1、高中数学必修5不等式的应用2019-2020年高中数学必修5不等式的应用教学目标：掌握建立不等式模型解决实际问题. 教学重点：掌握建立不等式模型解决实际问题 教学过程1、某座水库，设计的最大库容量是26.2万方，库区的森林覆盖率为60%，除林地外其余为裸露地，森林和裸露地分别有10%和85%的雨水量变成地表水流流入水库。预测连续降雨，且单位面积降雨量相同，库区在x天内降鱼总量y(单位：万方)与天数x之间的函数为y=(x).水库原有水量20万方，在降雨的第2天就开闸泄洪，每天泄洪量为0.2万方，问连续降雨几天后，该水库会发生险情？(水库水量超过设计的最大库容量就有危险，库区水面上的降雨量忽略不计
2、)解：连续降雨x天后，水库水量f(x)=20+y60%10%+y40%85%-0.2(x-1)=20.2+2-x26.2,即x+5x-3000,所以x15或x0得n-20n+490所以10-n0f(x)g(x)0，0。5简单的绝对值不等式绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。解绝对值不等式的常用方法：讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|ax2a2ax0)，|x|ax2a2xa或x0)。一般地有：|f(x)|g(x)g(
3、x)f(x)g(x)f(x)g (x)或f(x)0的解集为（ ）A.x|x3C.x|x3 D.x|1x0，x3.故原不等式的解集为x|x3。点评：简单的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具，分式不等式的解题思路是：分式化整式（注意分母不为零）。题型2：简单的绝对值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题例3（1）（xx全国，3）不等式（1x）（1x）0的解集是（ ）Ax0x1 B.xx0且x1Cx1x1 D.xx1且x1（2）（1997全国，14）不等式组的解集是（ ）A.x0x2 B.x0x2.5C.x0x D.x0x3解析：（1）答案：D；解法一：x0时，原不等式化为：（1x
4、）（1x）0，（x1）（x1）0，0x1。x0时，原不等式化为：（1x）（1x）0（1x）20，x1，x0且x1。综上，不等式的解集为x1且x1。解法二：原不等式化为： 或 解得1x1，解得即x1，原不等式的解集为x1且x1。点评：该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求。（2）答案：C解法一：当x2时，原不等式化为，去分母得（x+2）（3x）（x+3）（x2），即x2x6x2x6，2x2120，。注意x2，得2x；当0x2时，原不等式化为，去分母得x2x6x2x6。即2x0 注意0x2，得0x2。综上得0x，所以选C。解法二：特殊值法.取x=2，适合不等式，排除A；取
5、x=2.5，不适合不等式，排除D；再取x=，不适合不等式，所以排除B；选C。点评：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力。例4（1）（1995全国理，16）不等式（）32x的解集是_。（2）（xx全国文5，理4）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x取值范围为（ ）A.（，）（，） B.（，）C.（，） D.（，）（，）（3）（06山东理，3）设f(x)= 则不等式f(x)2的解集为（ ）(A)（1，2）（3，+） (B)（，+）(C)（1，2） （ ，+） (D)（1，2）解析：（1）答案：x|2x4将不等式变形得则x282x，从而x22x80，（x2）（x4）0，2x4，所以不等
6、式的解集是x|2x4评述：此题考查指数不等式的解法；（2）答案：C解法一：作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图46可得C答案。图46 图47解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图47）。（3）C；点评：特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段。题型3：含参数的不等式的求解问题例5（1）设不等式x22ax+a+20的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围？（2）解关于x的不等式1(a1)。分析：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所
7、在；数形结合的思想使题目更加明朗。解析：（1）M1，4有两种情况：其一是M=，此时0；其二是M，此时=0或0，分三种情况计算a的取值范围。设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)当0时，1a2，M=1，4；当=0时，a=1或2；当a=1时M=11，4；当a=2时，m=21，4。当0时，a1或a2。设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24，即，解得2a，M1，4时，a的取值范围是(1，)。（2）原不等式可化为：0，当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解。由于，原不等式的解为(，)(2，+)。 当a1时，原不等式
8、与(x)(x2) 0同解。由于，若a0，解集为(，2)；若a=0时，解集为；若0a1，解集为(2，)。综上所述：当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2)。点评：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想。 M=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错。例6（1）（06重庆理，15）设a0,n1,函数f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式logn(x2-
9、5x+7) 0的解集为_ _；（2）（06重庆文，15）设，函数有最小值，则不等式的解集为 。解析：（1）由于函数有最大值，则。所以原不等式可转化为，又因为恒成立，由解得；（2）由于函数有最小值，故。原不等式化为，即。点评：含参数指数、对数不等式的处理原则是转化为一般的不等式，兼顾到底数的分类标准为两种情况，这也是分类的标准。题型4：线性规划问题例7（1）（06安徽，10）如果实数满足条件， 那么的最大值为（ ） A B C D（2）（06天津理，3）设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A B C D解析：（1）当直线过点(0，-1)时，最大，故选B；（2）B点评：近年来线性规划的
10、一些基本运算问题成为出题的热点，该部分知识大多都属于基础题目，属于中低档题目。例8（1）（06四川理，8）某厂生产甲产品每千克需用原料和原料分别为，生产乙产品每千克需用原料和原料分别为千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为元，月初一次性够进本月用原料各千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为千克，千克，月利润总额为元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为（ ）（A） （B）（C） （D）（2）（06浙江理，3）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ ）(A) (B) (C) (D)（3）（06北京
11、理，13）已知点 P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO |的最小值等于，最大值等于。解析：（1）约束条件为，选C；（2）A；（3）、。点评：线性规划的应用题也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现。题型5：不等式的应用例9（06湖南理，20）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙: 分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为。设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度。()分别
12、求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少；()若采用方案乙，当为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响。解析：()设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19。由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程：解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3。 因为当,故方案乙的用水量较少。（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得，（*），于是+， 当为定值时,，当且仅当时等号成立。此时 将代入（*）式得故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分
13、别为：, 最少总用水量是.当，故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。这说明，随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量。点评：通过实际情景建立函数关系式求解不等式问题成为高考的亮点，解题的关键是建立函数模型，通过函数的性质特别是单调性建立不等关系求得结果。例10（xx全国文24、理22）如图61，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B
14、孔的面积忽略不计）?解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y值最小。根据题设，有4b+2ab+2a=60（a0，b0），得b=（0a30 ，于是。当a+2=时取等号，y达到最小值。这时a=6，a=10（舍去） 将a=6代入式得b=3，故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大。由题设知4b+2ab+2a=60（a0，b0），即a+2b+ab=30（a0，b0）。a+2b2 2ab30，当且仅当a=2b时，上式取等号.由a0，b0，解得0ab18即当a=2b时，ab取得最大值
15、，其最大值为18。2b218解得b=3，a=6。故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。点评：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力。五思维总结1在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解。加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论.复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理的分类，做到不重不漏。
16、加强函数与方程思想在不等式中的应用训练。不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化.如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法.在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视。2强化不等式的应用突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识。高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强
17、不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键.因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力。如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误。3突出重点综合考查在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重。在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点。
