1、数学建模D题的答案1doc2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 我们的
2、参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 西安欧亚学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 马璐 2. 胡勇 3. 隋艳龙 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 教练组 日期： 2011 年 8月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）对学生宿舍设计方案的评价摘要本文从经济性、舒适性、安全性三个方面对四种学生宿
3、舍的设计方案做出综合评价和比较。搜集相关资料，并对附图进行量化处理，利用MATLAB软件进行求解。本题给出四个附图，可以根据附图和数据先进行计算和比较做出各因素的评价，求出各因素的最优方案，然后利用层次分析法确定综合目标的权重，具体结果为：（1）经济性方面：查询往年的土地单价、增长率、和运行成本建立经济性因素的层次分析模型，根据收支平衡可求出年与利润的关系，利用matlab软件求解可得,最先收回成本的是方案1, 其次是方案4、方案2、方案3。（2）舒适性方面：根据附图和数据，影响四个方案舒适性的因素分别为：人均占总面积的大小、人均占公共设施面积的大小、寝室人数与寝室面积之比、采光比的大小，通过
4、数据的统计和处理可以得到四种方案的人均占有面积为：（4.8，12，9.8，14.3）、四种方案的人均占公共设施面积为：（1.11，2.23，1.9，3.3）、四种方案的寝室人数与寝室面积之比为：（3.19，6.25，4.48，8.75）、四种方案采光比的大小为：（0.0776 0.0704 0.1318 0），数据值越大则为越佳，人均面积、使用方便、互不干扰均为方案4最佳，采光通风方面方案3最佳，根据数据与优先选择程度越大的准则得出：方案4是舒适度最高的，其次是，方案 2、方案3、方案1。（3）安全性方面：根据附图和数据，影响四个方案安全性的因素分别为：人员疏散时平均疏散宽度的大小、寝室人数、
5、窗户与窗户之间的距离，通过数据的统计和处理可以得出四种方案的平均疏散宽度为：（1.375 3.486 2.819 4.121），根据数据与优先选择程度越大的准则得出： 方案4是安全性最高的，其次是方案2、方案 3、方案1。（4）综合分析方面：建立层次分析模型通过matlab软件计算可以得到组合权向量：（0.1359 0.2701 0.1431 0.4508）根据指标越小，优先选择程度越大的准则得出，方案4综合指标最高，其次是方案2、方案3、方案1关键词：层次分析法 matlab 采光比 方案评价1.问题重述学生宿舍是学校教育的重要组成部分，直接或间接地影响到学生的生活、学习和健康成长。学生宿舍
6、的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理, 同时要考虑成本和收费的平衡, 这些还与所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。可知本文是对学生宿舍评价问题，主要任务是根据给出的四种学生宿舍设计方案进行评价，并且学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。经济性：建设成本、运行成本和收费标准等。 舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等。 安全性：人员疏散和防盗等。附件是四种比较典型的学生宿舍的设计方案。请你们用数学建模的方法就它们的经济性、舒适性和安全性做出综合量化评价和比较。2.问题分析由于学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等因素。
7、将整个问题分为四个部分进行分析，（1）.确定评价目标，（2）.对附图量化处理，（3）.根据数据对分量做出评价，（4）.运用层次分析法确定权重，对设计方案做出综合性评价。基本流程图如下：经济性方面，考虑到土地成本、建房成本、运行成本和收费标准对经济性的影响。从网上搜集相关的建筑学的有关知识，计算出平均每平方米的土地和建设单价，在计算出水电，管理等费用，进行量化处理，利用matlab软件求出年与利润的关系，根据得到的关系进行综合评价，先盈利者为最佳方案。舒适性方面，考虑到人均占有面积、使用方便、互不干扰、采光通风等因素对舒适性的影响，人均占有面积越大则越方便，寝室人数与寝室面积比越大则互不干扰性越
