1、近世代数习题解答张禾瑞二章近世代数习题解答第二章群论1群论1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群 ？证 不是一个群，因为不适合结合律.2.举一个有两个元的群的例子 .证 G=1,-1对于普通乘法来说是一个群 .3.证明，我们也可以用条件 1,2以及下面的条件4,5来作群的定义：4. G至少存在一个右单位元 e,能让ae = a 对于G的任何元a都成立5 . 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元 a ,能让 aa eA _1证(1) 一个右逆元一定是一个左逆元 ，意思是由aa e 得a a = e因为由4 G有元a能使aa =e1 1 1 所以(a a)e = (a a)(a a
2、 )即 a a = e(2)一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元，意即由 ae = a 得 ea = a即 ea = a这样就得到群的第二定义 .(3)证 ax二b可解取x = a这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到 4,5是不困难的.2单位元，逆元，消去律1.若群G的每一个元都适合方程 x2二e,那么G就是交换群.证 由条件知G中的任一元等于它的逆元 ，因此对a,bG有ab = (ab)，= ba，= ba .2.在一个有限群里阶大于 2的元的个数是偶数._1 n 1 n n 1 1证 (1)先证a的阶是n则a 的阶也是n . a e= (a ) (a ) e e若有m n 使(a )
3、m = e 即(am) = e因而 am=e am=e 这与a的阶是n矛盾a的阶等于a 的阶_4 _4 2(2)a的阶大于2,则a=a 若a=a : a=e 这与a的阶大于2矛盾(3)a b 贝U ab斗总起来可知阶大于 2的元a与 a双双岀现，因此有限群里阶大于 2的元的个数一定是偶数3.假定G是个数一个阶是偶数的有限群 ，在G里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知，有限群G里的元大于2的个数是偶数；因此阶2的元的个数仍是偶数，但阶是1的元只有单位元，所以阶 ax b,a,b是有理数，a = 0形式的变换作 成一个变换群.这个群是不是一个交换群 ？证(1) - : x ax bca,
4、cb d是有理数 ca尸0 ； 是关闭的.显然时候结合律a =1b =0则 ；:Xr X而.J .二.；所以构成变换群.又dXx 1故1 - 21因而不是交换群3.假定S是一个集合 A的所有变换作成的集合 ,我们暂时仍用旧符号 .:aa = .(a)来说明一个变换.证明，我们可以用.2： a“【.2(a) = j.2(a)来规定一个S的乘法，这个乘法也适合结合律,并且 对于这个乘法来说 ；还是S的单位元.证 彳： a. d(a)那么.2： a “ i .2(a) = i 2(a)显然也是A的一个变换.现在证这个乘法适合结合律 ：故 (12)3 =1(23)再证；还是S的单位元4 .证明一个变换
5、群的单位元一定是恒等变换证设；是是变换群G的单位元G , G是变换群，故.是变换，因此对集合A的任意元a，有A的元b ,；(a) ( (a) = ； (b) = (b) =a另证- (x) (x)根据1.7.习题3知t i(x) =x5.证明实数域上一切有逆的 n n矩阵乘法来说，作成一个群。证 G =实数域上一切有逆的 n n矩阵1 1A, B G 则B A是AB的逆从而 代B - G对矩阵乘法来说， G当然适合结合律且 E ( n阶的单位阵) 是G的单位元故 G作成群。6置换群1.找岀所有S3的不能和(撐)交换的元.这是难验证的.证S3不能和(撐)交换的元有(123),(；23),(；3)
