1、高中数学常用公式大全高中数学常用公式大全1.元素与集合的关系x A xCuA,xCuA xA.2.德摩根公式Cu(AI B) Cu AUCUB;CU(AU B) Cu AI Cu B .3集合a1,a2,L ,an的子集个数共有2n个；真子集有2n - 1个；非空子集有2n - 1个；非空的真子集有2n - 2个.4.二次函数的解析式的三种形式2(1) 一般式 f(x) ax bx c(a 0); 顶点式 f (x) a(x h)2 k(a 0); 零点式 f(x) a(x xj(x x2)(a 0).6.闭区间上的二次函数的最值7.真值表pq非pp或qp且q真真假真真真:假假真假假真真真假假
2、假真假假8.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(n 1 )个小于不小于至多有n个至少有(n 1 )个对所有X， 成立存在某X ，不成立p或qp且q对任何X，不成立存在某X ， 成立p且qp或 q9.四种命题的相互关系(1)充分条件：若(2)必要条件：若q(3)充要条件：若p10.充要条件p q，则p是q充分条件p，则p是q必要条件q，且q p，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然11.函数的单调性设 x-i x2 a,b , x1 x2 那么(X1 X2) f(xj f
3、(X2) 0f(X1) f(X2)X-I x2f(x)在a,b上是增函数;(X1 X2) f (X1) f (X2) 0f(xj f(X2)0 f (x)在a,b上是减函数f(x)为减函数.12.如果函数f (x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内,和函数f (x) g(x)也是减函数；如果函数y f (u)和u g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y fg(x)是增函数13 奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 14.两个函数图象的对称性y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点 y轴对称，那么这个
4、函数是偶函数.(1)函数y f(x)与函数y f( x)的图象关于直线x 0(即y轴)对称.(2)同底的指数和对数函数互为反函数，图像关于直线y=x对称。15.几个函数方程的周期(约定a0)f(x)f(xa)，则f (x)的周期T=a；16.分数指数幕_1_n ma0,m, n N，且 nm( aan17.根式的性质0,m, n N，且 n(1) (n、a)n a.(2 )当n为奇数时,n an a ； 当n为偶数时,a, a 0|a| a, a 018 有理指数幕的运算性质(1)ar as ar s(a 0, r, s Q).(ar)s ars(a 0,r,s Q).(ab)r arbr(a
5、 0,b 0, r Q).注：理数指数幕都适用.19.指数式与对数式的互化式loga N b ab N (a 0,a 1,N 0)20.对数的换底公式log m N r rloga N ( a 0,且a 1, m 0,且 m 1, N 0).logma推论 logambn log a b ( a 0,且 a 1, m, n 0 ,且 m 1, n 1, Nm21 对数的四则运算法则若 a0, 1, M0, N0,贝U (1) loga(MN) loga M loga N ；M loga logaM loga N ； N loga M n nloga M (n R).22.数列的同项公式与前 n
6、项的和的关系nq,q 125.同角三角函数的基本关系式2 2 sinsin cos 1， tan = ，cos27.正弦、余弦的诱导公式： 奇变偶不变，符号看象限。28.和角与差角公式sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos msin sintan( )tan tan1 mta n tana sinbcos = 、a2b2 sin( )（辅助角所在象限由点（a,b）的象限决定,tan -)a29.二倍角公式sin 2sin cos .cos22 2 cos sin2cos2 1 12sin2 .tan 22ta n函数ysin( x),x R及函数ycos(
7、x),x R(A, 3 , 为常数，且 AM 0,3 0)的周期T2;函数ytan( x),x k2,kZ (A, 3 ,为常数，且Am 0,3 0）的周期T .31.正弦定理 ab c2R.32.余弦定理sin A sin B sin C33.面积定理1 tan230.三角函数的周期公式sin C=si n(A+B),cosC=-cos(A+B),ta nC=-ta n(A+B)35.实数与向量的积的运算律设入、为实数，那么（1） 结合律：入（1 a）=（入口 ）a;（2） 第一分配律：（入+ i ）a=入a+i a;（3） 第二分配律：入（a+b）=入a+入b.36.向量的数量积的运算律：
8、a b= b a (交换律)；(2)( a) b= ( a b) = a b= a ( b);(3)(a+b) c= a c + b c.37.平面向量基本定理如果ei、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实 数入1、入2,使得a=入iei +入2e2.不共线的向量ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.38.向量平行的坐标表示设 a=(xi, yi) ,b=(X2, y2)，且 b 0，则 aPb(b 0) x?% 0.39.a与b的数量积(或内积)a b=|a|b|cos 0.40.a b的几何意义数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方