8、好，窗户的面积越大则采光通风越好，根据附图对以上因素进行量化处理，并列出表格进行比较，选出最优方案。安全性方面，考虑到人员疏散、防盗对安全性的影响，影响人员疏散的因素为人员疏散宽度，从网上搜集相关资料可知各楼层的疏散系数，通过疏散系数得出人员疏散宽度，疏散宽度越大则人员疏散越快，影响防盗的因素为寝室人员个数和窗户与窗户之间的距离，寝室人数越少，窗户与窗户之间的距离越远则防盗性就越好。最后根据经济性、舒适性和安全性三个影响宿舍评价方案的因素进行综合考虑建立层次分析法模型，求出权重并最终做出综合量化评价和比较，选出最优方案。 3.模型假设1.假设所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平对四种方
9、案不影响。2.假设楼房各层结构相同，高度相同。3.假设单位面积的土地成本相同。4.假设互不干扰只考虑一间寝室，与其它无关。5.假设每栋楼的窗户大小相同。6.假设采光比与窗户的位置无关。7.假设考虑单一因素时其他因素不影响。4.符号说明学生宿舍设计方案评价经济性舒适性安全性建设成本运行成本收费标准人均居住面积使用方便互不干扰采光通风人员疏散防盗方案1方案2方案3方案4正互反矩阵的特征值一致性指标一致性比率随机一致性指标经济、舒适、安全的权向量综合权向量5.模型的建立与求解5.1针对综合指标建立层次分析法模型15.1.1模型结构如下图所示：5.1.2模型求解根据网上对经济性、舒适性、安全性进行调查
10、得到下图根据图知安全性占得比重最大，其次是舒适性、经济性。综合考虑对经济性、舒适性、安全性三个方面，我们得到了如下的成对比较矩阵为：第二层对第一层的成对比较矩阵为：根据以下对子因素的评价列出第三层对第二层的成对比较矩阵为：随机一致性指标：n1234567891011RI000.580.91.121.241.321.411.451.491.51一致性指标：一致性比率：通过MATLAB编程计算可得两两判断矩阵在单一准则下的权向量、最大特征根,一致性指标与一致性比率CR，具体结果见下表0.13650.23850.62500.54060.10820.04700.30420.06920.32510.12
11、800.47680.07290.28440.16950.47293.01834.29994.17014.05110.00920.09930.05670.01700.01580.03310.06300.0189由于上述一致性比率均小于0.1，可以判断矩阵具有满意的一致性。最后得出：综合组合一致性检验：各层的一致性检验及综合组合一致性检验全部通过。综合组合权向量：最终综合组合权向量为：，所以从经济性、舒适性、安全性综合考虑：方案4综合指标最高,其次是方案2、 方案3、方案15.2针对经济性指标建立层次分析法模型5.2.1建立层次分析法模型结构如下图所示：1.对土地做网上调查32010年全国分区域不
12、同用途地价增长率及地价水平值各区域地价水平值（元/平方米）地价增长率%综合地价商业居住工业综合地价商业居住工业全 国39436536576677210.6011.9712.697.36华北区33613463538086312.889.3317.1510.58东北区2113417623375216.656.368.972.93华东区7156158761023810018.379.148.937.36中南区37428785587078511.8420.5011.709.25西南区36017645454856012.9010.0918.931.29西北区1612271719635618.5510.7
13、910.394.54平均值36467028515772310.2611.1712.686.19从不同区域的地价增长率变化情况来看，2010年六大区域综合地价增长率由高到低分别为，西南区、华北区、中南区、西北区、华东区、东北区，增长率分别为12.90%、12.88%、11.84%、8.55%、8.37%、6.65%（图1），综合地价增长率分别为0.54%、3.91%和2.47%。 图1 .2010年全国分区域不同用途地价环比增长率比较 所以根据综合地价可以算出平均地价为3646（元/平方米），每平方米建筑房价为1100元，地价增长率为10.2%2.运行成本（电，水，维修，管理等费用）水电费用：4