6、解：S3的所有元用不相连的循环置换写岀来是(1), (12), (13), (23), (123), (132).证明：(1)两个不相连的循环置换可以交换i1i 2 ikik 1ik r imim 1 jn(i1 i2 ikik 2ik 3 ik 1im 1 * 丿 仏ik)=(ikiki1)证(1)(症ikXikJimimTJi1i2 ik ik 1ik 2im im L inI I . . . . . . . I炒3 Wk 2ik 3ik丽1in . .1*2 ikik 1i k 2 im im 1 ，n i1i2 ikik 1 imim 1 in乂 (ik 1ik 2 im)(i1i2
7、Ik丿= (i1iikik2ik3 ikm1 in 八i2i3Jikimim 1 in 丿=(iCC；m；mVinin),故(症匚小山十気)=山齐気)(応iQ(症 ik)(ikik-ii) =(h),故(施ik)丄h).3.证明一个K 一循环置换的阶是 K.证设兀=仏ik)=C；：.；)设 hk,那么二h =(.打)=(ijh 1 h 15. 证明Sn的每一个元都可以写成 (12),(13)/ ,(1 n)这n -1个2循环置换中的若干个乘积。证 根据2.6.定理2。 Sn的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积而我们又能证明同时有(iiij=(1ii)(1ii)(1ii),这样就得到所要
8、证明的结论。贝U 二 2 =(；匚卜)二 J (W )!3 ” “1 t X/7循环群1.证明一个循环群一定是交换群。证 G (a) am, an Gm n mn ：m n m贝 U a a a a a ar n2.假设群的元a的阶是n，证明a的阶是一这里d=(r,n)是r和n的最大公因子d证 因为(r, n) = d 所以r二dn ,n二小门“而(口，口)=13.假设a生成一个阶n是的循环群 G。证明ar也生成G，假如(r, n) = 1(这就是说r和n互素)证a生成一个阶n是的循环群 G，可得生成元a的阶是n，这样利用上题即得所证,或者，由于(r,n) =1有sr - tn =1a = a
9、 a a (a ) 即 a (a )故(a) =(a)r4假定G是循环群，并且 G与G同态，证明G也是循环群。证有2。4。定理1知G也是群，设 G 且(a a (是同态满射)b G则存在b G使(bb b =ak因而G s G_k _k故(ak) a 即(b)二ak因而b =a 即?=(?)5 假设G是无限阶的循环群， G是任何循环群，证明 G与G同态。证i)设G是无限阶的循环群，- - -TG =(a) 令(a )二a且(as a ) = a a a 二(as) (a )所以G s Gii)设G =(a)而a的阶是n。令* : a a 当且只当h|二nqi & ,0 _ ki n易 知-：是
10、G到G的一个满射设 k1 k2 = nq k 则 h h2 = n(qq2) K k2 = n(q1 q2 q) k_k _q _k 4q _ktk2 _k2那么 ahlah2； a a a a a aG s G8子群1 找岀S3的所有子群证 S3= (1),(12),(13),(23),(123),(132)的子群一定包含单位元 (1)。i)S3本身及只有单位元(1)都是子群2ii) 包含(1)和一个2 一循环的集合一定是子群因 (1)(ij) = (ij), (ij) (1)H2= (1),(12), H3 = (1),(13), 出=(1),(23)亦为三个子群iii)包含(1)及两个3
11、循环置换的集合是一个子群2(ijk) =(ijk), (ijk)(ikj) =(1)出= (1),(123),(132)是子群，S有以上 6 个子群，今证只有这6个子群，iv) 包含(1)及两个或三个2循环置换的集合不是子群因 (ij)(ik) = (ijk)不属于此集合v )若一集合中3循环置换只有一个岀现一定不是子群因(ijk)2 =(ikj)Vi) 一个集合若岀现两个 3循环置换及一个2 循环置换不是子群因(ij)(ijk)=(ik)耐)3循环置换及2循环置换都只有两个岀现的集合不是子群因若(ij),(ik)岀现 则(ij )(ijk0 =( jk)故S3有且只有6个子群。2.证明；群G
