1、高一高二数学同步系列 必修3 北师大版 第一章 22第二课时第2课时系统抽样学习目标1.理解和掌握系统抽样的概念和步骤(重点).2.利用系统抽样解决实际问题(难点).3.了解三种抽样法的联系与区别(重点、易混点).预习教材P1315完成下列问题：知识点1系统抽样的概念当总体容量和样本容量都很大时，无论是采用分层抽样或简单随机抽样，都是非常麻烦的.系统抽样就是为了解决这个问题.系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本.这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样.系统抽样具有如下特点：项目特点个体数目总体中个体无较
2、大差异且个体数目较大抽取方式总体分成均衡的若干部分，分段间隔相等，在第一段内用简单随机抽样确定起始编号，其余依次加上间隔的整数倍抽样特征每个个体被抽到的可能性相同，是等可能抽样系统抽样的优劣：(1)当总体中的个体数较大时，用系统抽样更易实施，更节约成本；(2)系统抽样的效果与个体的编号有关，如果编号的特征随编号呈周期性变化，可能使样本的代表性很差【预习评价】系统抽样有什么特点？提示系统抽样有如下特点：(1)适用于总体容量较大的情况；(2)剔除多余个体及第一段抽样都用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系；(3)是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是.知识点2系统抽样的步骤一般地，假设要从
3、容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：(1)编号：先将总体的N个个体编号.有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；(2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段.当(n是样本容量)是整数时，取k；(3)确定第一个编号：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(lk)；(4)成样：按照一定的规则抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(lk)，再加k得到第3个个体编号(l2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.【预习评价】如何系统抽样的步骤？提示(1)当利用已有编号时注意，已有编号必须是随机的，而不是周期性的；(2)在不是整数而需剔除的过
4、程中，要保证剔除时的随机性和客观性：(3)由于系统抽样时抽样间隔相等，因此系统抽样也被称作等距抽样(机械抽样).知识点3三种抽样方法的比较简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的比较如下表所示：类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等从总体中逐个抽取总体中的个体数较少分层抽样将总体分成几层，在各层中按同一抽样比抽取在各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成系统抽样将总体均分成几部分，按预先确定的规则分别在各部分抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个体数较多【预习评价】判断下面结论是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)简
5、单随机抽样是一种不放回抽样()(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关()(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样()(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平()(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关()答案(1)(2)(3)(4)(5)题型一对系统抽样概念的理解【例1】下列抽样中，最适宜用系统抽样的是()A.某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3282，从中抽取200名入样B.从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2 000个电子元件中
6、随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样解析根据系统抽样的定义和特点判断，A项中的总体有明显的层次，不适宜用系统抽样；B项中样本容量很小，适合用随机数法；D项中总体容量很小，适合用抽签法.答案C规律方法系统抽样适用于个体数较大的总体，判断一种抽样是否为系统抽样，首先看在抽样前是否知道总体是由什么构成的.抽样的方法能否保证将总体分成几个均衡的部分，并保证每个个体等可能入样.【训练1】下列抽样方法不是系统抽样的是()A.从标有115号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号的顺序，随机选起点i0，以后选i05，i010(超过15则从1再数起)号入样B.工厂生产的产品
7、用传送带将产品送入包装车间前，在一天时间内检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验C.做某项市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到达到事先规定的调查人数为止D.电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈解析A编号间隔相同，B时间间隔相同，D相邻两排座位号的间隔相同，均满足系统抽样的特征.只有C项无明显的系统抽样的特征.答案C题型二系统抽样的应用【例2】为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本.请用系统抽样写出抽取过程.解(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1，2
8、，3，15 000.(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体.(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56.(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156，256，356，14 956，这样就得到一个容量为150的样本.规律方法当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数l加上间隔k得到第2个个体编号(lk)，再加k得到第3个个体编号(l2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.【训练2】现有60瓶牛奶，编号为1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽取的
