1、近世代数期末考试题库doc世代数模拟试题一一、单项选择题 (本大题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 A B R(实数集 ) ，如果 A 到 B 的映射： xx 2， x R，则是从 A 到 B 的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合B 中含有 2 个元素，那么， A 与 B 的积集合 AB 中含有（ d）个元素。A 、 2B 、5C、 7D、 103、在群 G中方程 ax=b ，ya=b， a,
2、b G都有解，这个解是（b ）乘法来说A 、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D 、相同的 (两方程解一样 )4、当 G为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ c ）A 、不相等B、 0C、相等D 、不一定相等。5、 n 阶有限群 G的子群 H的阶必须是 n 的（ d）A 、倍数B、次数C、约数D 、指数二、填空题 ( 本大题共10 小题，每空3 分，共30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合；，则有。2、若有元素 e R使每 a A，都有 ae=ea=a，则 e 称为环 R 的单位元。3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称
3、R 是一个交换环。4、偶数环是整数环的子环。5、一个集合 A 的若干个 - 变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。6、每一个有限群都有与一个置换群同构。7、全体不等于0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元 a 的逆元是 a-1 。8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么-。9、一个除环的中心是一个 - 域 - 。三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设置换和分别为： ，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。
4、和可以写成如下对换的乘积：2 解：设 A 是任意方阵，令， ，则 B 是对称矩阵，而C 是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，所以，表示法唯一。3、设集合，定义中运算“”为 ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2 小题，第1 题 10 分，第 2小题 15 分，共 25分）1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。2、假定 R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含 R 的域，那么 F 包含 R 的一个商域。1、对于 G 中任意元 x， y，由于，所以（
5、对每个x，从可得） 。2、证明在 F 里有意义，作 F 的子集显然是 R 的一个商域证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、 1、设 G有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。A 、B、C、D 、2、下面的代数系统（G，* ）中，（d）不是群A 、 G 为整数集合， * 为加法B 、G 为偶数集合， * 为加法C、G 为有理数集合， *为加法D 、G 为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（b ）A 、 a*b=a-bB、 a*b=maxa,bC、 a*b=a+2bD、 a*b=|a-b|4、设、是三个置换，其中 =（ 12）（
6、23）（ 13）， =（ 24）（ 14）， =（ 1324），则 =（ b ）1A 、B、C、D 、5、任意一个具有2 个或以上元的半群，它（a ）。A 、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、 是交换群二、填空题 (本大题共10 小题，每空3 分，共30 分 )请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个- 变换全 - 同构。2、一个有单位元的无零因子- 交换环 - 称为整环。3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于 -25- 。4、 a 的阶若是一个有限整数n，那么 G 与- 模 n 乘余类加群 - 同构。5、 A=1.2.3B=2.5.6那么
7、 AB=-2- 。6、若映射既是单射又是满射，则称为- 双射 - 。7、叫做域的一个代数元，如果存在的-不都等于林 - 使得。8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为- 单位元 - 。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、-消去律成立- 。10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则P 是 - 。三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A=1,2,3G是 A 上的置换群， H 是 G 的子群， H=I,(1 2) ，写出 H 的所有陪集。2、设 E 是所有偶数做成的集合， “”是数的乘法，则 “”是 E
8、 中的运算，（ E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？1、解： H 的 3 个右陪集为： I,(1 2)，(1 2 3 ) ，(1 3) ，(1 3 2 ) ，(2 3 )H 的 3个左陪集为： I,(1 2)，(123)，(23)，(132) ，(13)2、答：（ E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3 102+85102=1 85+17由此得到 (a,b)=17, a,b=a b/17=11339。然后回代： 17=102-85=102-(b-3 102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q
