1、浙江专用高中数学第一章集合与函数概念新人教版必修1【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第一章 集合与函数概念 新人教版必修11.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义目标定位1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用.自 主 预 习1.元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合.(3)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(4)集合的相等：构成两集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的.2.元
2、素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，表示集合中的元素.(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合.3.元素与集合的关系(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA.(2)“不属于”：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA.4.常用数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或 NZQR温馨提示：注意正整数集比自然数集中少一个元素“0”.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.()(2)一个集
3、合可以表示成a，a，b，c，.()(3)若集合A是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则1和0都不是集合A中的元素.()提示(1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确.(2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错误.(3)集合中A只有元素1，2，3，4，5，6，没有1和0.正确.答案(1)(2)(3)2.下列各组对象：高中数学中所有难题；所有偶数；平面上到定点O距离等于5的点的全体；全体著名的数学家.其中能构成集合的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析、中的元素是确定的，能够构成集合，其余的
4、都不能构成集合.答案B3.下列关系正确的是()0N；Q；R；2Z.A. B. C. D.解析正确，0是自然数，0N；不正确，是无理数，Q；不正确，是实数，R；不正确，2是整数，2Z.答案D4.若1A，且集合A与集合B相等，则1_B(填“”“”).解析集合A与集合B相等，则A、B两集合的元素完全相同，又1A，故1B.答案类型一集合的含义【例1】 下列各组对象不能组成集合的是()A.著名的中国数学家B.北京四中2015级新生C.全体奇数D.2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目解析根据集合元素的确定性来判断是否能组成集合，因为B，C，D中所给的对象都是确定的，从而可以组成集合；而A中所给对象不确
5、定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能组成集合.答案A规律方法判断一组对象组成集合的依据及切入点(1)依据：元素的确定性是判断的依据.判断一组对象能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每个对象是否确定，如果考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合.(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.【训练1】 判断下列对象能否组成集合：(1)数学必修1课本中所有的难题；(2)本班16岁以下的同学；(3)方程x240在实数范围内的解；(4)的近似值的全体.解(1)中难题的标准不确定，不能组成集合.(2)本班16岁以下
6、的同学是确定的，明确的，能组成集合.(3)方程x240在实数范围内的解有两个，即2，故能组成一个集合.(4)“的近似值”不明确精确到哪一位，因此很难判定一个数(比如2)是不是它的近似值，故不能组成一个集合.类型二元素与集合的关系【例2】(1)(2016泰安高一检测)下列所给关系正确的个数是()R；Q；0N*；|4|N*.A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2016连云港高一检测)集中A中的元素x满足N，xN，则集合A中的元素为_.解析(1)由R(实数集)、Q(有理数集)、N*(正整数集)的含义知，正确，不正确.(2)由N，则6是3x的正整数倍，所以3x1，2，3，6.又xN，x0，1，2.答