9、编号可能为()A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，42，56C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，30解析因为60瓶牛奶分别编号为1至60，所以把它们依次分成6组，每组10瓶，要从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法进行抽样.若在第一组抽取的编号为n(1n10)，则所抽取的编号应为n，n10，n50.对照4个选项，只有A项符合系统抽样.系统抽样的显著特点之一就是“等距抽样”.因此，对于本题只要求出抽样的间隔k10，就可判断结果.答案A题型三系统抽样的设计【例3】某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按15的比例抽取一个样本
10、，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程.解(1)先把这253名学生编号000，001，252；(2)用随机数法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生；(3)把余下的250名学生重新编号1，2，3，250；(4)分段.取分段间隔k5，将总体均分成50段，每段含5名学生；(5)从第一段即15号中用简单随机抽样抽取一个号作为起始号，如l；(6)从后面各段中依次取出l5，l10，l15，l245这49个号.这样就按15的比例抽取了一个样本容量为50的样本.规律方法1.当总体容量不能被样本容量整除时，要先从总体中随机剔除整除后余数个个体且必须是随机的，即每个个体被剔除的机会均等.剔除个体后使总体
11、中剩余的总体容量能被样本容量整除.2.剔除个体后需对样本重新编号.3.起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了.【训练3】为了了解参加某次考试的2 607名学生的成绩，决定用系统抽样的方法抽取一个容量为260的样本.请根据所学的知识写出抽样过程.解按下列步骤获取样本：(1)将每一名学生编号，由0001到2607；(2)利用随机数法从总体中剔除7人；(3)将剩下的2 600名学生重新编号(分别为0001，0002，2600)，并分成260段；(4)在第一段0001，0002，0010这十个编号中用简单随机抽样法抽取一个号码(如0003)作为起始号码；(5)将编
12、号为0003，0013，0023，2593的个体抽出，即组成样本.【探究1】(1)高三(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是()A.8 B.13C.15 D.18(2)某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为()A.6 B.4C.3 D.2解析(1)从52名学生中抽取4人，用系统抽样方法，则分段间隔为13.由题意知，第一段抽取的号码为5，则其他段抽取的号码应为18，31，44.(2)183，故选C.答案(1)D(2)C【
13、探究2】某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为235，现用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n_.解析根据分层抽样的特点，样本中A种型号产品的数量应是样本容量的，所以样本的容量n16580.答案80【探究3】从编号为0，1，2，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为_.解析由系统抽样的特点可知，共80个产品，若抽取5个样本，则组距为16，又已知其中一个编号为28，则与之相邻的两个编号为12和44，故所取5个编号依次为12，28，44，60，76.即最大编号
14、为76.答案76规律方法1.进行系统抽样的关键及关注点(1)关键：根据总体和样本的容量确定分段间隔，根据第一段确定编号.(2)关注点：当总体不能被样本容量整除时，应采用等可能剔除的方法剔除部分个体，以获取整数间隔.2.分层抽样的适用条件及关注点(1)适用条件：适用于总体由差异明显的几部分组成时的情况.(2)关注点：分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同；在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.课堂达标1.为了解1 200名学生对学校食堂饭菜的
15、意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔k为()A.10 B.20C.30 D.40解析分段间隔k30.答案C2.为了了解参加某次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为()A.2 B.3C.4 D.5解析因为1 25250252，所以应随机剔除2个个体，故选A.答案A3.某公司有52名员工，要从中抽取10名员工参加国庆联欢活动，若采用系统抽样，则该公司每个员工被抽到的机会是_.解析采用系统抽样，需先剔除2名员工，确定间隔k5，但每名员工被剔除的机会相等，即每名员工被抽到的机会也相等，故
16、虽然剔除了2名员工，但这52名员工中每名员工被抽到的机会仍相等，且均为.答案4.在1 000个有机会中奖的号码(编号为000999)中，公证部门用随机抽样的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码，这种抽样方法是_，这10个中奖号码为_.解析这里运用了系统抽样的方法来确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988.答案系统抽样088，188，288，388，488，588，688，788，888，9885.要从参加全运会某些项目比赛的1 013名运动员中抽取100名进行兴奋剂检查，采用何种抽样方法较好？写出过程.解应采用系统抽样.过程
17、如下：第一步，将1 013名运动员随机编号为0001，0002，0003，1013；第二步，随机地从总体中抽取13个号码，并将编号相对应的运动员剔除；第三步，将剩下的1 000名运动员重新编号为1，2，3，1000，分成100段，每段10个号码，在第一段十个编号中用简单随机抽样确定第一个个体编号为l，则将编号为l，l10，l20，l990的运动员抽出，组成样本.课堂小结1.系统抽样的实质是“分组”抽样，适用于总体中的个体数较大的情况.2.解决系统抽样问题的两个关键步骤为(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本.(2)用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取k，即先从总体中用
