1、大学生高等数学竞赛试题汇总与答案前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。 ）2009-2010 年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题 5 分）y(x y) ln(1 )x1计算 x yd dD1 x y16/15，其中区域 D 由直线 x y 1与两坐标轴所围成三角形区域 .0 1解: 令x y u, x v，则 x v, y u v ， x y d udv dudv d d det ，1 1102u1udu（* ）令t 1 u ，则u 1 t2du 2tdt ，2 1 2t
2、 2 t42 t tu ，u(1 u) t (1 )(1 ) ，2 设 f (x) 是 连 续 函 数 ， 且 满 足2f 2 ( )d 2 , 则( x) 3x f x x0f _.(x)解: 令22 AA ，则 f ( ) 3 2 ，f (x)dx x x022 , A ( 3x A 2)dx 8 2( A 2) 4 2A0解得4A 。因此3102f (x) 3x 。32x3 曲 面 22z y 平 行 平 面 2x 2y z 0 的 切平 面 方 程 是2_.解 : 因 平 面 2x 2y z 0 的 法 向 量 为 ( 2,2, 1) ， 而 曲 面2x2z y 2 在 (x0, y0
3、 ) 处 的 法 向 量 为2(zx (x0, y0 ), zy ( x0 , y0 ), 1) ，故(zx (x0 , y0 ), zy (x0 , y0 ), 1) 与(2,2, 1) 平行 ， 因 此 ， 由 zx x ， zy 2y 知2 zx (x0 , y ) x ,2 zy (x , y ) 2y ，0 0 0 0 0即x0 2, y0 1，又z( x0 , y0) z(2,1) 5 ，于是曲面 2x 2y z 0在 ( x0 , y0 , z(x0, y0 ) 处 的 切 平 面 方 程 是2x22 x y z ，即曲面 z 2 平行平面( 2) 2( 1) ( 5) 0 y2
4、2x 2y z 0 的切平面方程是 2x 2y z 1 0 。4设函数 y y( x) 由方程 ln 29xe 确定，其中 f 具有二阶导数，f ( y ) ey且 f 1，则2dy _.2dx解: 方程 f e ln 29( y) yxe 的两边对 x 求导，得因1 ，即y xef ( y)e ln 29 ，故 f ( y) y yx1y ，因此 x(1 f ( y)x 2xe elim (x 0 nnxe)ex二、（5 分）求极限 ，其中 n 是给定的正整数 .解: 因故因此三、（15 分）设函数 f ( x) 连续，1f (x)g(x) f ( xt)dt ，且lim A0 x 0x，A
5、 为常数，求 g (x) 并讨论 g (x) 在x 0处的连续性 .f (x)解 : 由 Alimx 0x和 函 数 f (x) 连 续 知 ，f (0)f (x)lim f (x) lim x limx x 0 x 00 x0因1 1g ，故 g( 0) (0)d (0) 0，(x) f ( xt)dt f t f0 0因此，当 x 0 时，g1x(x) f (u )du ，故x0当x 0 时，g (x)1 x f (x)2 ，f (u )dux x0这表明 g (x) 在x 0处连续.四、（15 分）已知平面区域 D ( x, y) | 0 x , 0 y ，L 为D 的正向边界，试证：（
6、1）sin y y ye x x xe y yesin x x；sin sin yxe d d d dL L（2）L5xesin .d dy y ye xsin y 22证: 因被积函数的偏导数连续在 D 上连续，故由格林公式知（1） ye x ysin yd sin d ( ) ( ) d dx sin y sin xxe y ye x xex y L D而D 关于 x和 y 是对称的，即知因此（2）因故由知即Lsinxey y ye xsin yd d522五、（10 分）已知x e2xy1 xe ，y2 x e x ， xey2 x e x ，x e2 x e x3 是某二y xe阶常系
7、数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程 .解设x e2xy1 xe ，x e xy2 xe ，x e2x e xy3 xe 是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则x e2x2 和1y y exy3 y1 e 都是二阶常系数线性齐次微分方程的 解 ， 因 此 y by cy 0 的 特 征 多 项 式是 ( 2)( 1) 0 ， 而y by cy 0的特征多项式是因 此 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 为 y y 2y 0 ， 由y1 y 2y1 f (x) 和1x xe ex 2xy1 e 2 ，x xe e2xxy1 2e 4知， f (x) y1 y1 2y1
