医疗需求预测摘要问题一中，由于深圳市不同于常规一线城市，从结构来看，深圳人口的显著特点是 流动人口远远超过户籍人口，影响人口数量增长的因素较多，人口年龄结构变化大，常 用人口预测模型误差较大，本文通过 Mathematica 二次曲线拟合预测产生未来十年产业 从业人员比例，并建立多元线性回归拟合模型来预测深圳市非常住人口数量，其次用Markov 链预测未来人口年龄结构比例，利用 Matlab 程序预测未来具有就医需求的总人口数并得出深圳市床位需求，以及各区床位需求。 问题二中，选取两种疾病，利用灰色 GM (1,1) 模型预测小
2、儿肺炎和老年性白内障未 来十年的入院率，利用 Excel 处理得出对各类医疗机构床位需求权重，得到未来十年的 小儿肺炎的床位需求和老年性白内障对各类医疗机构的床位需求。关键词： 关键词：二次曲线拟合预测Markov 链多元线性回归灰色 GM (1,1) 预测模型-1-一 、问题重述深圳市我国人口增长最快的地方，从1980年到2010年，深圳每年都以30多万的人口 增幅增长，到2010年深圳市总人口已达到1037万人。从结构来看，深圳人口的显著特点 是流动人口远远超过户籍人口， 且年轻人口占绝对优势。 深圳流动人口主要是从事第二、 三产业的企业一线工人和商业服务业人员。年轻人身体强壮，发病较少，
3、因此深圳目前 人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平， 但仍能满足现有人口的就医需求。 然而， 随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响 外来务工人员的数量。这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。就 深圳市的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题： 问题一： 分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和 结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求。 问题二： 根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：肺 癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分
4、娩等）在不 同类型的医疗机构就医的床位需求。二、问题分析问题一： 近十年常住人口、非常住人口（由给出的数据得知，常住人口包括户籍人口和流动 人口中非户籍人口（居住时间在6个月以上），非常住人口是流动人口中居住时间在六 个月之内）与城市的经济产业发展高度相关。产业结构影响非常住人口数量，非常住人 口数量影响常住人口数量，具有就医需求的人口数量等于常住人口与非常住人口之和。 问题二中，由问题一得出的数据，针对人群对各类医疗机构的选择计算出需求权重，得 出不同类型的医疗机构就医的床位需求。 问题二： 每一种疾病都会有一个高发人群年龄段，例如，老年性白内障，心脏病、高血压等 疾病多发生在老年人中，而小
5、儿肺炎发生在少年儿童中，因此该年龄段人口的比例严重 影响着该种疾病入院率。因此需要预测先预测出来深圳市未来十年的入院率，其次在根 据问题一得出的人口结构数量计算出每年的入院人数，再根据床位数=该病入院人数 平均住院日 得出该种病的床位需求。 一年的总天数(365天 )三、模型假设1、假设深圳市各区人口体质保持不变，并且在同一年度各区入院率相同。 2、假设每种病每年平均住院日保持不变。 3、假设所预测出来的医院床位每天没有空闲的时候。 4、假设各区相对封闭，本区人口不会跨区就医。-2-5、假设儿童014岁人群、青年人 中年人1564岁人群及老年人（65岁以上）人 群同一年的入院率相同。四、模型建
6、立和求解 模型建立和求解4.1 模型 I 的建立和求解首先先利用多元线性拟合模型预测出近十年年末非常住人口数 由 20002010 年深圳市第一产业从业人员比率、第二产业从业人员比率、第三产 业从业人员比率 3 个影响因子的数据。如表 1： 表 1： 以从业人员为 100 年份 2007 2008 2009 2010 表 2： 年份 年末非常住人口数 y1 263.81 (万人) 269.56 278.42 284.80 2007 2008 2009 2010 第一产业 （%） 0.1 0.1 0.1 0.0 第二产业 （%） 54.1 54.1 53.9 51.5 第三产业 （%） 45.8
7、 45.8 46.0 48.5以上 3 个因素为自变量，以深圳市年末非常住人口数 y1 作为因变量，建立一个多元 线性回归模型。 由表 2 得到因变量 y1 的数组：y1 = 263.81 269.56 278.42 284.80由表 1 得到自变量 x1 ， x 2 ， x3 的 3 个数组：x1 = 0.1 0.1 0.1 0 x 2 = 54.1 54.1 53.9 51.5x3 = 45.8 45.8 46.0 48.5-3-263.81 269.56 将 y1 矩阵进行转置得到 y1 = 278.42 284.80 增添一组常数项 x0 = 0 0 0 0 将 x = x0 x1 x
8、 2 x3 转置得到 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0 0 0 0 x= 10 4 0.0054 0.0054 0.0054 0.0052 0.0046 0.0046 0.0046 0.0049 由模型，用矩阵微分法得到 X X = X Y ，则 = ( X X ) 1 X Y 所以通过 MatLab 进行矩阵运算得到 311.5314 1.2452 1 = 2.4244 2.0232 即得到多元拟合线性方程y1 = 311.5314 + 1.2452 x1 2.4244 x 2 + 2.0232 x3根据近十一年的数值(见表 3)，通过 Mathematica 作二
9、次曲线数据拟合预测图（图示 1） ，得到 x1 ， x 2 ， x3 ，3 个变量在 2011 年2020 年的预测值（见表 4） 。 表 3： 以从业人员为 100年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006第一产业 0.8 0.7 0.8 0.8 0.5 0.5 0.3（%）第二产业 57 55.7 55.8 57 57.6 57.7 57.4（%）第三产业 （%） 42.2 43.6 43.5 42.2 41.9 41.8 42.3-4-2007 2008 2009 20100.1 0.1 0.1 0.054.1 54.1 53.9 51.545.8 45.