14、根据网上调查，一年一人平均用水为54元。平均用电费用为102元。维修费用：根据调查每人每平方米年维修费为大约30元 管理费用：每人每月10元3.收费标准：根据调查 ：宿舍人数2468价格1500120010008005.2.2模型求解：数据分析得到表3：方案1方案2方案3方案4建设成本4123545元12502000元10476300元8864200元运行成本420元636元570元705元收费标准800元1200元1000元1500元根据matlab绘制利润回收与年限的关系件图4：年与利润的关系 图4 规定，越早收回成本则优越性越好，由图可以看出，方案1最先收回成本，所以从经济性上考虑方案1
15、是最优的，其次是方案4、方案2、方案3。5.3. 针对舒适性指标建立层次分析法模型5.3.1建立层次分析法模型结构如下图所示：5.3.2模型求解：1.人均面积： （人均占总面积的大小）人均占有面积越大优先度越高根据附表分析与计算可得表1：方案1方案2方案3方案4人均占有面积4.8129.814.3所以从人均面积方面考虑得出方案4最有优势，其次是方案2、方案3、方案1.2.使用方便：（人均占公共设施面积的大小） 考虑的是公共设施人均占有面积，人均占有面积越大，说明使用方便性高。根据附表分析与计算可得表2-4：方案1个数总面积每人占地面积沐浴室127.540.15浣洗室127.520.15卫生间5
16、5178.20.81方案2个数总面积每人占地面积浣洗室254.40.25卫生间55178.20.81活动室1115.80.5自修室255.40.25简易餐厅293.20.42方案3个数总面积每人占地面积浣洗室242.40.19卫生间55315.211.38简易餐厅256.20.25垃圾间29.20.04开水房280.04方案4个数总面积每人占地面积浣洗室2295.040.72卫生间2279.20.6客厅22261.361.98所以从4个表中进行统计得到公共设施人均占有面积如下表：综合方案1方案2方案3方案4人均占地面积1.112.231.93.3 表3所以从使用方便上考虑方案4最有优势，其次是
17、方案2、方案1、方案3.3.互不干扰:（寝室人数与寝室面积的比）每个宿舍的占地面积与人数之比越大，则学生之间互不干扰度越高。根据附表可得表4： 宿舍面积/m寝室人数人均占有面积/m方案125.583.19方案22546.25方案326.964.48方案452.568.75 表4所以从互不干扰方面考虑方案4的互不干扰度最高,其次是方案2、方案3、方案1。4.采光通风：（采光比） 采光比等于窗户总面积与寝室总面积之比。采光比越大采光通风性越好（为窗户总面积，为寝室总面积，采光比为）。根据附图统计得到下表：单一窗户面积/m窗户总面积/m寝室总面积/m采光比方案11.9845.54586.50.077
18、6方案21.7696.813750.0704方案33.534134.31022.20.1318方案40011550通过上表，所以从采光通风方面考虑，方案3的采光最好，其次是方案1、方案2、方案4。 根据优先选择程度越大的准则以上所有表（人均面积方面方案4更有优势，使用方便上方案4更有优势，互不干扰方面方案4更有优势，采光通风方面方案3最有优势）对舒适性方面综合得出：方案4是舒适度最高的，其次是，方案2、方案3、方案1。5.4针对安全性指标建立层次分析法模型5.4.1建立层次分析法模型结构如下图所示：5.4.2模型求解：1.人员疏散：（疏散宽度）对人员疏散方面分析，人员疏散影响因素有：楼梯个数，
19、楼梯宽度，走廊宽度及人流密度根据附图得出下表：总人数（人）每层楼房总面积(m)楼梯个数（个）楼梯宽度（米）走廊宽度（米）方案1184877.3531.552.4方案2220266051.801.8方案3228222951.802.4方案41321886.6451.802.4根据网上调查可知，每层楼的疏散人数换算系数：公共场所层数一 二层三层四层及以上系数0.850.770.60走廊 楼道 出口 门层数一 二层三层四层及以上系数0.650.751.00地上的面积折算值为50% - 70% 根据公式:5 疏散宽度=楼层面积土地面积折算值疏散系数/总人数 根据公式计算得到下表：一、二层三层四层平均疏