8、 x 2e 4e2x ( xex ex 2e x ) 2( xex e x )x 2 2xe二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10 分）设抛物线 y ax2 bx 2 ln c 过原点. 当0 x 1时, y 0 , 又已知该抛物线与 x 轴及直线 x 1所围图形的面积为1 . 试确定 a,b, c, 使3此图形绕 x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小 . 2 过原点，故 c 1，于是解因抛物线 y ax bx 2ln c即而此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积即令 2 1 8V (a) a (1 2a) (1 a) 0， 5 3 27得即因此 5a , 43b , c 1.2n n ,
9、 且n1ex n七、（15 分）已知 u ( x)n 满足 u (x) u (x) x ( 1, 2, ) eun (1) , n求函数项级数u 之和.n (x)n 1解n 1 xun (x) u (x) x e ，n即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由 (1) ( 1)eun e C 知，C 0，n n于是下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令x 0，得0 S(0) C ，因此级数 un (x)的和n 1八、（10 分）求 x 1 时, 与2x 等价的无穷大量 .nn 0解令2tf ，则因当 0 x 1，t (0, ) 时，(t) x2tf t tx x ，( ) 2 l
10、n 0故f12t ln2t e(t) x 在(0, ) 上严格单调减。因此x即f t t f n f t t ， ( )d ( ) 1 ( )d0 0 n 0又2f n x ，( )nn 0 n 0f (t )dt0 0121 1t ln2 2t ，tx t x dtd e e dt0 201 1ln lnx x所以，当 x 1 时, 与n 02nx 等价的无穷大量是121x。2010-2012 年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。 ）一、（25 分，每小题 5 分）（1）设n2 2x
11、(1 a)(1 a ) (1 a ), 其中| a | 1,求lim xn.nn（2）求xlim e 1x1x2x。（3）设s 0，求sx nI e x dx n 。( 1,2, )0（4 ）设函数 f (t) 有二阶连续导数，2 2 1r x y , g(x, y) f r，求2 2g g2 2x y。（5）求直线l1:x yz 00 x 2 y 1 z 3与直线 l2 : 的距离。 4 2 1解：（1）nx a a2 a2 =(1 )(1 ) (1 )nn2 2x (1 a)(1 a)(1 a ) (1 a ) / (1 a)nn n 1 = a2 a2 a2 a = =2(1 )(1 )
12、 (1 ) / (1 ) (1 a ) / (1 a)(2)2x1 12 21x xln e (1 ) x ln(1 ) xx x xlim e 1 lim e lim exx x x令 x=1/t, 则原式=(ln(1 t) t) 1/(1 t) 1 1 122(1 t ) t 2t 2lim e lim e lim e e t 0 t 0 t 0（3）1 1sx n n sx n sx sx nI e x dx ( ) x de ( ) x e | e dx n 00 0 0s sn n n(n 1) n! n!sx n 1e x dx I I In 1 2 n 2 n 0 n 1s s
13、s s s0二、（15 分）设函数 f (x) 在( , ) 上具有二阶导数，并且f (x) 0, lim f ( x) 0, lim f ( x) 0, 且存在一点 x0 ，使得 f ( x0 ) 0。x x证明：方程 f ( x) 0 在( , ) 恰有两个实根。解：二阶导数为正，则一阶导数单增， f(x) 先减后增，因为 f(x) 有小于 0 的值，所以只需在两边找两大于 0 的值。将 f(x) 二阶泰勒展开：因为二阶倒数大于 0，所以lim ( )f x ， lim f (x) x x证明完成。2x 2t t三、（15 分）设函数 y f (x) 由参数方程(t 1) 所确定，其中 y
14、 (t)(t) 具有二阶导数， 曲线 y (t)与2t2uy e du132e在t 1出相切， 求函数 (t) 。解：（这儿少了一个条件2d y2dx）由 y (t)与2t u2y e du132e在t 1出相切得(1)32e， 2(1)e2d y2dxd(dy / dx) d (dy / dx) / dt( )(2 t 2t) 2 (t)( )(2 3dx dx/ dt (2 2t)=。上式可以得到一个微分方程，求解即可。四、（15 分）设na 0, S a ,证明：n n kk 1（1）当 1时，级数anSn n1收敛；（2）当 1且 ( )s n 时，级数nanSn n1发散。解：（1）