10、8 46.0 48.5由 Mathematica 作二次曲线数据拟合得出 3 个二次函数如下：f ( x1 ) = 0.0002 x 2 0.0845 x + 0.9539 ，第一产业从业人员比率函数，其中相关系数r 2 = 0.9862 ，拟合效果较好。 f ( x2 ) = 0.1205 x 2 + 1.0298 x + 54.983 ，第二产业从业人员比率函数，其中相关系数 r 2 = 0.9985 ，拟合效果较好。 f ( x3 ) = 0.1224 x 2 0.9631x + 44.113 ，第三产业从业人员比率函数，其中相关系数 r 2 = 0.9732图示 1：经过 Mathem
11、atica 运算，得到表 4 表 4： 年份 第一产业 （%） 以从业人员为 100 第二产业 （%）-5-第三产业（%）2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 20200 0 0 0 0 0 0 0 0 051.4 50.0 48.5 46.1 43.9 39.7 33.8 32.5 30.2 29.648.6 50.0 51.5 53.9 56.1 60.3 66.2 67.5 69.8 70.4把所预测出的 x1 ， x 2 ， x3 3 个变量代入得到的多元拟合线性方程的得到表 5表 5： 年份 年末非常住人口 （万人） 年份 年末非常
12、住人口 （万人） 2011 2012 2013 2014 2015285.2448291.4714298.1428308.817318.601820162017201820192020337.2817363.5225369.3044379.5339382.2024其次利用多元线性拟合模型预测出近十年年末常住人口数 由 200020010 年深圳市第一产业从业人员比率、第二产业从业人员比率、第三产 业从业人员比率、非常住人口数 4 个影响因子的数据。如表 6. 表 6： 以从业人员为 100 年份 第一产业（%） 第二产业（%） 第三产业（%） 0.3 57.4 42.3 0.1 54.1 45
13、.8 0.1 54.1 45.8 0.1 53.9 46.0 0 51.5 48.5 非常住人口数（万人）2006 2007 2008 2009 2010243.01 263.81 269.56 278.42 284.80表 7： 年份 2006 2007 2008 2009 2010-6-年末常住人口数 (万人)875.23912.37954.28995.011037.2以上 4 个因素为自变量， 以深圳市年末非常住人口数 y 2 作为因变量， 建立一个多元 线性回归模型。 由表 2 得到因变量 y 2 的数组：y 2 = 875.23 912.37 954.28 995.01 1037.2
14、由表 1 得到自变量 x1 ， x 2 ， x3 ， x 4 的 3 个数组：x1 = 0.3 0.1 0.1 0.1 0 x 2 = 57.4 54.1 54.1 53.9 51.5x3 = 42.3 45.8 45.8 46.0 48.5x 4 = 243.01 263.81 269.56 278.42 284.80875.23 912.37 将 y 矩阵进行转置得到 y 2 = 954.28 995.01 1037.2 增添一组常数项 x0 = 0 0 0 0 0 将x =x0 x1 x 2 x3 x 4 转置得到0.0001 0 0.0054 0.0046 0.02695 0.0001
15、 0 0.0054 0.0046 0.02784 0.0001 0 0.0052 10 4 0.0049 0.02848 0.0001 0 x = 0.0057 0.0042 0.02430 0.0001 0 0.0054 0.0046 0.02638由模型，用矩阵微分法得到 X X = X Y ，则 = ( X X ) 1 X Y所以通过 MatLab 进行矩阵运算得到201.8268 2.2344 2 = 3.9632 1.2354 3.9644 -7-即得到多元拟合线性方程 y 2 = 201.8268 + 2.2344 x1 6.9632 x 2 + 1.2354 x3 + 3.964
16、4 x 4 把已经预测来的从 2011 年2020 年第一产业比率、 第二产业比率、 第三产业比率、 非常住人口数数值带入 y 2 中得到常住人口 2011 年2020 年的预测人数（见表 8） 。 表 8： 年份 年末常住人口 （万人） 年份 年末常住人口 （万人） 2011 1034.781 2016 1337.002 2012 1070.946 2017 1489.403 2013 1109.692 2018 1522.983 2014 1171.685 2019 1582.393 2015 1228.513 2020 1597.891经过以上预测已经得出常住人口和非常住人口从 2011
17、 年2020 年得人口数根据公 式：有就医需求人数=常住人口数+非常住人口数 可以预测出从 2011 年2020 年的实 有人口数，见表 9. 表 9： 第一产 第二产 第三产 年末非常住人 业 （%） 业 （%） 业 （%） 口数 (万人) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 51.4 50 48.5 46.1 43.9 39.7 33.8 32.5 30.2 29.6 48.6 50 51.5 53.9 56.1 60.3 66.2 67.5 69.8 70.4 285.2442 291.4714 298.1428 308.817 318.6018 337.2817 363.5225