18、简单随机抽样的方法剔除(Nnk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性.基础过关1.下列抽样试验中，最适宜用系统抽样的是()A.从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动B.一个城市有210家百货商店，其中有大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家.为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本.C.从参加考试的1 200名考生中随机抽取100人分析试题作答情况D.从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解情况解析A项中总体容量、样本容量都较小，可用抽签法或随机数法；B项中总体含有差异明显的几部分，不宜用系统抽样；D项中样本容量较小，可采用随机数法；只有C项中
19、总体容量与样本容量都较大，适宜用系统抽样.答案C2.为了了解某地参加计算机水平测试的5 008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为()A.24 B.25 C.26 D.28解析5 008除以200的整数商为25，故选B.答案B3.有20个同学，编号为120，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为()A.5，10，15，20 B.2，6，10，14C.2，4，6，8 D.5，8，11，14解析将20个同学分成4个组，每组5个号，间距为5.答案A4.一个总体的60个个体的编号为0，1，2，59，现要从中抽取一个容
20、量为10的样本，请根据编号按被6除余3的方法，取足样本，则抽取的样本号码是_.解析由题意，设抽取样本的编号为6n3，则36n359，且nN，所以n0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，相应的编号依次为3，9，15，21，27，33，39，45，51，57.答案3，9，15，21，27，33，39，45，51，575.某单位有职工72人，现需用系统抽样法从中抽取一个样本，若样本容量为n，则不需要剔除个体，若样本容量为n1，则需剔除2个个体，则n_.解析由题意知n为72的约数，n1为70的约数，其中72的约数有1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，其中加1能被70整除的有1，
21、4，6，9，其中n1不符合题意，故n4或6或9.答案4或6或96.将参加夏令营的600名学生编号为001，002，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第营区，从301到495在第营区，从496到600在第营区，求三个营区分别被抽中的人数.解由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(kN*)组抽中的号码是312(k1).令312(k1)300得k，因此第营区被抽中的人数是25；令300312(k1)495得k42，因此第营区被抽中的人数是422517.所以第
22、营区被抽中的人数是5025178.综上，三个营区分别被抽中的人数为25，17，8.7.从某厂生产的702辆摩托车中随机抽取70辆测试某项性能，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程.解用系统抽样，抽样过程如下：第一步，将702辆摩托车用随机的方式编号为1，2，3，702；第二步，从总体中剔除2辆(剔除方法必须是随机的)，将剩下的700辆摩托车重新用随机的方式编号，分别为1，2，3，700，并均分成70段；第三步，在第一段1，2，3，10这十个号码中用简单随机抽样抽出一个(如6)作为起始号码；第四步，将编号为6，16，26，696的个体抽出，组成样本.能力提升8.为规范学校办学，省教育厅督察
23、组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是()A.13 B.19 C.20 D.51解析由系统抽样的原理可知，抽样的间隔k13，故抽取的样本的编号分别为7，713，7132，7133，从而可知C项正确.答案C9.用系统抽样的方法从个体为1 003的总体中，抽取一个容量为50的样本，则在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性是()A. B. C. D. 解析根据系统抽样的方法可知，每个个体入样的可能性相同，均为，所以每个个体入样的可能性是.答案C10.若
24、总体中含有1 650个个体，现要采用系统抽样从中抽取一个容量为35的样本，分段时应从总体中随机剔除_个个体，重新编号后应均分为_段，每段有_个个体.解析1 65047355，根据系统抽样的定义求解.答案5354711.一个总体中的80个个体的编号为0，1，2，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，7，用错位系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i，依次错位地得到后面各组的号码，即在第k组中抽取个位数字为ik(当ik10时)或ik10(当ik10时)的号码.当i6时，所抽到的8个号码是_.解析由题意得，在第1组抽取的号码的个位数字是617，故应选17；在
25、第2组抽取的号码的个位数字是628，故应选28；依此类推，应选39，40，51，62，73.答案6，17，28，39，40，51，62，7312.下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样，阅读并回答问题：本村人口：1 200人，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30户；抽样间隔；40；确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12；确定第一样本户：编码的后两位数为12的户为第一样本户；确定第二样本户：124052，52号为第二样本户；(1)该村委采用了何种抽样方法？(2)抽样过程中存在哪些问题，并修改.(3)何处是用简单随机抽样.解(1)系统抽样.(2)本题是对某村各户进行抽样，
26、而不是对某村人口抽样，抽样间隔为：10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为02(或其他0009中的一个)，确定第一样本户：编号为02的户为第一样本户；确定第二样本户：021012，编号为12的户为第二样本户；.(3)确定随机数字用的是简单随机抽样，取一张人民币，编码的后两位数为02.13.(选做题)某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本.如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采取系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.解总体容量为6121836.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取工程师6(人)，抽取技术人员12(人)，抽取技工18(人).所以n应是6的倍数，36的约数即n6，12，18，36.当样本容量为(n1)时，在总体中剔除1人后还剩35人，系统抽样的间隔为，因为必须是整数，所以n只能取6，即样本容量为6.