12、的两个子群的交集也是 G的子群。证H 1,H 2是G的两个子群，H = H丄H 2H显然非空 a,bH 则a,bH1 同时a,b，H2因H1,H2是子群，故ab e H1，同时abw H2所以 ab 4 H1 H2 = H故H是G的子群3取S3的子集S =(12),(123)，S生成的子群包含哪些个元？ 一个群的两个不同的子集不会生成相同 的子群？证(12)2 =(1) S (12)(132)=(23) S 从而 S=S3群的两个不同的子集会生成相同的子群S =(123) 3生成的子群为(1),(123),(132)S2 二(132) S2生成的子群为 (1),(123),(132)4证明，循
13、环群的子群也是循环群。证G= ( a)是循环群，H是G的子群设 a H，而 o h k 时 ak f H。任意b三H 则b三G因而b=am m = kqr 0三rkkq 因amH , a =(ak)q所以H =(ak)是循环群.5.找岀模12的剩余类加群的所有子群证剩余类加群是循环群故其子群是循环群 .G=0,1,11(i ) (1) =(5) =(7) =(11)二G(丘)比=(0)(蚯)(2) =(10)即 H2 = 0,2,4,6,8,10(iv) (3) =(9)即 H3 二0,3,69(v ) (4) =(8)即 H4 = 0,4,8(vi) (6) 即 H5 = 0,6H作成子群的
14、充要条有且只有以上6个子群.6.假定H是群G的一个非空子集，并且H的每一个元的阶都有限，证明件：a,b H推岀abH证必要性显然充分性a, b H推岀ab H ,(*)所以只证a H推岀即可.a 二H , a的阶有限 设为mam=e 即 aam=e所以a二am由(*)可知amJ H ,因而a J H这样H作成G的子群.9子群的陪群1.证明阶是素数的群一定是循环群证：设群G的阶是素数P,则可找到a G而a = e,则a的阶p,根据2.9.定理3知n p,但p是素数做，n = p0 12 p 1那么a ,a ,a ap是G的P个不同元，所以恰是P的不同元做n二p.2.证明阶是pm的群(p是素数)一
15、定包含一个阶是 p的子群.证：设阶是pm的群为G , m是正整数,可取a G ,而a = e,n丄根据2.9.定理3, a的阶是pn而n二m,进一步可得ap的阶为p.pn-L .H =(ap )是阶为p的G的子群.3.假定a和b是一个群G的两个元，并且ab =ba,又假定a的阶是m ,b的阶n是并且(mn )=1证明：ab的阶是 mn证 丁 am =e,bn =e二(ab)mn = amnbmn = e.设(ab)r =e.mr mn mr mr则(ab) =a b =b =e= nmr,(m,n) =1故nr. (ab)nr =anrbnr =e二 mnr,(m,n) = 1故 mr 又(m
16、,n) =1 . mnr因此ab的阶是mn.4.假定是一个群 G的元间的一个等价关系 ，并且对于 G的任意三个元 a, x,x来说，ax - ax= x - x证明与G的单位元e等价的元所作成的集合为 H证 由于是等价关系，故有e e即e H .a,b* H 则a e,b e因而aeaabe bb J由题设可得eaJ,ebJ由对称律及推移律得 ba再由题设得abJ e即 abJ H这就证明了 H是G的一个子群.5.我们直接下右陪集 Ha的定义如下：Ha刚好包含G的可以写成G的每一个元属于而且只属于一个右陪集证任取a G则a = ea Ha这就是说，G的每一个元的确属于一个右陪集若 x Ha,x
17、 Hb 则 x=hia,x = h2b.则 ga =h2b,因而 a = h/h2b,b = hzhQ- Ha 二 Hb,Hb 二 Ha 故 Ha=Hb这就证明了，G的每一个元只属于一个右陪集 .6.若我们把同构的群看成是一样的 ，一共只存在两个阶是 4的群，它们都是交换群.证 设G是阶为4的群.那么G的元的阶只能是1,2,4.1 若G有一个元的阶为4 ,则G为循环群；2.若G有一个元的阶为 2,则除单位元外，其他二元的阶亦均未 2.就同构的观点看阶为4的群，只有两个；由下表看岀这样的群的确存在.循环群0 12300 12311 23022 30133 012非循环群循环群是交换群，由乘法表看