18、369.3044 379.5339 382.2024 年末常住人口 数（万人） 1040.7809 1070.9460 1109.6920 1171.6855 1228.5132 1337.0020 1489.4027 1522.9827 1582.3933 1597.8914 有就医需求人 数（万人） 1326.0251 1362.4174 1407.8348 1480.5025 1547.1150 1674.2837 1852.9252 1892.2871 1961.9272 1980.0938年份2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2
19、0204.2 模型 II 的建模和求解利用 Markov 链预测深圳市从 2011 年2020 年的人口结构，首先把年龄在 014 岁划分为儿童，1554 岁划分为中年人，65 岁以上划分为老年人，根据 2000 年、2005 年、 2010 年三个年龄段的人口数如表十预测出以后十年的三个年龄段所占总人口的比例 表 10： 年份 0-14 岁 15-64 岁 65 岁以上 总人口 2000 595329 6327567-8-8593570088312005 2010 表 11： 年份 2000 2005 2010752518 10233457393533 9150558131414 18385
20、18277465 103577540-14 岁 8.5% 9.1% 9.9%15-64 岁 90.3% 89.3% 88.4%65 岁以上 1.2% 1.6% 1.8%由上面的数据可以计算一步转移概率矩阵，设每年 0-14、15-64、65 以上人口所占 比例分别为 1、2、3 每相邻年饭为一步 2000 年、2005 年、2010 年状态转移概率为：p11 = 1p 23 =p12 = 0p13 = 0p 21 =6 903p 22 =893 9034 p31 = 0 p32 = 0 903 所以 2000 年2005 年的状态转移概率矩阵为：p33 = 1p1 = 1 6 903 00 8
21、93 903 00 4 903 同理可得出 2005 年2010 年的状态转移概率矩阵为： p2 = 1 8 893 0 0 884 893 0 0 2 893 为了消除样本的随机性影响，更加客观描述状态规律，在此取 p1 、 p 2 的平均作为 转移概率： p1 ( p1 + p 2 ) 2 = 0.01 0 0 0.99 00 0 1 根据以上得到的转移概率矩阵预测出深圳市未来十年的人口年龄结构，一步状态转 移矩阵会随着国民经济的发展发生很多变化， 在此假设只要不发生重大事件 （如： 战争、 自然灾害等），这一状态在今后十年基本保持不变，以 2000 年、2005 年、2010 年三年-9
22、-各年龄阶段所占比例的平均值作为初始状态，即： 0 = (9.2 89.3 1.5) ，按目前转 移状态概率基本不变，则可以利用公式： n = 0 p n 可以预测今后十年深圳市的人口年龄结构（以下计算均在 Matlab6.1 软件下完成）。 2011 年人口年龄结构预测：当 n = 1 时1 1 1 = 0 p = (9.2 89.3 1.5) 0.01 0 0 0.99 0 0 0 1 1= (10.188 1.9) 表示深圳市在 2011 年，10.1%人口年龄在 0-14 岁之间，88%人口年龄在 15-64 岁之间，1.9%人口年龄在 65 岁以上，同理，当 n = 1 10 之间时
23、，可预测出 其余九年的人口年龄结构，如表 12.表 12： 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 0-14 岁（%） 10.1 10.3 11.0 11.7 12.2 12.8 13.4 14.0 14.5 15.1 15-64 岁（%） 88.0 87.7 86.9 86.1 85.4 84.6 83.9 83.1 82.4 81.6 65 岁以上（%） 1.9 2.0 2.1 2.2 2.4 2.6 2.7 2.9 3.1 3.3根据模型 I 求出的有就医需求的人数和表十二的结果就可计算出从 2011 年2020 年每年不
24、同年龄段的人口数，如表 13. 表 13： 年份 2011 2012 2013 2014 2015 0-14 岁 （万人） 133.9285 140.3290 154.8618 173.2188 188.7480 15-64 岁 （万人） 1166.902 1194.840 1223.408 1274.713 1321.236 65 岁以上 （万人） 25.19448 27.24835 29.56453 32.57106 37.13076 有就医需求人 数（万人） 1326.0251 1362.4174 1407.8348 1480.5025 1547.1150- 10 -2016 2017
