1、秋上海教育版数学七上第9章第5节因式分解WORD教案9.13(1)提取公因式法 教学目标1理解多项式各项的公因式的概念，会运用提取公因式法分解形如ma+mb+mc(m为单项式)的多项式。2初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方式。教学重点和难点重点：理解提取公因式法的依据，掌握运用提取公因式法把多项式因式分解难点：确定多项式中各项的公因式和理解因式分解的意义。教学过程：一、新课引入：用类比的方法引入课题在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)例如，把15分解成35，把42分解成237在第七章我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一
2、个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法二、学习新课：1、观察思考：请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果如：m(a+b+c)ma+mb+mc(a+b)(a-b)a2-b2(x-5)(2-x)-x2+7x-10等等再请学生观察它们有什么共同的特点？特点：左边，整式整式；右边，是多项式可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式如：因式分解：ma+
3、mb+mcm(a+b+c)整式乘法：m(a+b+c)ma+mb+mc让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别观察多项式：ma+mb+mc，请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式根据乘法的分配律，可得ma+mb+mcm(a+b+c)这种分解因式的方法叫做提公因式法。定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的方法：公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积
4、。2、例题分析：例1 下列各式从左到右哪些是因式分解？(1)x2-xx(x-1) ( ) (2)a(a-b)a2-ab ( )(3)(a+3)(a-3)a2-9 ( )(4)a2-2a+1a(a-2)+1 ( )(5)x2-4x+4(x-2)2 ( )例2 指出下列各多项式中各项的公因式： (1)ax+ay+a (a)(2)3mx-6mx2 (3mx)(3)4a2+10ah (2a)(4)x2y+xy2 (xy)(5)12xyz-9x2y2 (3xy)例3 把8a3b2-12ab3c分解因式例4 把3x2-6xy+x 分解因式三、课堂小结：1因式分解的意义及其概念2因式分解与整式乘法的联系与区
5、别3公因式及提公因式法4提公因式法因式分解中应注意的问题四、作业布置：练习册习题9.13(1) 教后感1提取公因式法是把多项式因式分解的最基本的，也是最重要的方法。在讲授例题时，要引导学生观察多项式的结构特点，找出多项式各项的公因式。2讨论、分析、归纳，运用提公因式法把多项式因式分解，通过课堂练习让学生在课堂上达到巩固所学知识的目的。3通过向学生说明提公因式的依据，培养学生不仅要掌握顺向思维的方式，还应运用逆向思维去考虑问题由于多项式的因式分解和整式乘法是目标不同，方向相反的恒等变形，可以借此机会训练学生双向思维，特别是逆向思维方式。4本节课由分数约分类比引出因式分解概念，并通过与整式乘法的互
6、逆运算让学生明确因式分解与整式乘法的区别与联系，取得了良好的教学效果。9.13(2)提取公因式法 教学目标1理解公式am+bm+cm=m(a+b+c)中的m不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，并能较熟练的找出公因式；2通过把形如a(x+m)+b(x+m)的多项式分解因式，介绍设辅助元的方法，化归为公因式是单项式的问题，渗透化归的思想方法。教学重点和难点重点：公因式为多项式的提取公因式法。难点：在确定公因式时符号的变换。教学过程：一、新课引入：通过复习引入课题1把下列各式分解因式：(1)2am-3m； (2)100a2b-25ab2；二、学习新课：1、观察思考：思考：如何把a(m+n)+b(m
7、+n)因式分解。对于多项式a(m+n)+b(m+n)，如果设c=m+n，那么这个式子就变为ac+bc，我们就可以提取公式法因式分解了。这样，就把问题归结为公因式是单项式的因式，可以用提取公因式法进行因式分解了如果不写出辅助元，只需把(b+c)看作一个整体，作为公因式提出即可。2、例题分析：例1：分解因式1)2a(b+c)-3(b+c)2)(3m-2)x+3(3m-2)y3)4n(a+b)-5(a+b)24)18b(a-b)2-12(a-b)35)a(x-2)-b(x-2)+x-2例2：分解因式1) m(a-b)-5(b-a)2)6(x+2)+x(-x-2)3)3m(x-y)2-9m2(y-x)
8、24)12a3(m-n)3+10a2(n-m)35)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)三、课堂小结：1在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式2在提取多项式各项的公因式时，对数字系数和因式要分别进行考虑对于数字系数，提取它们的最大公约数，对于相同的因式应提取次数最低的四、作业布置：练习册习题9.13(2) 教后感：1本节课的
9、内容对学生来说是有一定难度的当公因式是多项式时，采用设辅助元的方法，把问题化归为公因式是单项式的提取公因式法，达到化难为易，把不甚熟悉的问题化归为已熟悉的问题的目的，化归思想是数学中解决问题的重要思想方法。在解题时常作为把未知化为已知， 把繁难化为简易问题的手段，以寻求解题途径，教学中教师应结合具体问题有意识的向学生渗透化归的思想方法。2当多项式的公因式是隐含的时候，要引导学生认真观察和分析多项式中各项的特点，寻求把多项式进行适当的变形或改变多项式中某些项的符号的思路和方法，通过课堂练习达到这一目的。3本节课由提取一个单项式类比引出提取多项式的方法，切合学生实际情况，取得了良好的教学效果，但在
