1、中考数学专题突破六最短路径造桥选址问题专题六：最短珞径一一造桥选址问题【导例引入】导例：妇区1,已知正方形AECD边长犬3,点E在AB边上且BE=I，点P, Q分别是边BC,CD的动点（均不与顶点重合，当四楚形AEI的周长収最小值时，四边形AEFQ的面枳定【方法指引】 使得AM-MlHwB最小 且MN-方法；将点A向右平移於个单位到/ ,作关于直线1的对称点连接A馆交直线 /十点N，将点N冋左干移Cf个单位到Jb点Jh N即为所衣丿此时AM+*NE最小为VB。（2）如图 IlIil2, 4, 4之间距离为，在S厶分别找取N两点.便得MNLzI.且AH-B 最小。方法：将点A向下平移/个单位到A
2、，, JiAZ B交直线右于点N,将点N向上平移/个 单位到H八点嘉A即为所求，AM4NEK最小值为AZ B+do3）如图，点P, Q在ZAoR内，分别在0A, OR上找点C, D,使四功形Peg的周长悬 小.万法：分别作P, Q关于OA, OB的对称点P , Q,连接P Q分别交OA, OB与点C,D ；则此时四边形Po2的周长最小本质为转化思想：1）化同侧为异侧（对称变换）,（2） 平移這距离（平移变换，（3） 化折线为直线（两点之间线段最矩）“将军枚问題主葵利用松造对称團形解决求两条线段和差、三角形周长、四辻形周长 等一类最值冋题，会与直线、角、三角形、四边形、园、葩物线竽囹形结合，在近
3、年的中 老和宛龚中经常出現，而R犬多以圧轴题的形式出现。【例题精讲】奕型一：网定点两劲点形成最短路径型例1如團1,已A（0, 2）、B 4）, E（a, 0）, F（a+15 OL求a为何值时，四边形 ARFF周V最小？ 青说冃贞里由【分析】匹边ABFE的四条边中，AB, EF的长皮固定，只要ABBF最小，则匹边形周长将 取得黒小值，将B点向左平移一个虫位长（EF的长廃）,律到点M,再作A关于;T轴囱对 称点屮,连按川N,可得点E的位罡，从而问题得解.类型二：两走点一定角形成最短路径型例2.如團，在NPCq!内却有两点听N,. Zmcp=Zscq.画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A,使点
4、A到点M和点N的距离和最小;在 射线OQ上取一点B,使点B到点H和点N的距离和最小；（2）直接写出AM+AN与+ BH的大小关系.Q【分析分别作JI关于射线OP的对称点Ir，点Ii关于射线CQ的对称点計,连接W 连接Jr N,即可得到笞案.【专题过关】1如厨，在四边形A丈D中.ZC=50 、ZB=ZD= 90 , E, 丁分别是BC, EC上的点，当A1F的咼K最小时,Zeaf的度数先 .2如国，正方形的ABCD的边长为6, E, F是对角线BD上的两个动点丄且 EF=22, i接CE, CF,则ACEF周长的最小值为 3在平面直角坐标系中，己知点A (-2, 0)，点B(0； 4，点E(0,
5、 1)，将AE0fi X轴向右平移得到Ay EZ OZ ,连接AZ B, BiZ ,则当AZ B+BE,取最小值时，点EZ的坐标为 4直线I外夸一点D,点D到亘软I的品E离为5,在ZXABC中，ZABC=9 ； AB=6,1tanZCA3=3,边AB冬宜线I上涓动，则匹边形ABCD周长的最小值为 .5.如图，已知直线I1/l2, IXX I2之间的距畫为8,点P到直线h的距离为6,点Q到直线b的距离为4, PQ-45U,在直线I】上有一动点A,直线H上有一动点、B,满足ABll2,且PA+AR4flO 最小,13寸 PA-WQ= .6如图，直线y=5x+5交X轴于点儿交y轴于点G过儿C两点的二
6、次国数y=亦十4z+c的图彖交；T轴于另一点公(1)二次函数的解析式为 ；(力连接BC, =线段厌上的动点，作购X轴交二次函数的團象干点、0,求奘段妙长度的最大值；若点为二次因数尸加十H卜C国象的顶点，点(4, Q罡该二次固数囹象上一点，在X紬，y轴上分别找点尺E,使四边形側的压长最小，求出点耳0的坐标7.矩形0A3C在直毎坐祈系中的：立1如图折示，AX C两点的坐标分别为A(6, 0)、3C (OI 3),直线V=L m与BC边相交于点D.(1)求点P的坐标；求3久的咼K；(3)设&(4, 一5)在该挖韧线上，Py轴上一动点，过点P作 沁EF于点也连接胪， 銘冋APPitG是否有最小值？如果
7、目 柬出点P的坐机 如果沒有，请说明理由.备用图10.已知，如画, y= e 2c- 3fl(ff )的同象的顶点、为，与尤轴交于儿y=-jc-j3两点(方左川点右侧，点从B关于直线i: 3 对称(1)求人E两点坐标，并迥月点/在直线/上； PQ4b PD-18/.DQ=JPQ： PDJ4476, Tab=PC电 AB PG/.ii形 ABe 杲平讦 PqW. p=bc,6.(l)y= 一 x2 + 4x + 5;(2)如图，图点E是二;欠的数的图家与对由的交点， 由二次因数的解护式为尸一 + 4才一5得，点E的坐标（5, 0）,询肓线解析式为y=, T肓线比过点拭5, 0）,处，5）,5 +
