1、概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后答案概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后答案概率论 习题四 答案1.设随机变量X 的分布律为求E (X ),E (X ),E (2X +3).【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-+= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-+= (3) 1(23)2()32342E X E X +=+=+= 2.已知100个产品有10个次品,求任意取出的5个产品的次品数的数学期望、方差.故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =+ 0.501,=520()()i ii D X x E X
2、 P =- 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-+-+-=3.设随机变量且已知E (X )=0.1,E (X 2)=0.9,求123,p p p .【解】因1231p p p +=,又12331()(1)010.1E X p p p p p =-+=-=,222212313()(1)010.9E X p p p p p =-+=+=由联立解得1230.4,0.1,0.5.p p p =4.袋有N 只球,其的白球数X 为一随机变量,已知E (X )=n ,问从袋任取1球为白球的概率是多少?【解】记A =从袋任取1球为白球,则()|Nk P
3、A P A X k P X k =全概率公式11().NNk k k P X k kP X k N Nn E X N N=5.设随机变量X 的概率密度为f (x )=-.,0,21,2,10,其他x x x x求E (X ),D (X ). 【解】12201()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +-=+-21332011 1.33x x x =+-=122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +-=+-= 故 221()()().6D XE X E X =-=6.设随机变量X ,Y ,Z 相互独立,且E (X )=5,
4、E (Y )=11,E (Z )=8,求下列随机变量的数学期望.(1) U =2X +3Y +1; (2) V =YZ -4X .【解】(1) (231)2()3()1E U E X Y E X E Y =+=+ 25311144.=+=(2) 44()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立1184568.=-= 7.设随机变量X ,Y 相互独立,且E (X )=E (Y )=3,D (X )=12,D (Y )=16,求E (3X -2Y ),D (2X -3Y ). 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X
5、Y E X E Y -=-=-=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=+=8.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=其它 求()E XY .【解】方法一:先求X 与Y 的均值 12()2d ,3E X x x x=5(5)5()e d5e d e d 51 6.z y y zzE Y y y z zz +=-=+=+=令 由X 与Y 的独立性,得2()()()6 4.3E XY E X E Y =方法二:利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立,故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,y X Y x x y
6、f x y f x f y -=其他于是11(5)2(5)552()2ed d 2de d 6 4.3y y E XY xy x x y x xy y +-=10.设随机变量X ,Y 的概率密度分别为()X f x =-;0,0,0,22x x x e ()Y f y =-.0,0,0,44y y y e 求(1) ()E X Y +;(2) 2(23)E X Y -. 【解】22-20()()d 2e d ee d xx x X E X xf x x x x x x +-+-=-+201e d .2x x +-=401()()d 4e d y .4yY E Y y f y y y +-=22
7、242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +-=从而(1) 113()()().244E X Y E X E Y +=+=+= (2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=-=11.设随机变量X 的概率密度为f (x )=为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,工厂获利100元,而调换一台则损失200元,试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值:100元和 -200元/4111001e d e4x P Y P X x +-=20011e.P
8、Y P X -=-=根据题意 min ,2Y X =,所以Y 的分布函数为 ()min ,2F y P X y =当0y 时,()min ,20F y P X y P X y =; 当02y 时,115501()min ,215x y yF y P X y P X y e dx e -=-; 当2y 时,()min ,21F y P X y =;于是Y 的分布函数为:150,0,()1,02,1,2y y F y e y y -=-。23.已知甲、乙两箱装有同种产品,其甲箱装有3件合格品和3件次品,乙箱仅装有3件合格品.从甲箱任取3件产品放乙箱后,求:(1)乙箱次品件数Z 的数学期望;(2)从
9、乙箱任取一件产品是次品的概率. 【解】(1) Z 的可能取值为0,1,2,3,Z 的概率分布为33336C C C k kP Z k -=, 0,1,2,3.k = 即因此,()0123.202020202E Z =+= (2) 设A 表示事件“从乙箱任取出一件产品是次品”,根据全概率公式有3()|k P A P Z k P A Z k =191921310.202062062064=+= 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布(,1)N ,内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品.销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损,已知销售利润T (单位:元)与销售零件的
10、内径X 有如下关系1,10,20,1012,5,12.X T X X -问:平均直径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?【解】因为 (,1)X N ,所以平均利润()10201012512E T P X P X P X =-10201012512(10)20(12)(10)51(12)25(12)21(10) 5.P X u u P u X u u P X u uu u u u u u =-=-+-=-令d ()25(12)(1)21(10)(1)0()d x E T u u x u-=-=得 22(12)/2(10)/22521u u ee-=两边取对数有2211ln 25(12)ln 2
11、1(10).22u u -=-解得 125111ln11ln1.1910.91282212u =-=-(毫米因为该问题有唯一驻点,所以当10.9=毫米时,平均利润最大. 25.设随机变量X 的概率密度为1cos ,0,()220,.x x f x =其他 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于/3的次数,求2Y 的数学期望. (2002研考)【解】令 1,3(1,2,3,4)0,3i X Y i =X .则1234,Y Y Y Y 相互独立,都服从(01)分布,且41i i Y Y =.因为133p P X P X =-及/3011cos d 3222x P X x =,所以 111(
12、),(),()42242i i E Y D Y E Y = 221()41()()4D YE Y EY =-,从而222()()()12 5.E Y D Y E Y =+=+=26.两台同样的自动记录仪,每台无故障工作的时间i T (i =1,2)服从参数为5的指数分布,首先开动其一台,当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间12T T T =+的概率密度()T f t ,数学期望()E T 及方差()D T . 【解】由题意知:55e ,0,()0,0t i t f t t -=.因为1T 与2T 独立,所以由卷积公式得12T T T =+的概率密度12()()()d T f t f x f t x x +-=-当0t 时,()T f t =0; 当0t 时, 55()5120()()()d 5e 5e d 25e tx t x t T f t f x f t x x x t