10、提取公因式后的合并同类项往往容易忽略，在教学中应强调。9.14(1)公式法教学目标1.了解运用公式法的含义。 2.理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特点，并运用对比的方法弄清两种“平方差公式”的区别与联系。3.会初步运用平方差公式分解因式。教学重点和难点正确运用平方差公式分解因式。教学过程一、复习提问： 1.什么叫因式分解？我们已学过什么因式分解的方法？2.因式分解与整式乘法有什么区别和联系？3.我们学过哪些乘法公式？二、学习新课：1、观察思考：提问：整式乘法与因式分解是互逆关系，那么乘法公式除了可以进行整式乘法外，还有其它什么用途？教师总结：如果把乘法公式从右向左用，就可以用来把某些符合
11、条件的多项式分解因式我们把这种多项式的分解方法叫做运用公式法从而引出因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，并总结该公式的特征：公式左边是两个数的平方差，右边是两个因式积的形式，这两个因式分别为这两个数的积及这两个数的差，利用这个公式，可以把具有平方差特征的多项式分解因式2、例题分析：利用平方差公式因式分解：1）x2-16；2）9m2-4n2练习1.填空：4x2=( )2 25m2=( )2 36a4=( )2 0.49b2=( )2 81n6=( )2 64x2y2=( )2100p4q2=( )22.下列多项式可不可以可不可以用平方差公式？如果可以，应分解成什么式子？如果不
12、可以，说明为什么？ x2+y2 -x2+y2 x2+y2 -x2-y2 a4-b2并总结出能用平方差公式分解因式的多项式应满足的条件：例3：用简便方法计算：1）9992-100122）(99.5)2-(100.5)2三、课堂小结：（1）能写成( )2-( )2的式子，可以用平方差公式分解因式。（2）公式中的a,b可以是单独的数字、字母，也可以是单项式、多项式。（3）分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止。四、作业布置：练习册习题9.14(1) 教后感：1通过因式分解与整式乘法的互逆关系顺利引出因式分解的第2种方法：公式法，渗透类比思想，使学生学会举一反三。2本节课的教学设计，力求体现
13、出在教师引导下，师生共同讨论、分析、归纳，运用公式法把多项式因式分解通过课堂练习让学生在课堂上达到巩固所学知识的目的。3通过例题的讲解，让学生掌握平方差公式的运用范围及标准形式，并通过一些简便运算使学生感悟数学的实用性，提高他们对数学的兴趣。4最终结果没有分解完全是初学者很容易犯的错误，因此在讲解例题时应特别强调因式分解要分解到最后不可分为止。9.14(2)公式法 教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，形成判断能力。3形成全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力4通过运用公式法分解因式的教学，进一
14、步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点能辨认完全平方公式，并正确运用完全平方公式分解因式。教学过程一、复习提问： 1.上节课学习了公式法进行因式分解，用的是哪个公式？练习：把下列各式分解因式：(1)ax4ax2(2)16m4n4.2. 除了平方差公式之外，还有哪些公式?完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,(ab)2=a22ab+b2二、学习新课：1、观察思考：从而引出因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a22ab+b2=(ab)2，并分析该公式的特征：公式左边是两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，右边是这两个数的和(或者差
15、)的平方的形式，利用这个公式，可以把具有平方差特征的多项式分解因式一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是同号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.要用完全平方公式进行因式分解，关键是判断一个式子是否为完全平方式。2、例题分析：例1：下列多项式是否为完全平方式?为什么?(1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x410x2+1；(4)16a2+1.例2：分解因式：1）25x4+10x2+12）1m+3）-4a2b2-1+4ab4)-m2n2-16+8mn例3：分解因式：1）2ax2
16、-12axy+18ay22)(x+y)2+8(x+y)+163)-(2x-y)2-10(2x-y)-25三、课堂小结：1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.2.题目中往往会出现不象完全平方式的形式，需要通过一定的恒等变形才能化成标准形式，关键是抓住完全平方式的本质。四、作业布置：练习册习题9.14(2) 教后感：1、利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，重点放在判断
17、一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质。2、本节课要求学生掌握完全平方公式的特点和灵活运用公式把多项式进行因式分解的方法.在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，让学生从不同侧面理解完全平方公式的特点.例2和例3的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用平方公式进行完全因式分解的方法。3、对于完全平方式的辨认是本堂课的重点及难点，所以总结要透彻，而不应拘泥于形式，否则往往会判断失误；另外，因式分解时，应首先考虑能否提取公因式，再用公式法分解。9.15十字相乘法 教学目标能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px
