1、数学建模综合练习数学建模综合练习第一章数学建模方法论1.举岀两三个实例说明建立数学模型的必要性，包括实际问题的背景，建模目的，需要大体上 什么样的模型以及怎样应用这种模型.2.怎样解决下面的实际问题.包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样 的数学模型等.（1） 估计一个人体内血液的总量.（2） 为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）.（3） 估计一批口光灯管的寿命.（4） 确定火箭发射至最高点所需的时间.（5） 决定十字路I黄灯亮的时间长度.（6） 为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划.（7） 高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，
2、试制订合理的运行计划3.卞面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、 米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米.试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量 地少.4.假定人口的增长服从这样的规律：时间f的人I I为到时间内人口的增长与 成正比（其中心为最人容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模 型的结果进行比较.5.为了培养想象力、洞察力，考察对彖时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考， 试尽可能迅速地回答下列的问题：（1） 某甲早8： 00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5： 00到达山顶并留宿.次口早8： 00沿
3、同一路径下山，下午5： 00回到旅馆.某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地 点.为什么？（2） 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同, 甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发 现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站.问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是 如何安排的？（3） 某人住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6： 00抵达T市车站，他的妻子驾车准时 到车站接他回家.一口他提前卞班搭乘早一班火车于5： 30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子 像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，
4、即接他回家，此时发现比往常提前10分钟.问他步行了多 长时间.6.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g装的 每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2： 1.试用比例方法构造模型解 释这个现象.（1）分析商品价格c与商品重量w的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这 些成本中有的与重屋w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素.（2）给出单位重量价格c与R的关系，画出它的简图，说明w越人c越小，但是随着R的增7卜 X-*SFi加c减小的程度变小.解释实际意义是什么？7.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求
5、 布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角。应多大（如 图1）.若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端 的影响）.如果管道是其它形状呢？8.建立不允许缺货的生产销售存贮模型.设生产速率为常数h销售速率为常数r, kr.在每 一生产周期T内，开始的一段时间（0/几）一边生产一边销售，后来的一段时间只销 售不生产，画出贮存量q（/）的图形.设每次生产准备费为q,单位时间每件产品贮存费为C：,以总 费用最小为目标确定最优生产周期.讨论Q r和ks的情况.第二章初等数学模型1.在2.5节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度入与开始救火时的火势b有关，试 假设一个合理的函数关系，重新求解模型.2.设某
6、产品的售价为卩，成本为q,售量为x（与产量相等），则总收入与总支出分别为I = px ,C = qx.试在产销平衡的情况下建立最优价格模型.3.在最优价格模型中，如果考虑到成本q随着产量x的增加而降低，试做出合理的假设，重新 求解模型.4.在考虑最优价格模型问题时，设销售期为八由于商品的损耗，成本q随时间增长，设q=qo +M，卩为增长率.又设单位时间的销售量为x = dbp （p为价格）.今将销售期分为0 tT/2和 T/2 t 0, a ； w tuI , a 0.若管道长度为2/,不考虑两端的影响时布条长度显然为凹，若考虑两端的W影响，则应加上型.对于其它形状管道，只需将加改为sin a