15、a 0,ns 单调递增n当n 1a 收敛时，na an ns sn 1，而ans1收敛，所以ansn收敛；当n 1a 发散时， limnnsn所以，a a dx a dxs sn nn 1 1s s x s xs sn 1 1n 1 n 1 n 2 1而1 1 1dx a s s a ssn1 n 1 1 1lims x s n 1 s 111 1k，收敛于 k。所以，ansn 1 n收敛。（2） limnsnk1所以a 发散，所以存在 k ，使得n 1n 1n 2a an 1k1于是，ak k n1 1a an n 2s s s2 n 2 n k112依此类推，可得存在1 k k .1 2使
16、得ki1 a 1n2sk ni成立，所以kN1ansnN12当n 时，N ，所以ansn n1发散五、（15 分）设l 是过原点、方向为 ( , , ) ，（其中2 2 2 1) 的直线，均匀椭球2 2 2x y z2 2 2 1a b c，其中（ 0 c b a,密度为 1）绕l 旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向 ( , , ) 的最大值和最小值。解：（1）椭球上一点 P(x,y,z) 到直线的距离由轮换对称性，（2） a b c当 1时，42 2I abc (a b )max15当 1时，42 2I abc (b c )min15六、(15 分) 设函数 (x) 具有连
17、续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 C 上，曲线积分c2 xydx ( x) dy4 2x y的值为常数。（1）设L 为正向闭曲线2 2(x 2) y 1,证明c2xydx ( x)dy4 2x y0;（2）求函数 (x) ；（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求c2xydx ( x)dy4 2x y。解：（1）L 不绕原点，在 L 上取两点 A，B，将 L 分为两段L ，L2 ，再从1A，B作一曲线L ，使之包围原点。3则有（2）令2xy (x)P , Q4 2 4 2x y x y Q P由（1）知 0 x y，代入可得上式将两边看做 y 的多项式，整理得由此可得解得：2(
18、x) x（3）取L 为4 2 4x y ，方向为顺时针2011-2012 年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。 ）一 计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）1（1）. 求limx 0sinxx1 cos x；解：（用两个重要极限） ：（2）. 求1 1 1lim .n n 1 n 2 n n；解：( 用欧拉公式）令xn1 1 1.n 1 n 2 n n其中，o 1 表示n 时的无穷小量，（3）已知2tx ln 1 ety t arctane，求2d y2dx。解
19、：te12t t 2t 2t tdx e dy e dy e e e2 , 1 1 12t 2t 2t 2tdt 1 e dt 1 e dx 2e 2e12te二（本题 10 分）求方程 2x y 4 dx x y 1 dy 0的通解 。解：设 P 2x y 4,Q x y 1，则 Pdx Qdy 0P Qy x1, Pdx Qdy 0 是 一 个 全 微 分 方 程 ， 设dz Pdx QdyP Qy x,该曲线积分与路径无关三（本题 15 分）设函数 f(x) 在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 f 0 , f 0 , f 0 均不为 0，证明：存在唯一一组实数k k k ，1,
20、2 , 3使得k f h k f 2h k f 3h f 01 2 3lim 02hh 0。证 明 ： 由 极 限 的 存 在 性 ：lim k f h k f 2h k f 3h f 0 01 2 3h 0即k1 k2 k3 1 f 0 0，又 f 0 0， k1 k2 k3 1由洛比达法则得由极限的存在性得 lim k f h 2k f 2h 3k f 3h 01 2 3h 0即k1 2k2 3k3 f 0 0 ，又f ， 0 0 0 0k k k 1 2 2 3 3 0再次使用洛比达法则得k1 4k2 9k3 0k k k1 2 31由得k1,k2 ,k3 是齐次线性方程组k 2k 3k
21、 01 2 3k 4k 9k 01 2 3的解1 1 1 k 11设A 1 2 3 , x k ,b 02，则 Ax b，1 4 9 k 031 1 1 1 1 0 0 3增 广 矩 阵*A 1 2 3 0 0 1 0 3 ， 则1 4 9 0 0 0 1 1R A,b R A 3所以，方程 Ax b有唯一解，即存在唯一一组实数k k k 满足题意，1, 2 , 3且k1 3,k2 3,k3 1。四（本题 17 分）设2 2 2x y z1 : 2 2 2 1a b c，其中 a b c 0 ，2 2 22 : z x y ， 为1 与 2 的交线， 求椭球面 1 在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。解：设 上任一点 M x, y,z ，令2 2 2x y zF x, y, z 1，2 2 2a b c则2x 2y 2z F ,F , F ,x 2 y 2 z 2a b c椭球面1 在 上点 M 处的法向量