8、 b-0 ft-i,解得2 一 ，直线氏解析式龙y=-h5,b=5 b = 5设M的长为d, “点的横坐标为心则W点的坐标为（血-Z?+5）,/点的坐标为（Tb - M+ 4n+5），则 d= I -t + 4+5 - （-? + 5） | 左题竜可知：-h + 4n+5-n + 5j5 25 5.*.tf= + 4+5 （一?+5）= -斥+5/?= （?一 ）二+ :当 n= H寸，线段 M长2 4 2度的最Tdg是竺；4（3）v点M（4，励住抛物线 y=-r + 4+5. J=5, M4. 5） .拋物线y=-r + 4z+5=-（r-2）-+9, AJ点坐标为 M2, 9）,如图，作点
9、M2, 9）关于F轴的对称点加,则点H的坐标为冰-2, 9）;作点 M-b 5）关于r轴的对称点以,则点M的坐标为Jtfl（4, - 5）,连接岗關分别交工柚于 点C y轴丁点E, ：MM、十塚的长度罡四边形加W的晟小周长见点C戈印为所求 的点9=-2w+ 輕得-5 = 4w+n设直线M撇的国数輕祈式为尸加+r T直线鸟胎过点（一 2，9），溜一 5），3.7 13，JZ X十13 3 3T当时,尸自即址坐标为（。,和当尸冏尸知即点吐标为（字。.故所求点的坐标分别为吟 （。,邸.37.（I）由题知，直线尸.与为交于点D（X, 3）.3把尸3代入舟X中得，X=I, D （4.1 3； 抛物线y=
10、ax2+bx经过D （4s 3）、A （6l 0）两点，扌EXT 尸3; x=6, /=OI分别代入尸ax+x中，得3Q =8I 9 3 9b = = =OT4 抛物线的解析式为尸-8S4;fl6 + 4b = 3 36 +66= 0.腿得 如囹1：作D 4, 3）点关于对称轴=3的对称点匚 将G氏点坐标代入抛物线解析式尸-h + E+c得：( 心3fh= 2 解得c = 3. 別物线的解析式为：尸-疋+ 2疋+3;由得 y=-r+2x3,令 y=5 得一xc + 2r+3=0. 解得 = -l 忑=3/(一 1, O) , A3, 0) V7l C(FZZ 在Rt(T中，AC=JoA2 +
11、o=j. =w=3,Z?C=Z=45 Ht=Sf=RO AO RO 1團5 -353 - = 一一 VK则当P在处时，曼胪+倍+如最小， 毎巾点，坐标为0) 设直线府&的解析式为y=r+a,(k + - 5 将点G(Af 一5), (1, 0)分别代入,得 + o = 0.解得5 5 10 5 5.宜线川 &的解忻式为：z=-3x+3. j=2,得y=-3+3 = -3,5 5点的坐标为-了)符合題意的魚P的坐标为(0, -3).9.(1)依题亀 得 ay+2a-3a=0 (aO),解得 Xl=- 3，i：=bTB点在人点右J , .*.A坐标为(-3, 0)，B点坐机为(1)0)y=-xv3
12、证明：宜线X 3 ,y= (-3)+当-3时， 3 =0,二点A存貢线1上y卫“吕(2) B关于过A点的宜线1： 3 对称，.AH=AB=4.1过顶点H作HC丄AB交AB于C点，则人0=弘吕2HC=2 顶点 H(-l, M),代入二次困数鮭析式，解得Nhyy = 虽辰巫 二次国数解析式为 2 2 ；-5则BR4J：煤、H、B关于直线M对称，K（32j）,册购菸最小值是般过才作iWx于点惟点水关于直线皿的对称点Q连接 g 交宜絃 加于点爲JO=JP=25 ,则 站維,Q&肛2* , AELQK根抿两点N间线段最短得出附撤的最小值是BQ,即滋的长 JW+M+M的最小值,EKlIAHy . 厶炖=Q
13、tfSg0。.由勾脸走理得QB N +凶 R+(2+25/ 8 ,加斛酬的最小值为8.拥物线的解析式为 尸一 *一2小3=-（工+1）2 + 4,即顶点坐标为（I, 4）；（2）如解图，将坎点冋下平移两个单位，得DO、,连接砂交对称轴于点P，作SQRPD交对称轴于Q乩9：FOlIEDf 011 PDf /.四边形砂J是平行囚边形.二斫切,铝他=2；BQ七奇叭AmA由勾脸定理，得 AD= AOZ 0D=32 + IZ=0, EC=JoC： +0B：=J* 3：=T0四边形CBQF长的最小值为BC弋 Q PQ七PT=BC V R十 侦十PC) =Q 尺H AD = + 2 + rD=2ro+2.设
14、肋的劇析式为y=H+b,将/, 0点坐标代入得，-3*b = O解得卜=；.至的解析式为y=3r+.少八 U=I2 2当 =-l y=L 7(-1, 3).8由PQ=2f且G点纵坐标大于P点纵坐标得-1, 3),2 8故当四边形CBQP周长彊小时，点P的坐标为(-1,3),点的坐标为(一,3),四边形 CgQP周长的最小值是27，+21 1 8 - . 12+ (I) 2 世解得 砖亍 CQQOz=3-亍=3 佃=Qfrr丽= $ = 3 ,8 8 + 4I:AACR的周长为：+啟十=风+亍+ 丁= 3 ；V1 11解冈P取加中点川连接” &交直线亦的延壬线于点松过点方作 UP,丄y轴于点P 连接P.