9、=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明 设 e 是群 的幺元。令 x a1*b ，则 a*x a*(a 1*b) (a*a 1)*b e*b b。所以， x a 1*b 是 a*x b 的解。若 xG 也是 a*x b 的解，则 x e*x (a 1*a)*x a 1*(a*x) a 1*b x。所以， x a 1*b 是 a*x b 的惟一解。2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系， 把这样定义的等价类集合记为 Zm ，每个整数 a 所在的等价类记为 a= x Z； m xa或者也可记为，称之为模 m 剩余类。若
10、m ab 也记为 ab(m)。当 m=2 时， Z2 仅含 2 个元： 0 与 1 。四、证明题（本大题共2 小题，第1 题 10 分，第 2小题 15 分，共 25 分）1、若 是群，则对于任意的a、 b G，必有惟一的 x G使得 a*x b。2、设 m 是一个正整数，利用m 定义整数集 Z 上的二元关系： a? b 当且仅当 mab。近世代数模拟试题三一、单项选择题1、 6 阶有限群的任何子群一定不是（c ）。A、2 阶B、3 阶C、4 阶D、6阶2、设 G 是群， G 有（ c）个元素，则不能肯定 G 是交换群。A、4 个B、5 个C、6 个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于
11、（d ）。4、下列哪个偏序集构成有界格（d）A 、偶数B 、奇数C、 4 的倍数D 、 2 的正整数次幂A 、（ N,）B、（Z,）C、（2,3,4,6,12,| （整除关系） ）D 、 (P(A),)25、设 S3 (1) ， (12)，(13) ，(23) ， (123) ，(132) ，那么，在 S3 中可以与 (123) 交换的所有元素有（ a ）A 、 (1) ，(123)， (132) B 、 12)，(13) ，(23)C、(1) ，(123) D 、 S3 中的所有元素二、填空题 (本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分 )请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均
12、无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是 -的。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则-a-。3、区间 1， 2上的运算的单位元是 -2-。4、可换群 G 中 |a|=6,|x|=8,则 |ax|= 24 。5、环 Z8 的零因子有-。6、一个子群 H 的右、左陪集的个数 -相等 -。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的 - 商权 -。8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-特征 -。9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为-mIn-。三、解答题（本大题共3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出
13、多少种不同的项链？2、 S1，S2 是 A 的子环，则 S1S2 也是子环。 S1+S2也是子环吗？3、设有置换， 。1求和；2确定置换和的奇偶性。1群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只种，四白一黑 1 种，三白二黑2 种， 等等，可得总共8 种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意 a,bS1 S2 有 a-b, ab S1 S2：因为 S1， S2 是 A 的子环，故 a-b, ab S1 和 a-b, ab S2 ，因而 a-b, ab S1S2 ，所以 S1S2是子环。S1+S2 不一定是子环。在矩阵环中很容易找到
14、反例：3、解： 1，；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想。2、 M 为含幺半群，证明 b=a-1 的充分必要条件是 aba=a 和 ab2a=e。1、证明：假定是 R 的一个理想而不是零理想，那么 a，由理想的定义，因而 R 的任意元这就是说 =R，证毕。2、证 必要性：将 b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，近世代数模拟试题四一、单项选择题 (
15、本大题共 5 小题，每小题3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A与 B 的积集合 AB 中含有（ d）个元素。A.2B.5C.7D.102.设 A B R(实数集 ) ，如果 A 到 B 的映射3：xx 2， x R，则是从 A到 B的（c）A. 满射而非单射B. 单射而非满射C. 一一映射D.既非单射也非满射3. 设 S3 (1)， (12)， (13)， (23) ， (123)， (132)，那么，在S3 中可以与 (123)
16、 交换的所有元素有（a）A.(1) ， (123)， (132)B.(12) ， (13) ， (23)C.(1) ， (123)D.S3 中的所有元素4. 设 Z15 是以 15 为模的剩余类加群，那么，Z15 的子群共有（d）个。A.2B.4C.6D.85. 下列集合关于所给的运算不作成环的是（b）A. 整系数多项式全体Zx关于多项式的加法与乘法B. 有理数域 Q上的 n 级矩阵全体 Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C. 整数集 Z 关于数的加法和新给定的乘法“”：m， n Z， mn 0D. 整数集 Z 关于数的加法和新给定的乘法“”：m， n Z， mn 1二、填空题 ( 本大题共10