18、出是交换群eab c10不变子群、商群eeabc1. 假定群G的不变子群 N的阶是2,证明,G的中心包含 Naaecb证设 N = e,nbbceaN是不变子群，对于任意a G有ccbae若an a1=e 贝 y an=a ， n=e 矛盾a nn则an=na即n是中心元.又 e是中心元显然故G的中心包含N2.证明,两个不变子群的交集还是不变子群令证N =Ni 2 ,则N是G的子群.n N= n N1 及 n N2 , ana N1,ana N2二 ana N故N是不变子群.3.证明：指数是2的子群一定是不变子群.证设群H的指数是2则H的右陪集为He, HaH的左陪集为eH, aH由 He H
19、a =eH aH 易知 Ha = aH因此不论x是否属于H均有Hx = xH4.假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明HN是G的子群。证任取 HN ,h2n2 HN至于HN非空是显然的!HN是G的子群.5.列举证明,G的不变子群 N的不变子群1未必是G的不变子群（取G=!）证取G = S4易知N是G的子群，N1是N的子群我们说N是G的不变子群，这是因为此即说明 an a4 N,a G, n N.因为N是阶为4的群,所以为交换群，故其子群Nj是不变子群.但Ni却不是G的不变子群 原因是：6.一个群G的可以写成a4b4ab!形式的元叫做换位子.证明：i） 所有的有限个换位子的乘积作成的集合 C是
20、G的一个不变子群；ii） G/C是交换群；iii） 若N是G的一个不变子群，并且G/N是交换群，那么N二C证i） e显然是有限个换位子的乘积 ；e e 4ee 故 e C(有限个换位子的乘积)(有限个换位子的乘积)=有限个换位子的乘积，故C对G的乘法是闭的.由于abab =babai是换位子，故(有限个换位子的乘积 )的逆仍为(有限个换位子的乘积 )即 有c=C,故C是子群；由 gcg J C 有 gcg，cJ c C即gcg J C 所以C是不变子群.(ii)x、y G C Cx y xy = c 就有 xy = yxc故 xy ：二 yxC 1因而 xyC = yxC即(xC)(yC) =
21、(yC)(xC)所以G n是交换子群；(iii)因G/N是交换子群就有(xN)(yN) =(yN)(xN)因此 xyxyN又由于N是子群,所以N包含有限个换位子的乘积，即N -C11同态与不变子群1. 我们看一个集合 A到集合A的满射,证明，若S是S的逆象，S一定是S的象;但若S的S的象，S不 定是S的逆象.证i )在之下的象一定是 S；若有S的元s在 之下的象s S,则s有两个不同的象 做矛盾又S的逆象是S两者合起来，即得所证ii )设 A 二1,2,3,4,5,6, A =1,2令 S =1,3在之下S =1但S的逆象是1,3,52.假定群G与群G同态,N是G的一个不变子群，N是N的逆象.
22、证明：证设 : x x是G到G卫勺同态满射；2: x x N是G到G _的同态满射.规定:x x N ( (x)二 x, N(x)二 xN )则 是G到G _的同态满射.事实上，：y y N ( (y)二 y, 2( y)二 y N )贝U 1 (x y)二(x) 1( y) = x y故:x y x N y N这就是说，G G _现在证明同态满射N的核是nx N 则 l(x) =x由于N是N的逆象 故 1 (x) = x因而 2(x) = x N = N另一方面，若 x三N则x N (N是N的逆象)根据2.1 1定理2.3.假定G和G是两个有限循环群，它们的阶各是 m和n证明G与G同态，当而且只当n m的时候 证(i) G N令N为同态满射的核心，G N的阶一定整除 G的阶但G N三G故 G的阶一定整除G的阶.即n m.(ii) n m.=设 G = (a), G = (a)令：a ； a (i = nq r,0 乞 r n)在 下 a1a (i = nq1 1,0 ” n)而 A q 二 nq r (0 汀 n)即G G4.假定G是一个循环群，N是G的一个子群，.证明，G N也是循环群.证设G =(a)b G 则 b = am另证 G是循环群，由2.10.习题1知：G是交换群，又由!.例3知N是G是一个不变子群，由这一节定理1得再由2.7.习题4知G N是循环群.