7、案(1)C(2)0，1，2规律方法(1)判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“”与“”只表示元素与集合的关系.(2)判断元素与集合关系主要有两种方法：直接法(当集合中元素直接给出时)，推理法，对一些没有直接给出元素的集合，常用推理法判断元素是否具有集合中元素所具有的特征.【训练2】 设不等式2x30的解集为M，下列表示正确的是()A.0M，2M B.0M，2MC.0M，2M D.0M，2M解析因为20330.所以2是不等式2x30的解集中元素，2M.答案B类型三集合中元素的特性及应用(互动
8、探究)【例3】已知集合A中含有两个元素a1，a21，且0A，则实数a的值为_.思路探究探究点一a1，a21是A中的两个元素，揭示二者满足什么关系？提示根据集合元素的互异性，a1a21.探究点二0A，与A中的两元素a1，a21间有什么关系？提示根据元素与集合间的从属关系，应有a10或a210.解因为0A，所以0a1或0a21.当0a1时，a1，此时a210，A中元素重复，不符合题意.当a210时，a1，a1(舍)，所以a1.此时，A2，0，符合题意.答案1规律方法(1)由于A中含有两个元素，0A，本题以0是否等于a1为标准分类，从而做到不重不漏.(2)对于集合中元素含有参数的问题，要根据集合中元
9、素的确定性，解出参数的所有可能值或范围，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.【迁移探究1】(变换条件) 本例若将集合A中元素“a1”“a21”改为“a3和2a1”，“0A”改为“3A”，则实数a的取值是什么？解3A，3a3或32a1，若3a3，则a0.此时集合A含有两个元素3，1，符合题意.若32a1，则a1，此时集合A含有两个元素4，3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或1.【迁移探究2】(变换条件) 本例中，若去掉条件“0A”，其他条件不变，试求实数a的取值.解由集合元素的互异性，a1a21，所以a2a20，即(a2)(a1)0，因此a2且a1.课堂小结1.判断一组
10、对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足aA，要么满足aA，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.2.对符号和的两点说明(1)符号和刻画的是元素与集合之间的关系，不可表示元素与元素，集合与集合之间的关系.(2)和具有方向性，左边是元素，右边是集合.3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.1.下列各选项中的对象可组成一个集合的是()A.一切很大的数B.我校高一学生中的女生C.中国漂亮的工艺品D.美国NBA的篮球明星解析A、C、D中对象不具
11、有确定性，不能构成集合.答案B2.若以方程x22x30和x2x20的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析因为方程x22x30的解是x11，x23，方程x2x20的解是x31，x42.所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为1，2，3，共有3个元素.答案C3.已知集合A中只含有一个元素1，若|b|A，则b_.解析由题意可知|b|1，b1.答案14.已知集合M有两个元素3和a1，且4M，求实数a的值.解M中有两个元素，3和a1，且4M，4a1，解得a3.即实数a的值为3.基 础 过 关1.下列各对象可以组成集合的是()A.中国著名的科学家B.感动中国20
12、16十大人物C.高速公路上接近限速速度行驶的车辆D.中国最美的乡村解析看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B选项判断标准明确，可以构成集合.答案B2.由x2，2|x|组成一个集合A中含有两个元素，则实数x的取值可以是()A.0 B.2 C.8 D.2解析根据集合中元素的互异性，验证可知x的取值可以是8.答案C3.下列正确的命题的个数有()1N；N*；Q；2R；Z.A.1 B.2 C.3 D.4解析1是自然数，1N，故正确；不是正整数，N*，故不正确；是有理数，Q，故正确；2是实数，2R，所以不正确；2是整数，Z，故不正确.答案B4.方
13、程x23x40的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则ab_.解析方程x23x30的两根分别是1和4，由题意可知，ab3.答案35.(2016成都高一检测)已知集合P中元素x满足：xN，且2xa，又集合P中恰有三个元素，则整数a_.解析因为xN，且2x3与集合t|t3表示同一个集合.()(3)集合A(1，2)，(0，3)中共有4个元素.()提示(1)不能，因为花括号“”表示“所有、全部”的意思.(2)虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合.(3)集合A是由坐标平面上的点构成的集合，A中只有2个元素.答案(1)(2)(3)2.已知A
14、x|33x0，则有()A.3A B.1A C.0A D.1A解析Ax|33x0x|x0，y0，故第一象限的点组成的集合可表示为(x，y)|x0，y0.答案x0，y0类型一用列举法表示集合【例1】 用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x4)2(x2)0的根组成的集合；(3)一次函数yx1与yx的图象的交点组成的集合.解(1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为1，2，3，4，6，12；(2)方程(x4)2(x2)0的根是4，2，所求集合为4，2；(3)方程组的解是所求集合为.规律方法1.本例(2)在求解中易出现4，4，2的错误表示；本例(3)