25、2018 2019 2020214.3083 248.2920 264.9202 284.4794 298.99421416.444 1554.604 1572.491 1616.628 1615.75743.53138 50.02898 54.87633 60.81974 65.343101674.2837 1852.9252 1892.2871 1961.9272 1980.09384.3 模型 III 预测深圳市床位需求深圳市床位的需求来自住院人数的多少。而影响住院人数的因素包括有就医需求总 人数，人口年龄结构等。 表 14： 年份 2006 2007 2008 2009 2010 住院
26、人数 （万 人） 59.2418 68.0865 75.3379 79.7019 86.3524 0-14 岁 （万人） 96.6159 105.3857 114.9186 123.2680 132.2000 15-64 岁 （万人） 1005.2978 1052.6811 1089.2176 1128.2590 1166.0040 65 岁以上 （万人） 16.3263 18.1132 19.7038 21.9030 23.7960 有就医需求 人数（万人） 1118.2400 1176.1800 1223.8400 1273.4300 1322.0000为此，我们根据表 14 的数据，设
27、y = a + bx1 + cx2 + dx3 ，其中 y 为住院人数， a 为常 数项， b, c, d 为相关参数， x1 为 0-14 岁的人口数量， x2 为 15-64 岁人口数量， x3 为 65 岁以上人口数量，运用 Matlab 程序如下： y = 59.2418 68.0865 75.3379 79.7019 86.3524 ; x = 96.6159 105.3857 114.9186 123.2680 132.2000 ; 1 x = 1005.2978 1052.68 111089.2176 1128.2590 1166.0040 ; 2 x = 16.3263 18.
28、1132 19.7038 21.9030 23.7960 ; 3 b, b int, r , r int, stats = regress ( y, ones ( size( y ), x , x , x ) 1 2 3 解得：a = 16.3542, b = 0.4962, c = 0.1551, d = 0.6464所以，原方程为：y = 16.3542 + 0.4946 x1 0.0155 x2 + 0.6464 x3将表 13 所预测的数据代入方程式，可得出未来十年的住院人数，如表 15。- 11 -表 15 年份 住院人数 （万人） 年份 住院人数 （万人） 2011 80.9966
29、 2016 128.8636 2012 85.0668 2017 147.7835 2013 93.3321 2018 158.8903 2014 103.5885 2019 171.7529 2015 113.5199 2020 181.8925床位需求=住院人数年平均住院日/365 其中，年平均住院日为近几年的年平均住院的平均数，如表 15。 表 16 年份 年平均 住院日 2006 8.3 2007 8.1 2008 8.4 2009 8.1 2010 8 平均值 8.18结合上方数据和公式，可得出未来十年深圳市床位需求，如表 17 表 17 年份 床位需求 年份 床位需求 2011 1
30、8152 2016 28879 2012 19064 2017 33119 2013 20917 2018 35608 2014 23215 2019 38491 2015 25440 2020 40763深圳市各区人口如表 18： 表 18： 地区 深圳市 罗湖区 福田区 南山区 宝安区 龙岗区 盐田区 光明新区 坪山新区 各区床位需求:人口数 10357754 923470 131* *008 4017805 2011224 208878 481505 309244所占深圳市比例 1.0000 0.0892 0.1272 0.1050 0.3879 0.1942 0.0202 0.0465
31、 0.0299q( n ) = k( n ) Q( n ) ，其中 q(n ) 为各区床位需求， k(n ) 为各区人口所占深圳市比例， Q 为深圳市床位需求， n 表示年份。- 12 -经计算得如下表 19。 表 19： 年份 深圳 市 罗湖 区 福田 区 南山 区 宝安 区 龙岗 区 盐田 区 光明 新区 坪山 新区 2011 18152 1618 2309 1907 7041 3525 366 844 542 2012 19064 1700 2425 2003 7395 3702 384 886 569 2013 20917 1865 2661 2197 8114 4062 422 972 625 2014 23215 2070 2953 2439 9005 4508 468 1079 693 2015 25440 2268 3236 2672 9868 4940 513 1183 760 2016 28879 2575 3674 3034 11202 5608 582 1343 862 2017 33119 2953 4213 3479 12847 6431 668 1540 989 2018 35608 3175 453