9、向上的投影|b|cos 0的乘积.41.平面向量的坐标运算(1)设 a=(Xi, yi) ,b=(X2, y2)，则 a+b=(Xi x?, % y?). 设 a=(xi, yi) ,b=(X2, y2)，则 a-b= (Xi x?, y y?).UJU UJU uuu(3) 设 A(Xi,yi) , B(X2,y2),则 AB OB OA (x2 x,y2 yi). 设 a=(x, y), R，则 a=( x, y).(5)设 a=(xi, yi) ,b= (x?, y?)，则 a b=(XiX? y).42.两向量的夹角公式MX? Xi)2 (y? yi)2 (A (Xi, yi) , B
10、(X2,y2).44.向量的平行与垂直设 a=(Xi, yi) ,b= (X2, y?)，且 b 0,则A|b b a xi y2 x2yi 0.a b(a 0) a b=0 x1x2 y1 y2 0.45.三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为 A(x1,y 1)、B(x2,y2)、C(x3,y 3),则厶ABC的重心的坐标是uuu 2uuu 2 uuur2(1) 0为ABC的外心0A0B 0Cuuuuuu uuir r(2) 0为ABC的重心0A0B 0C 0uuuuuu uuu uur(3) 0为ABC的垂心0A0B 0B 0Cuuuuuu uuir(4) 0为ABC的内心a0
11、Ab0B c0C设0为 ABC所在平面上一点，角uuir uuu OC OA.47.常用不等式:0.代B,C所对边长分别为a,b,c，则(4) 48.均值定理已知x,y都是正数，则有2 2b 4ac 0)，如果 a 与 ax bx c 同则其解集在两根之间.简言之：同号两根之1(2)若和x y是定值s，则当x y时积xy有最大值一s2.449. 一元二次不等式 ax2 bx c 0(或 0) (a 0,号，则其解集在两根之外；如果 a与ax2 bx c异号，外，异号两根之间.(x Xj(x X2) 0(为 X2)；x x1,或 x x2 (x x1)(x x2) 0(论 x2).af(x) a
12、g(x) f(x) g(x)；k 亚y1 ( R(X1,yJ、P2(X2,y2) x2 为53.直线的五种方程（1）点斜式yy1k(xxj （直线l过点P|（X1, yj，且斜率为k ） （2）斜截式ykxb (b为直线1在y轴上的截距）.（3）两点式yy1x(y1 y2)( R(x1,yJ、卩2化，丫2)(为 x?)y2yxx150.含有绝对值的不等式当a 0时，有22xa xaa x a .x2a x2 ax a或xa51.指数不等式与对数不等式(1)当a 1时,54.两条直线的平行和垂直 右 1 ： y k x b|, I2 y k? x b?1IjJ k, k2,b! b2；2I, I
13、? kik? 1. 若 h：A,x B,y G 0, l2: A2x B2y C2 0,且 A、A B、R 都不为零，1|h JAL B1 C1 ；111 2 A B2 C2 ；2li I? A1A2 B1B2 0;55.四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点 P0(xo, yo)的直线系方程为y yo k(x x)(除直线x x。)，其中k是待定的系数；经过定点P0(x0, y0)的直线系方程为 A(x x0) B(y y0) 0,其中A,B是 待定的系数. 共点直线系方程：经过两直线h：A,x B1y C1 0, I?: A?x B?y C? 0的交点的直线系方 程为(A1X B
14、1y C1) (A?x B?y C?) 0(除I?)，其中入是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线 y kx b中当斜率k 一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线Ax By C 0平行的直线系方程是 Ax By 0( 0)，入是参变量.垂直直线系方程：与直线Ax By C 0 (A工0,Bm0)垂直的直线系方程是 Bx Ay 0, 入是参变量.56.点到直线的距离| Ax0 By0 C | .d 0=2“？(点 P(X0,y。)，直线 I : Ax By C 0 ).A B57.Ax By C 0或 0所表示的平面区域设直线I : Ax By C 0，则Ax By C 0或 0所表示的平面
15、区域是：若B 0,当B与Ax By C同号时，表示直线I的上方的区域；当B与Ax By C异号时,表示直线I的下方的区域简言之，同号在上，异号在下若B 0,当A与Ax By C同号时，表示直线I的右方的区域；当 A与Ax By表示直线I的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.58. （Aix Biy C1XA2X B2y C2） 0或 0所表示的平面区域C异号时,设曲线C :(A1x B1yC1)( A2x B2y C2) 0 ( A1A2B1B2(AxBiyCi)( A2xB?yC2 )0或0所表示的平面区域是：(AxBiyCi)( A2xB?yC2 )0所表示的平面区域上下两部分；(Ax
16、BiyCi)( A2xB?yC2 )0所表示的平面区域上下两部分59.圆的四种方程（1）圆的标准方程 （xa)2(yb)22 r .（2）圆的般方程 x2yDxEyF 0( D2 E2 4F 0)0），则60.点与圆的位置关系2 2点 P(x,y)与圆(x a) (y b)2r的位置关系有三种若 d . (a x)2 (b y。)2，则d r 点P在圆外；d r61.直线与圆的位置关系点P在圆上；d r点P在圆内.直线Ax By C0与圆(x a)2 (y b)22r的位置关系有三种dr相离0；dr相切0;dr相交0.其中dAa Bb CA2 B262.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为