20、散宽度方案11.3171.3771.431.375方案23.343.4913.6273.486方案32.72.8232.9332.819方案43.9484.1274.2884.121所以从人员疏散方面考虑方案4人员疏散最快，其次是方案2、方案3、方案1.2.防盗： 根据附图可得以下数据：方案1方案2方案3方案4寝室人数8462窗与窗的距离0.70.32.1无寝室人数越少，窗户与窗户之间的距离越大说明防盗越安全，由附表可知方案4没有窗户，寝室人数最少，所以防盗最安全。 根据表格从安全性上考虑方案4安全性最好。根据以上对经济性、舒适性、安全性的评价绘制如下图： 根据综合权向量的权值和上图可得方案4
21、综合指标最高,其次是方案2、 方案3、方案1 6.模型的评价与推广6.1模型的评价：本题给出四个附图，对宿舍的经济性、舒适性、安全性做出科学合理的决策，此类决策是多目标、多因素、多层次的复杂问题。而层次分析模型就是处理多目标、多准则、多因素、多层次问题的，还可进行定性与定量系统分析、决策分析、综合评价等。通过建立层次分析模型，将复杂的难于定性分析的问题转化为简捷明晰的定量分析问题，并运用成对比较法和19比较尺度构造成对比较阵,利用MATLAB计算得到最大特征根和特征向量，根据附图进行计算与比较还列出大量表格，使得到的结果非常直观，易于理解，让问题很明了，思路很清晰。本模型的弊端：由于定量数据较
22、少，定性成分多，不能形成比较严格的数学论证和完善的定量方法。6.2模型的推广：此模型具有系统性、实用性、简洁易懂性等优点，因此它可用于经济计划、管理决策、教育评估等领域。7.参考文献1 许树柏，层次分析法原理，天津：天津大学出版社，1988年。2 刘卫国，MATLAB程序设计教程，北京：中国水利水电出版社,2005年。3 地价信息 2011年8月8日。4 陕西省水.电费用 2011年8月8日5 疏散宽度计算方法 2011年8月9日。8. 附录附录一.求经济性：=53360t-4123545=190080t-12502000=143640t-10476300=144540t-8864200附录二
23、.人员疏散：根据网上调查可知，每层楼的疏散人数换算系数：公共场所层数一 二层三层四层及以上系数0.850.770.60走廊 楼道 出口 门层数一 二层三层四层及以上系数0.650.751.00地上的面积折算值为50% - 70% 根据公式： 疏散宽度=楼层面积土地面积折算值疏散系数/总人数 根据以上表格得到如下函数： Design1（一，二层）的疏散宽度=877.350.850.650.5184=1.317 Design1（三层） 的疏散宽度=877.350.770.750.5184=1.377 Design1（四层以上）的疏散宽度=877.350.601.000.5184=1.430Desi
24、gn2（一，二层）的疏散宽度=26600.850.650.5220=3.340Design2（三层） 的疏散宽度=26600.770.750.5220=3.491Design2（四层以上）的疏散宽度=26600.601.000.5220=3.627Design3（一，二层）的疏散宽度=22290.850.650.5228=2.700Design3（三层） 的疏散宽度=22290.770.750.5228=2.823Design3（四层以上）的疏散宽度=22290.601.000.5228=2.933Design4（一二层） 的疏散宽度=1886.640.850.650.5132=3.948Design4（三层） 的疏散宽度=1886.640.770.750.5132=4.127Design4（四层以上）的疏散宽度=1886.640.601.000.5132=4.288平均疏散宽度越大说明人员疏散越快,每个方案平均疏散宽度如下表：设计方案Design1Design2Design3Design4平均疏散宽度1.3753.4862.8194.121附录三.绘制经济.舒适.安全调查图的程序：clearx=56 30 14;explode=1 0 0;pie(x,explode)legend(安全,舒适,经济)title(经济性、舒适性、安全性在宿舍设计方案中的比重)