18、+ q的二次三项式分解因式；通过课堂交流思考，形成从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质。教学重点、难点能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式；把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a b = q；a + b = p。教学过程：一、复习导入1口答计算结果：(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x4) (3) (x3)(x+4) (4) (x3)(x4)2问题：你有什么快速计算类似多项式的方法吗?在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab 二、探索新知1、观察与发现:等式的左边是两个一次二
19、项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算.反过来可得 x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解.2、体会与尝试：试一试 因式分解: x2 + 4x + 3 ； x2 2x 3将二次三项式x2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为xx，常数项3分解为31，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x =
20、 4x定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。拆一拆 将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）： 6、 12、24、 -6、 -12、 -24 .练一练 将下列各式用十字相乘法进行因式分解：(1) x2 7x + 12； (2) x24x12； (3) x2 + 8x + 12； (4) x2 11x12； (5) x2 + 13x + 12； (6) x2 x12；探索符号规律,完成填空.3、思考与归纳：要将二次三项式x2 + px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式
21、分解，即x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).用十字交叉线表示: x +a x +b ax + bx = (a + b)x由于把x2 + px + q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解.三、课堂小结对二次三项式x2 + px + q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：1掌握方法: 拆分常数项,验证一次项. 2符号规律: 当q0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.3书写格式:竖分横积四、巩固新
22、知1、比一比 抢答练习 2、拓展练习 先填空,再分解（尽可能多的）： x2 + ( )x + 60 = ； 五、布置作业练习册9.15十字相乘法教后感： 在做题时学生总忘记先提取公因式，再选择方法，最后思考有无分解到最后不能再分，所以做错在所难免。总之，还是需要多练。9.16 分组分解法 教学目标理解分组分解法的意义；进一步理解因式分解的意义；初步掌握分组后能直接提公因式分解因式的方法。尝试中获得合作的成功，感受一下成功的喜悦。教学重点、难点掌握分组分解法的分组原则；如何分组才能达到因式分解的目的；选择分组方法。教学过程（一）复习把下列多项式因式分解(1)2x2+10x (2)a(m+n)+b
23、(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解1引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。说明： 如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以
24、用分组分解法来分解因式。练习：把下列各式分解因式(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)(三)应用举例例1把a2-ab+ac-bc分解因式分析 把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式分析： 把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出
25、公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可以继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx）=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？(四)、练习：把下列各式分解因式(1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz(5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n(9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2(五)、小结这节课学习了分组后能直接提公因式来因式分解的知识，注意分组时要选择分组方法，要保证分组后各组有公因式。(六)、作业练习册9.15。教后感： 选择恰当的方法进行分组是解题的关键，五项六项的分组是学生的弱项，更难理解的就是需要拆项分解，只有个别学生可以掌握。