7、图4相应的周长即可第二章初等数学模型1.解 不妨设2(b)=後一,表示火势b越大，灭火速度九越小，分母井1中的1是防止 S b + l时九TOC而加的.最优解为ic.Arb2 + 2c,b(b + l)0(b + 1 (b +1)02c,(/T)2x= I = + :2.解 因为售量x依赖于价格厂 记作x = 称为需求函数，它是的减函数.由此可知收入/和支出C都是价格的函数，所以利润U可以表示为(1)(p) = /(p) c(p)使利润U(P)达到最人的最优价格可以由叱 =0得到，即 w Ld/ _ dC其中巴称为边际收入，称为边际支出(2)式表明最人利润在边际收入等于边际支出时达到.dp d
8、p假设需求函数是线性函数，即/(/?) = a-bp . a.b 0 (3)并且每件产品的成本q与产量x无关，将总收入函数、总支出函数、需求函数和(3 )式代入(1) 式可得Ulp) = lp q) bp)用微分法求出使U (/;)达到最人的最优价格声为(4)* q ap = I2 2b在(3)式中。可以理解为这种产品免费供应时( = 0)社会的需求量，称为“绝对需求量b 竺 表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度.在实际工作中b可以由价格和售dp量x的统计数据用最小二乘法拟合来确定.(4)式表明最优价格是两部分之和，一部分是成本q的 一半，另一部分与“绝对需求量”成正比，与市场需求对价格的敏
9、感系数成反比.3.不妨设qg = q-kx, R是产量增加一个单位时成本的降低.最优价格为 6000+ 5久 65S= X 7500+5“65535500+5x365549000+5x4 0（2）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为心,匕人，4个季度结束时解雇的保 姆数量分别为 人，4个季度开始时保姆总数量分别为51, S2, S3, S4人.以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为min Z = S + Sj + S3 + S465S 16000+5兀6552 7500+5x26553 5500+5x365549000 + 5x4S = 120 +
10、 X52= 0.85S + x2- y53= 0.85S, + 心 一 y2S4 = 0.85S3 + x4-儿xl,x2,xx4,yl,y2,ySi,S2,SS4 02.解 （1）建立模型设：每班上班时间为8小时，在上班时间内只能生产一种产品；2周末加班时间内生产哪种产品不限；3生产A产品用；I班，生产B产品用），班，周加班时生产A产品用M小时，生产B产品用川 小时.则有x+y = l0Sy + y 458兀+召 70 8y+儿.8尤+兀_294X + 儿 0且为整数（2）求解现在求满足（1）中第2, 3个方程可看出：x5；将（1）中的第1个方程代入第4个方程得：128 y = 720+9呂
11、7儿现在就是在满足“ +儿50, （3.1）5兀 +8心 40, （3.2）s.t. v6xy + 5x2 42, （3.3）X,无 0用图解法求解上述问题.首先以口卫为坐标轴，建立平面直角坐标系（如图3-10）,由于口申均非负，故只画出了第一 彖限.其次，将其余约束条件几何化.条件（3.1）表示的是一个半平面，先画出直线10心+5心=50,因 为10心+5心$50,故直线（3.1）的上方区域即条件（3.1）所满足的口卫的取值范围；同理将条件（3.2）、 （4.3）也几何化，并注意到几个条件要同时满足，便求得一个以顶点A、E、C. D为顶点的右上方无界的五边形区域旺AECD心.这个区域内的任一
12、点（兀4）都是一个可行性配餐方案.最后，为了求出最优解，将目标函数也进行几何化，有4 ZX- = Xi H 3 1 3(3.4)称为目标函数直线族，因为其中的Z作为参数出现易见，随着Z的逐渐增人，目标函数直线(3.4) 向右上方平行移动.也就是说，随着目标函数直线的逐渐往右上方平移，Z的值越来越大，反之，Z 的值越来越小(如图3-11).又原问题是求函数Z的最小值，故应令目标函数直线尽可能往左卞方平 移.但这种平移是有限制的，即点(口疋)必须在可行域内于是两者的结合便可确定本例的最优解.通过上述斜率关系分析可知目标函数直线与直线(3.1)和直线(3.3)的交点(顶点C)相切， 即直线(3.1)
13、与直线(3.3)的交点即最优解点于是问题就变成了求解方程组卩0旺 + 5x2 = 50, + 5x2 = 42.2易解得x】=2疋=6为最优解，通常记作：疋= =(2,6)76)对应的目标函数值称为最优值，记作Z26第五章概率统计模型1.解 设报童每天订购0份报纸，则其收益函数为yi)=cim,mQ利润的期望为Q xy(7) = + b)m - bQP(m) + 工 aQP(m)比较各个m的Ey()值，使其最大者即为所求.若m的取值过多，可将Ey(m)当成m的连续函数或借鉴连续函数求极值的方法令些匕也=0.d72.解假设有CC%的人患有血友病，并假设下一代与上一代虽人数可能不等，但所生男女比例
14、 一样.基于这样一个假设，不妨设下一代男女与上一代相同，设初始第一代男女分别占总人数的比 例占总人数的比例为他，bo,由题设，他：/70=1： 1.2.注意到只有女人遗传血友病，由此，第一代 将有丄ba%个女人及丄boa%个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为2 2+ 佻 2.2同理，第二代将有个女人及个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为扣 1 1-2 0/Cr = a%aQ + bQ 2 2.2依次类推，第口代将有G)”ba%个女人及G)ba%个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为令 ” T 00 ,3.解-|投资A建立决策树（如图13）.80030000.6 失败02000300010002000400