17、小题，每空 3分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设 “ ”是集合 A 的一个关系，如果 “”满足 _，则称 “ ”是 A的一个等价关系。7.设 (G， ) 是一个群，那么，对于 a， b G，则 ab G也是 G中的可逆元，而且 (ab) 1_。8. 设 (23)(35) ， (1243)(235) S5，那么 _( 表示成若干个没有公共数字的循环置换之积) 。9. 如果 G 是一个含有15 个元素的群，那么，根据Lagrange 定理知，对于a G，则元素a 的阶只可能是_5,15,1,3,_。10.在 3 次对称群 S3 中，设 H (1)，(123)
18、 ，(132)是 S3 的一个不变子群， 则商群 G/H 中的元素 (12)H _。11.设 Z6 0， 1， 2， 3， 4，5 是以 6 为模的剩余类环，则 Z6 中的所有零因子是 _2,3,4_ 。12.设 R 是一个无零因子的环，其特征n 是一个有限数，那么， n 是 _。13.设 Z x是整系数多项式环， (x) 是由多项式 x 生成的主理想，则 (x) _。14.设高斯整数环 Z i a bi|a ， b Z ，其中 i2 1，则 Z i 中的所有单位是 _。15.有理数域 Q上的代数元 +在 Q上的极小多项式是 _。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）
19、16. 设 Z 为整数加群， Zm为以 m为模的剩余类加群，是 Z 到 Zm的一个映射，其中：k k， k Z，验证：是 Z 到 Zm的一个同态满射，并求的同态核 Ker。17. 求以 6 为模的剩余类环 Z6 0， 1， 2，3， 4， 5 的所有子环，并说明这些子环都是 Z6 的理想。18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题（本大题共 3 小题，第 19、 20 小题各 10 分，第 21 小题 5 分，共 25 分）19.设 G a ， b， c ， G的代数运算 “”由右边的运算表给出，证明： (G， ) 作成一个群。abc
20、aabcbbcaccab20.设已知 R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明： I 是 R 的一个子环，但不是理想。21.设 (R， ) 是一个环，如果 (R， ) 是一个循环群，证明： R 是一个交换环。近世代数模拟试题一参考答案4一、单项选择题。1、 C； 2、 D； 3、 B； 4、 C； 5、 D；二、填空题 (本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分 )。1、； 2、单位元； 3、交换环； 4、整数环； 5、变换群； 6、同构 ;7、零、 -a ； 8、 S=I 或 S=R ； 9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮
21、换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。 和可以写成如下对换的乘积：2、解：设 A 是任意方阵，令， ，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，所以，表示法唯一。3、答：（，）不是群，因为中有两个不同的单位元素0 和 m。四、证明题（本大题共2小题，第 1题 10分，第 2 小题 15 分，共 25分）1、对于 G 中任意元 x， y，由于，所以（对每个x，从可得） 。2、证明在 F 里有意义，作 F 的子集显然是 R 的一个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题 (本
22、大题共 5 小题，每小题3 分，共 15分)。1、C；2、D；3、B； 4、B；5、A；二、填空题 (本大题共10 小题，每空3 分，共 30 分)。1、变换群； 2、交换环； 3、25； 4、模 n 乘余类加群；5、 2 ； 6、一一映射； 7、不都等于零的元；8、右单位元； 9、消去律成立； 10、交换环；三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10分，共 30 分）1、解： H 的 3 个右陪集为： I,(1 2)， (12 3 ) ，(1 3) ，(1 32)，(23)H 的 3 个左陪集为： I,(1 2)，(123)，(23)，(132)，(13)2、答：（ E，）不是群，因为（E，
23、）中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3 102+85102=1 85+17由此得到 (a,b)=17, a,b=a b/17=11339。然后回代： 17=102-85=102-(b-3 102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第 1题 10分，第 2 小题 15 分，共 25分）1、证明 设 e 是群 的幺元。令 x a1*b ，则 a*x a*(a 1*b) (a*a 1)*b e*b b。所以， x a 1*b 是 a*x b 的解。若 xG 也是 a*x b 的解，则 x e*x (
24、a 1*a)*x a 1*(a*x) a 1*b x。所以， x a 1*b 是 a*x b 的惟一解。2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系， 把这样定义的等价类集合记为 Zm ，每个整数 a 所在的等价类记为 a= x Z； m xa或者也可记为，称之为模 m 剩余类。若 m ab 也记为 ab(m)。当 m=2 时， Z2 仅含 2 个元： 0 与 1 。近世代数模拟试题三 参考答案一、单项选择题 1、 C；2、 C； 3、 D； 4、 D； 5、A ；二、填空题 (本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分 )请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一； 2、； 3、2； 4、 24； 5、； 6、相等； 7、商群； 8、特征； 9、；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，