15、在求解时易出现的错误.2.用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么.如本例(3)是点集(x，y)，而非数集x，y.【训练1】用列举法表示下列集合：(1)小于10的正偶数组成的集合；(2)方程x(x21)0的所有实数根组成的集合；(3)直线yx与y2x1的交点组成的集合.解(1)小于10的正偶数有2，4，6，8，所求集合为2，4，6，8.(2)方程x(x21)0的根为0，1，所求集合为0，1，1.(3)方程组的解是所求集合为(1，1).类型二用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)使y有意义的实数x的集合；(2)函数yax2bxc(a0)的图象上所有点的集合；(3)方程x2(m
16、2)xm10(mZ)的解集.解(1)要使y有意义，则x2x60，即x2且x3，故可写成xR|x2且x3.(2)易知集合可写成(x，y)|yax2bxc，a0，xR.(3)易知集合可写成x|x2(m2)xm10，mZ，xR.规律方法1.描述法表示集合的两个步骤：写出代表元素，明确代表元素含义，注意区别数集与点集.明确元素的特征，并将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面.2.描述法表示集合，注意三点：所有描述的内容都要写在花括号内.例如，xZ|x2k，kZ；不能出现未被说明的字母；在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围务必说明，如果省略不写，则默认xR.【训练2】 用描述法表示下列集合：(
17、1)满足不等式3x22x1的实数x组成的集合；(2)坐标平面上第一、三象限内点的集合；(3)所有正奇数组成的集合.解(1)x|3x22x1x|x1.(2)(x，y)|xy0，且x，yR.(3)x|x2k1，kN*.类型三集合表示方法的应用(互动探究)【例3】已知f(x)x2axb(a，bR)，AxR|f(x)x0，BxR|f(x)ax0，若A1，3，试用列举法表示集合B.思路探究探究点一如何利用条件首先确定函数f(x)的解析式？提示根据A1，3，进而由根与系数的关系确定f(x)x0中的a，b.探究点二怎样用列举法表示出集合B?提示解出方程f(x)ax0的实根，确定集合B.解f(x)x0，即x2
18、(a1)xb0，又集合A1，3，由根与系数的关系得所以所以f(x)x23x3.f(x)ax0，亦即x26x30，解得x32.因此Bx|x26x3032，32.规律方法1.(1)已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键.(2)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.2.对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素(或元素个数)，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题，但必要时要注意讨论.【训练3】 已知集合AxR|ax23x20，若集合A中有两个元素，求实数a取值范围的集合.解若A中有两个元素，则一元二次方程ax23x20有两个不等
19、的实根，所以解得a，且a0.因此实数a取值范围的集合为.课堂小结1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.1.集合x|3x3，xN用列举法表示应是()A.1，2，3 B.0，1，2，3
20、C.2，1，0，1，2 D.3，2，1，0，1，2，3解析由3x3，xN，x0，1，2，3，则B0，1，2，3.答案B2.集合(x，y)|y2x3表示()A.方程y2x3B.点(x，y)C.函数y2x3图象上的所有点组成的集合D.平面直角坐标系中的所有点组成的集合解析集合(x，y)|y2x3的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y2x3，因此集合表示的是满足关系式y2x1的点组成的集合.答案C3.设A4，a，B2，ab，若集合A与集合B相等，则ab_.解析由于4，a2，ab，所以a2且ab4，从而a2，且b2，所以ab4.答案44.用适当的方法表法下列集合：(1)已知集合Px|x2n，0
21、n2，且nN；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合.解(1)用列举法表示为P0，2，4.(2)可用列举法表示为6，9，12；也可用描述法表示为x|x3n，4x15，且nN.基 础 过 关1.方程组的解集是()A.x1，y1 B.1C.(1，1) D.(1，1)解析方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D不是集合的形式，排除D.答案C2.下列各组集合中，表示同一集合的是()A.M(3，2)，N(2，3)B.M3，2，N2，3C.M(x，y)|xy1，Ny|xy1D.M(3，2)，N3，2解析A中集合M，N表示的都是点集，而(3，2)与(2，3)是两不同的点，所以表示不同的集合；B中根据两集合相等的定义知表示同一集合；C中集