17、O，Q，半径分别为ri，2，O1O2 dd r1 r2 外离 4条公切线d r1 r2 外切 3条公切线ri a d相交 2条公切线d ri D 内切 1条公切线；0 d r1 r2 内含 无公切线.63.椭圆的标准方程及简单的几何性质64.椭圆的的内外部65.双曲线的内外部(1)点P(xo,yo)在双曲线2y1(a0,b 0)的内部点P(x,y)在双曲线2 y b21(a0,b 0)的外部66.双曲线的方程与渐近线方程的关系2(1 )若双曲线方程为笃a渐近线方程:2 x 2 a2.2ab22x0y2.2ab0y1.22 x2X。若渐近线方程为双曲线可设为2 y b22若双曲线与a2y_b21
18、有公共渐近线，可设为2x2a2 y b2( 0，焦点在x轴上,0 ,焦点在y轴上).67. 抛物线y2 2px的焦半径公式抛物线y2 2px(p 0)焦半径CF过焦点弦长 CD x1 x2 x1 x2 p.2 2268.抛物线y2 2px上的动点可设为P(Z,y)或p(2pt2,2pt)或P(x,y。)，其中y； 2px。.2p69.抛物线的内外部 点P(xo, yo)在抛物线y2 2px(p 0)的内部 y2 2px(p 0).点 P(xo,y)在抛物线 y2 2px(p 0)的外部 y2 2px(p 0). 点P(x,y)在抛物线y2 2px(p 0)的内部 y2 2 px( p 0).点
19、 P(x0,y)在抛物线 y2 2px(p 0)的外部 y2 2 px( p 0). 点P(x,y)在抛物线x2 2py(p 0)的内部 x2 2 py( p 0).点 P(x,y)在抛物线 x2 2py(p 0)的外部 x2 2py(p 0). 点P(X0,y)在抛物线x2 2py(p 0)的内部 x2 2py( p 0).2x 2py(p 0).2点P(X。，y。)在抛物线x 2py(p 0)的外部v kx b(弦端点A(x1, y1), B(x2, y2)，由方程 消去y得到ax2F(x,y) 0直线AB的倾斜角，k为直线的斜率)71.证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二
20、直线无交点；(2 )转化为二直线同与第三条直线平行;(3)转化为线面平行；(4)转化为线面垂直；(5)转化为面面平行.72.证明直线与平面的平行的思考途径(1 )转化为直线与平面无公共点；(2)转化为线线平行；(3 )转化为面面平行.73.证明平面与平面平行的思考途径(1 )转化为判定二平面无公共点；(2)转化为线面平行；(3 )转化为线面垂直.74证明直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直；(2)转化为线面垂直；(3)转化为线与另一线的射影垂直；(4) 转化为线与形成射影的斜线垂直 113 .证明直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；(2)转化为该直线与平面
21、内相交二直线垂直；(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直75.证明平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为判断二面角是直二面角；(2 )转化为线面垂直.76.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a+ b=b + a. 加法结合律：(a + b) + c=a+ (b + c). 数乘分配律：入(a + b)=入a +入b.77.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b 工 0 ),a / b存在实数入使a=入 b.uuuumruuuuuuuuuP、A、B三点共线AP | ABAPtABOP(1 t
22、)OAtOB .uuuuuuuuuuiurAB|CD AB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线78.球的半径是R,则其体积V 4 R3,3其表面积S 4 R2 .79.柱体、锥体的体积V柱体gh3(S是柱体的底面积、h是柱体的高)V锥体1Sh(S是锥体的底面积、h是锥体的高)380.互斥事件A, B分别发生的概率的和P(A + B)=P(A) + P(B).81.n个互斥事件分别发生的概率的和卩內 + A2 + -+ An)=P(Ai)+ P(A2)+ P(A.82.独立事件A, B同时发生的概率P(A B)= P(A) P(B).83.n个独立事件同时发生的概率84.回归
23、直线方程85.相关系数r|r|越接近于0,相关程度越小|r| w 1，且|r|越接近于1,相关程度越大;86.函数y f (x)在点X。处的导数的几何意义函数y f (x)在点X。处的导数是曲线 y f(x)在P(x。，f(X。)处的切线的斜率f (x。)，相应的切线方程是 y y。 f (x0)(x x0).87.几种常见函数的导数(1) C 0 (C为常数).(Xn) nxn 1(n Q).(3)(sin x) cosx .(4)(cosx) sinx.1 1(5) (lnx) - ； (log ax) -loga X X(6) (ex) ex； (ax) axlna.88.导数的运算法则
24、(1) (u v) u v.(2)(uv) u v uv .(3)(u)HTv 0).v v89.判别f(Xo)是极大(小)值的方法当函数f (x)在点Xo处连续时,(1 )如果在xo附近的左侧f(X)0 ,右侧f (x)(2)如果在xo附近的左侧f (x) 0，右侧f (x) 090.复数的相等a bi c di a c, b d. ( a,b,c,d R)91.复数z a bi的模(或绝对值)则f(X。)是极大值；则f(X0)是极小值.(1)(abi)(c di)(a c) (bd)i;(abi)(c di)(ac)(bd)i ;(abi)(cdi) (acbd)(bcad)i ;acbdbcad . z (abi)(c di)2 cd22 c2 i(c di 0) d2I z|=|a bi|= _a2 b2 .92.复数的四则运算法则
